一維改進(jìn)分形海面模型及海譜分析

陳 瑜,胡云安,張 剛,張敬明

(1.海軍航空工程學(xué)院 控制工程系, 山東 煙臺(tái)264001;2.解放軍92060 部隊(duì) 共同科目教研室,遼寧 大連116000)

1 引 言

海面電磁散射的研究在海洋遙感、環(huán)境監(jiān)測(cè)及海上目標(biāo)跟蹤與識(shí)別等領(lǐng)域中都有極其重要的意義[1-3]。在模擬海面電磁散射的過(guò)程中提出一種合適的海面模型非常關(guān)鍵。海面是一個(gè)不規(guī)則的隨時(shí)間變化的粗糙面,一般通過(guò)基于海譜的統(tǒng)計(jì)特性來(lái)模擬粗糙海面,從海洋學(xué)現(xiàn)有觀測(cè)和研究成果,海譜能很好地描述充分發(fā)展海面的頻域特性,但基于海譜的統(tǒng)計(jì)方法只能描述海面的靜態(tài)特性,不能描述海浪產(chǎn)生和繁衍的物理機(jī)理。最近由于分形幾何在各個(gè)方面的逐漸應(yīng)用[4-6],人們發(fā)現(xiàn)分形海面既具有統(tǒng)計(jì)性又具有隨機(jī)性,能夠更為貼切地描述真實(shí)海面,因此利用分形模型對(duì)海浪進(jìn)行研究逐漸成為國(guó)內(nèi)外研究的熱點(diǎn)。Jaggard 和Sun[7]首次提出了利用一維Weierstrass 帶限分形函數(shù)描述海面的思想,文獻(xiàn)[8]在Jaggard 的基礎(chǔ)上擴(kuò)展到二維平面,并用此模型去描述了單一小平面的粗糙程度,該小平面在高分辨雷達(dá)中得到應(yīng)用;文獻(xiàn)[9-10]在以上模型的基礎(chǔ)上考慮了海浪的機(jī)動(dòng)性,把一維擴(kuò)展到二維,考慮了海浪的多結(jié)構(gòu)特性,開(kāi)發(fā)了分形幾何的特性,并引進(jìn)了平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)速度,這種特性很適合被應(yīng)用到空中和衛(wèi)星雷達(dá)。實(shí)際海浪的功率譜既包含正冪率部分也包含負(fù)冪率部分,而經(jīng)典分形模型只能模擬負(fù)冪率部分,為了更好地與實(shí)際粗糙面相結(jié)合,文獻(xiàn)[11]應(yīng)用P-M 譜和Weierstrass 帶限分形函數(shù)結(jié)合模擬一維海表面,文獻(xiàn)[12-13] 建立了基于未充分發(fā)展海譜的分形海面模型,但以上兩者都沒(méi)給出海譜的形式, 模型的正確性無(wú)法驗(yàn)證, 王運(yùn)華等人[14-15]對(duì)Weierstrass 帶限分形函數(shù)一維和二維形式進(jìn)行了改進(jìn),給出了方向海浪譜的形式,并與經(jīng)典文獻(xiàn)進(jìn)行了比較,兩者吻合較好,但該模型無(wú)法給出改進(jìn)部分具體的物理含義,Berizzi[16]通過(guò)對(duì)Weierstrass 帶限分形函數(shù)的分形海譜加入高斯相關(guān)函數(shù),得到的方向海浪譜與經(jīng)典文獻(xiàn)吻合較好,但從海譜得不到改進(jìn)分形函數(shù)的表達(dá)式。文中針對(duì)以上問(wèn)題對(duì)分形模型進(jìn)行了改進(jìn)。

海面上任一點(diǎn)的波