基于議價(jià)博弈論的無線協(xié)作中繼網(wǎng)絡(luò)性能改進(jìn)算法

劉 鵬,徐 秀 ,鞏思園,丁恩杰

(1.中國礦業(yè)大學(xué) 感知礦山物聯(lián)網(wǎng)研究中心,江蘇 徐州221008;2.中國礦業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,江蘇 徐州221116;3.中國礦業(yè)大學(xué) 煤炭資源與安全開采國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 江蘇 徐州221008)

1 引 言

協(xié)作中繼的基本思想是允許鄰近的若干節(jié)點(diǎn)組成“協(xié)作伙伴”,通過彼此轉(zhuǎn)發(fā)信息,達(dá)到提高數(shù)據(jù)傳輸速率或降低通信中斷概率的目的。文獻(xiàn)[1]對(duì)放大再中繼(Amplify-and-forward,AF)和解碼再中繼(Decode-and-forward,DF)的協(xié)作中繼協(xié)議的性能進(jìn)行了分析,文獻(xiàn)[2]則對(duì)DF 協(xié)議的誤碼率(Symbol Error Rate,SER)性能進(jìn)行了分析,并給出了能夠最小化SER 的最優(yōu)功率分配算法。然而,文獻(xiàn)[2] 的分析忽略了節(jié)點(diǎn)的自私性,要求網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)必須無條件地參與協(xié)作,這種假設(shè)僅僅適用于救災(zāi)或軍事等特殊的網(wǎng)絡(luò)環(huán)境,而不是用于普通的多用戶無線通信系統(tǒng)。

在普通的多用戶無線通信系統(tǒng)中,幫助其他節(jié)點(diǎn)協(xié)作中繼就意味著能量和頻譜資源的消耗,自治的用戶節(jié)點(diǎn)總是會(huì)有消耗上述資源以最大化自身性能指標(biāo),如提高信噪比(Signal-to -Noise Ratio,SNR)或降低SER 的動(dòng)機(jī)。此時(shí),必須同時(shí)考慮節(jié)點(diǎn)之間資源分配的公平性和網(wǎng)絡(luò)資源最有效利用這兩個(gè)優(yōu)化目標(biāo)。博弈論[3]是研究自私用戶之間如何競爭共有資源從而最優(yōu)化個(gè)體利益的有效數(shù)學(xué)工具,可以有效解決上述問題。在這一領(lǐng)域,文獻(xiàn)[4]研究了自私性CR 網(wǎng)絡(luò)中基于AF 協(xié)議的帶寬分配問題,但沒有討論DF 協(xié)議以及相應(yīng)的協(xié)作功率分配問題。

本文則研究自私性CR 網(wǎng)絡(luò)中的協(xié)作功率分配問題,針對(duì)AF 和DF 協(xié)議,分別給出對(duì)應(yīng)的基于協(xié)作博弈的功率分配方案,并分別利用求解納什議價(jià)解(Nash Bargaining Solution,NBS)都達(dá)到了兩方節(jié)點(diǎn)共贏的結(jié)果。仿真結(jié)果表明, 在所給出的針對(duì)AF和DF 的解決方案中,公平和效率都得到了很好的體現(xiàn)。

2 系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)模型

圖1 給出了一個(gè)對(duì)稱協(xié)作中繼系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)模型[1],其中節(jié)點(diǎn)1、2 分別把節(jié)點(diǎn)3、4 作為目的節(jié)點(diǎn),即對(duì)于節(jié)點(diǎn)i 而言,存在一個(gè)目的節(jié)點(diǎn)d(i),目的節(jié)點(diǎn)d(i)=3(當(dāng)i=1)、d(i)=4(當(dāng)i =2)。由于節(jié)點(diǎn)j(j=1,2 但j ≠i)可能存在比i 更好的到d(i)的信道條件(反之亦然),因此節(jié)點(diǎn)i 和j 可以相互選擇對(duì)方作為自己的協(xié)作中繼伙伴。由于兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的對(duì)稱性,下面將僅分析節(jié)點(diǎn)i 的性能表現(xiàn)。

圖1 對(duì)稱協(xié)作中繼系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)模型Fig.1 Network model of symmetric cooperative relay system

3 AF 問題分析及博弈模型建立

下面先建立AF 協(xié)議的協(xié)作中繼模型,根據(jù)文獻(xiàn)[1] ,AF 協(xié)議分為以下兩個(gè)步驟完成。

步驟1:節(jié)點(diǎn)i 發(fā)送其數(shù)據(jù)信息。令ps為節(jié)點(diǎn)i的發(fā)送功率,gi,j為節(jié)點(diǎn)i 到j(luò) 的信道增益,gi,d(i)為節(jié)點(diǎn)i 到d(i)的信道增益, gj,d(i)為節(jié)點(diǎn)j 到d(i)的信道增益, σ2表示加性高斯噪聲信道的方差。節(jié)點(diǎn)i 和節(jié)點(diǎn)j 之間的信噪比可以表示為,j=psg,j/σ2,節(jié)點(diǎn)i 和節(jié)點(diǎn)d(i)之間的信噪比可以表示為

步驟2:節(jié)點(diǎn)j 不進(jìn)行解碼,而僅僅放大其在步驟1 中收到的信息再中繼給節(jié)點(diǎn)d(i)。節(jié)點(diǎn)d(i)利用最大似然比合并(Maximal Ratio Combining,MRC)在上述兩個(gè)步驟中收到的信息,則節(jié)點(diǎn)d(i)處的協(xié)作信噪比可表示為[5]

其中, γj,d(i)=prjgj,d(i)/σ2表示節(jié)點(diǎn)j 和節(jié)點(diǎn)d(i)之間的信噪比,prj是節(jié)點(diǎn)j 的中繼功率。

在上述步驟中,假定:第一,信道為慢衰落,在上述協(xié)作過程中保持狀態(tài)不變;第二,信道狀態(tài)信息,包括gi,j、gi,d(i)、gj,d(i)和gj,d(j),都可以被節(jié)點(diǎn)i 和j 通過專用的反饋信道得到。

假設(shè)兩個(gè)協(xié)作節(jié)點(diǎn)i 和j 都希望通過協(xié)作中繼提高接收端信噪比增益[6]。在協(xié)作過程中,假設(shè)每個(gè)節(jié)點(diǎn)的最大發(fā)送功率為Pmax,且節(jié)點(diǎn)i 愿意貢獻(xiàn)功率pr用于中繼節(jié)點(diǎn)j 的數(shù)據(jù)信息,則節(jié)點(diǎn)i 可用于發(fā)送自身信號(hào)的功率為ps≤Pmax-pri[6]。由于自私性原因,任意節(jié)點(diǎn)愿意貢獻(xiàn)的協(xié)作功率不會(huì)超過其協(xié)作伙伴節(jié)點(diǎn)的初始發(fā)送功率,因此可以將節(jié)點(diǎn)i 的協(xié)作策略定義為S=pr/psj(0 ≤Si ≤1),這個(gè)策略說明:

(1)每個(gè)節(jié)點(diǎn)都必須利用其協(xié)作伙伴節(jié)點(diǎn)的資源進(jìn)行協(xié)作通信;

(2)每個(gè)節(jié)點(diǎn)的理性決策都會(huì)影響其協(xié)作伙伴的決策。

所以,這兩個(gè)協(xié)作節(jié)點(diǎn)必須通過協(xié)商議價(jià)的方式進(jìn)行策略選擇。下面,將AF 協(xié)作中繼模型的功率控制問題建模成一個(gè)協(xié)作博弈,博弈的結(jié)果應(yīng)該是兩個(gè)協(xié)作節(jié)點(diǎn)均能從協(xié)作中受益。

令K ={1,2}為AF 協(xié)作博弈中的節(jié)點(diǎn)集合,ΔC,d()為節(jié)點(diǎn)i 的協(xié)作收益,ΔNC,d()為節(jié)點(diǎn)i 的非協(xié)作收益。在使用相同總功率情況下,只有獲得的協(xié)作收益大于非協(xié)作收益時(shí),自私節(jié)點(diǎn)i 才會(huì)參與協(xié)作中繼。由于節(jié)點(diǎn)i和j 的對(duì)稱性,可以得到(1+Sj)ps≤Pmax。在AF 協(xié)作過程中,根據(jù)步驟1, 由于S≤1,(1+Sj)ps≤Pmax,可以得到

由于ΔC,d(i)和ΔNC,d()都是psi的單調(diào)遞增函數(shù),因此無論節(jié)點(diǎn)j 在步驟2 中采取何種策略,節(jié)點(diǎn)i最大化其收益的發(fā)送功率總為

而在步驟2 中,能夠使節(jié)點(diǎn)i 和j 獲得雙贏的策略組合{S＊1 ,S＊2 }可以通過求解上述博弈的NBS 得到,當(dāng)且僅當(dāng)ΔC,d)是一個(gè)閉凸集時(shí),所提出博弈唯一的NBS 可以通過求解下述最優(yōu)化問題獲得:

此NBS 的存在性、收斂性和唯一性可通過文獻(xiàn)[4]的方法加以證明,這里就不予贅述。在實(shí)際的網(wǎng)絡(luò)中,一個(gè)節(jié)點(diǎn)總是有若干個(gè)離散的發(fā)送功率,因此式(3)是一個(gè)包含兩個(gè)離散變量S1、S 2的組合優(yōu)化問題,其計(jì)算復(fù)雜度為O(N2)[7]。

4 DF 問題分析及博弈模型建立

利用DF 協(xié)議實(shí)現(xiàn)協(xié)作中繼也需要兩個(gè)連續(xù)的步驟[1],假設(shè)在協(xié)作過程中所有節(jié)點(diǎn)通過正交信道發(fā)送信號(hào)且信道條件保持不變,則有:

步驟1:源節(jié)點(diǎn)i 發(fā)送信息到節(jié)點(diǎn)d(i)以及節(jié)點(diǎn)j;

如果系統(tǒng)采用M 進(jìn)制相移鍵控(M-ary phaseshift keying, M-PSK),在d(i)處,DF 協(xié)議接收到的信號(hào)SER 的上限為

式中,ps是i 的發(fā)送功率,prj是j 的中繼功率, g,d(i)是i 到d(i)的信道增益,gj,d()是j 到d(i)的信道增益,g,j是i 到j(luò) 的信道增益,N0是加性高斯白噪聲方差,

b=sin2(π/M),

A=(M-1)/2M+sin(2π/M)/4π,

B=3(M-1)/8M+sin(2π/M)/4π-sin(4π/M)/32π。

由式(4)可知,用戶i 接收端d(i)的誤符號(hào)率SER 不但受到i 自身的發(fā)送功率影響,同時(shí)也受到節(jié)點(diǎn)j 中繼功率的影響。為節(jié)省能量,假設(shè)自私的節(jié)點(diǎn)j 為中繼i 的信息可以貢獻(xiàn)的功率最多不會(huì)超過i 自身的發(fā)送功率。這樣中繼節(jié)點(diǎn)j 在步驟2 中的協(xié)作策略可以被定義為Sj=prj/ps,0 ≤Sj≤1。因此,式(4)中SER 的上限可被重新定義為

則節(jié)點(diǎn)i 的協(xié)作收益(通過其他協(xié)作節(jié)點(diǎn)的中繼使得d(i)正確接收信號(hào)的概率)為

令Pr(e)DT代表用戶i 利用M-PSK 調(diào)制,使用總功率P=(1+Sj)ps直接發(fā)送信息(不參與協(xié)作)的SER 上限,如下所示[2]:

利用CiteSpace獲取時(shí)間線程圖，如圖4所示。根據(jù)圖4，可以從時(shí)間上來具體分析當(dāng)前我國教育領(lǐng)域?qū)ι疃葘W(xué)習(xí)研究在推進(jìn)、發(fā)展過程中的聚焦和變化，即深度學(xué)習(xí)的發(fā)展趨勢。

則節(jié)點(diǎn)i 的非協(xié)作收益(節(jié)點(diǎn)i 不參與協(xié)作中繼,使用總功率P獨(dú)立發(fā)送信息,正確接收信號(hào)的概率)為

由于自私性,節(jié)點(diǎn)i 只有在協(xié)作收益大于非協(xié)作收益,即SER 性能增量大于0(U-Umin>0)時(shí),節(jié)點(diǎn)i 才會(huì)參與步驟2 的協(xié)作中繼。下面將上述協(xié)作中繼功率分配問題建模成一個(gè)兩節(jié)點(diǎn)協(xié)作博弈,通過此博弈,協(xié)作節(jié)點(diǎn)可以達(dá)成一個(gè)公平和有效率的收益分配方案。

假定節(jié)點(diǎn)i 有一個(gè)峰值功率Pmax,在步驟1 中,由于P=(1+Sj)ps≤Pmax以及Sj≤1,因此有ps≤Pmax/2,在式(5)和(7)中,可以看到協(xié)作收益U和非合作收益Umin都是ps的單調(diào)遞增函數(shù)?？紤]到自私節(jié)點(diǎn)i 總有最大化其自身收益的動(dòng)機(jī),所以步驟2 中節(jié)點(diǎn)j 不管采用何種協(xié)作策略Sj,節(jié)點(diǎn)i 在步驟1 中的最優(yōu)發(fā)送功率總是

利用納什議價(jià)解,可以為上述協(xié)作博弈得到一個(gè)雙贏的策略組合{S＊,S＊j},滿足公平和有效率的收益分配的需求,且可以通過求解下述最優(yōu)化問題而獲得唯一的NBS 解[3]:

許多低復(fù)雜度數(shù)學(xué)方法,例如粒子群優(yōu)化算法(PSO),可以被用來求解式(10)所示的最優(yōu)化問題?？紤]到在實(shí)際通信網(wǎng)絡(luò)中,一個(gè)用戶節(jié)點(diǎn)具有有限且離散個(gè)功率選擇,即有限且離散個(gè)協(xié)作策略,假定一個(gè)用戶節(jié)點(diǎn)可選的功率數(shù)目為N,則粒子群算法解決式(10)問題的計(jì)算復(fù)雜度為O(N2)[7]。

5 仿真結(jié)果分析

5.1 AF 協(xié)作中繼仿真結(jié)果分析

AF 協(xié)作中繼仿真系統(tǒng)模型如圖2 所示。信道增益設(shè)為0.097/d4[8], d(單位:m)是發(fā)送和接收節(jié)點(diǎn)之間的距離;信道高斯噪音的功率設(shè)為σ2=5×10-15W;每個(gè)節(jié)點(diǎn)發(fā)送功率最大值設(shè)為P =10 mW。設(shè)定節(jié)點(diǎn)2、3 和4 分別位于(600 m,0 m)、(900 m,0 m)和(0 m,0 m)。節(jié)點(diǎn)1 的x 坐標(biāo)固定在300 m,而且y 坐標(biāo)從0 m至900 m變化。圖3 顯示當(dāng)節(jié)點(diǎn)1移動(dòng)時(shí)各節(jié)點(diǎn)NBS 策略的變化情況,圖4 顯示當(dāng)節(jié)點(diǎn)1 移動(dòng)時(shí)雙方節(jié)點(diǎn)參與協(xié)作后的信噪比增量(ΔCi,d(i)-ΔNCi,d(i))變化情況。

圖2 AF 協(xié)作中繼仿真系統(tǒng)模型Fig.2 Simulation system model of AF cooperative relay

圖3 節(jié)點(diǎn)1 和2 在步驟2 中的NBS 策略變化Fig.3 The NBS strategies of both nodes in Step 2

圖4 節(jié)點(diǎn)1 和2 在協(xié)作中繼中的SNR 增量變化Fig.4 The SNR increases of both nodes in the game

由圖3 得知,當(dāng)0 mS2＊,這意味著節(jié)點(diǎn)1 愿意拿出更多的功率以交換節(jié)點(diǎn)2 的協(xié)作中繼,這是由于在此區(qū)域內(nèi),節(jié)點(diǎn)2 到節(jié)點(diǎn)3 的信道增益明顯好于節(jié)點(diǎn)1 到節(jié)點(diǎn)3 的信道增益,而節(jié)點(diǎn)2到節(jié)點(diǎn)4 的信道增益卻逐漸接近節(jié)點(diǎn)1 到節(jié)點(diǎn)4 的信道增益;當(dāng)y ≥700 m時(shí),節(jié)點(diǎn)1 信道增益已明顯變差,不能為節(jié)點(diǎn)2 作任何貢獻(xiàn),所以節(jié)點(diǎn)2 自私地將S 2＊減為0,S1＊也隨之變?yōu)?,此時(shí)雙方都不參與協(xié)作,各自獨(dú)立發(fā)送信息。

從圖4 得知,隨著y 從0 逐漸增大,協(xié)作雙方節(jié)點(diǎn)相對(duì)自身獨(dú)立發(fā)送信息(不協(xié)作)的信噪比增量逐漸減小,這是由于隨著節(jié)點(diǎn)1 遠(yuǎn)離節(jié)點(diǎn)2、3、4,節(jié)點(diǎn)1 的信道條件逐漸變差,能夠?yàn)楣?jié)點(diǎn)2 所貢獻(xiàn)的協(xié)作功率越來越少,由于自私性,節(jié)點(diǎn)2 為節(jié)點(diǎn)1 所貢獻(xiàn)的協(xié)作功率也越來越少,即雙方的協(xié)作程度逐漸變?nèi)?直至y 到700 m后雙方變?yōu)橥耆粎f(xié)作,各自獨(dú)立發(fā)送信息,此時(shí)雙方的信噪比增量都變?yōu)?。

根據(jù)上述分析可知,兩個(gè)節(jié)點(diǎn)在所提出的協(xié)作中繼博弈中均能獲得信噪比性能的改善,所以是有效的;而且任一節(jié)點(diǎn)的協(xié)作通信參與度依賴于其協(xié)作伙伴節(jié)點(diǎn)為增加其信噪比所消耗的資源,所以是公平的。

5.2 DF 協(xié)作中繼仿真結(jié)果分析

為了驗(yàn)證DF 協(xié)作中繼功率分配博弈的有效性,根據(jù)圖1 所示的系統(tǒng)模型進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真。為了便于仿真的實(shí)現(xiàn)以及更清楚地說明問題,不失一般性,這里假設(shè)節(jié)點(diǎn)3 等于節(jié)點(diǎn)4,即節(jié)點(diǎn)3(或4)相當(dāng)于蜂窩網(wǎng)絡(luò)中的基站,節(jié)點(diǎn)1(或2)相當(dāng)于蜂窩網(wǎng)絡(luò)中的移動(dòng)站點(diǎn)[1]。

仿真中使用QPSK 調(diào)制技術(shù),即M(-PSK)=4。參考文獻(xiàn)[2] ,設(shè)置信道增益g1,2、g2,1、g1,BS及噪聲方差N0都為1,設(shè)置Pmax/N0為30 dB以保證較高的SNR 。我們以0.5 的步長,從0 到14 逐步增加信道增益g2,BS。圖5 顯示當(dāng)g2,BS變化時(shí)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的博弈策略變化情況,圖6 顯示當(dāng)g2,BS變化時(shí)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)參與協(xié)作后SER 性能增量G1=U1-Umin1、G2=U2-Umin2的變化情況。

圖5 節(jié)點(diǎn)1 和2 在步驟2 中的NBS 策略變化Fig.5 The NBS strategies of both users in Step 2

圖6 節(jié)點(diǎn)1 和2 在協(xié)作中繼中的SER 增量變化Fig.6 The SER performance increases of both users in the game

從圖5 可以看出,當(dāng)0 ≤g2,BS<3 時(shí),由于g1,BS>g2,BS,節(jié)點(diǎn)2 愿意貢獻(xiàn)更多的功率用于協(xié)作中繼以更多的換取節(jié)點(diǎn)1 的協(xié)作中繼,圖6 中對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)2 的SER 性能增益也非常明顯;圖5 中,當(dāng)g2,BS=g1,BS =3 時(shí),由于此時(shí)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)都有相同的到基站的信道條件,兩個(gè)節(jié)點(diǎn)愿意向?qū)Ψ截暙I(xiàn)相等的功率,因此圖6 中兩個(gè)節(jié)點(diǎn)獲得相同的SER 性能增量,即U1-Umin1 =U2 -Umin2 ;圖5 中,當(dāng)1

由仿真分析可知,所提出的協(xié)作博弈使得兩個(gè)協(xié)作節(jié)點(diǎn)均獲得了SER 性能的改善。同時(shí)一個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)協(xié)作中繼的參與度,僅依賴于其合作者可以為減小其在接收端的SER 做多少貢獻(xiàn)(具體貢獻(xiàn)數(shù)值決定于雙方的信道條件)。

6 結(jié) 論

已有類似的研究大都針對(duì)一種協(xié)作中繼協(xié)議,且結(jié)論大都是提高系統(tǒng)整體效率,對(duì)單個(gè)節(jié)點(diǎn)的公平性考慮較少。本文則分別針對(duì)AF 中繼和DF 中繼兩種無線協(xié)作網(wǎng)絡(luò),分析了自私節(jié)點(diǎn)的協(xié)作中繼行為,將兩節(jié)點(diǎn)協(xié)作功率分配問題建模為納什議價(jià)博弈,并分別求得博弈的納什議價(jià)解。AF 協(xié)作博弈和DF 協(xié)作博弈的仿真結(jié)果均表明,本文提出的功率分配博弈模型可以在兩方面獲得系統(tǒng)性能的改進(jìn),一是雙方節(jié)點(diǎn)的通信性能都比它們獨(dú)立工作時(shí)得到提高(整體效率性),二是任一個(gè)參與協(xié)作的節(jié)點(diǎn)均能根據(jù)其協(xié)作伙伴對(duì)其性能改善貢獻(xiàn)的多少來選擇相應(yīng)的協(xié)作策略(個(gè)體公平性)。本文在利用協(xié)作中繼提升無線通信網(wǎng)絡(luò)性能方面做出了一些有益的研究,相信會(huì)對(duì)實(shí)際應(yīng)用中的無線傳感網(wǎng)、Ad Hoc網(wǎng)等通信性能的改進(jìn)起到一定的指導(dǎo)作用。關(guān)于本課題進(jìn)一步的研究方向,筆者認(rèn)為利用博弈論解決協(xié)作通信的多種資源(功率、帶寬等)聯(lián)合優(yōu)化分配方面還有很多工作值得繼續(xù)深入研究,感興趣的讀者不妨予以嘗試。

[ 1] LanemanJ N, Tse D N C,Wornell G W.Cooperative Diversity in Wireless Networks:Efficient Protocols and Outage Behavior[ J] .IEEE Transactions on Inforam tion Theory, 2004, 50(12):3062-3080.

[ 2] Su W, Sadek A K, Liu K J R.SER Performance Analysis and Optimum Power Allocation for Decode-and-Forward Cooperation Protocol in Wireless Networks[ C]//Proceedings of 2005 IEEE Wireless Communication Networking Conference.[ S.l.] :IEEE,2005:984-989.

[3] Yaiche H,Mazumdar R R, Rosenberg C.A Game Theoretic Framework for Bandwidth Allocation and Pricing in Broadband Networks[ J] .IEEE/ACM Transactions on Networking,2000, 8(5):667-678.

[ 4] Zhang Zhao-yang,Shi Jing,Chen Hsiao-Hwa,et al.A Cooperation Strategy Based on Nash Bargaining Solution in Cooperative Relay Networks[J] .IEEE Transactions on Vehicular Technology, 2008,57(4):2570-2577.

[ 5] Huang J W,Han Zhu,Chiang Mung, et al.Auction-based resource allocation for cooperative communications[J] .IEEE Journal on Selected Areas in Communications, 2008, 26(7):1226-1237.

[ 6] Ibrahim A S,Sadek A K,Su Weifeng,et al.Cooperative communications with relay -selection:when to cooperate and whom to cooperate with? [ J] .IEEE Transactions on Wireless Communications, 2008, 7(7):2814-2827.

[ 7] Shi Y, Eberhart R.A Modified Particle Swarm Optimizer[ C]//Proceedings of 1998 IEEE International Conference on Evolutionary Computation.[ S.l.] :IEEE,1998:69-73.

[8] Wang Beibei, Han Zhu,Liu K J R.Distributed relay selection and power control for multiuser cooperative communication networks using Stackelberg game[ J] .IEEE Transactions on Mobile Computing, 2009, 8(7):975-990.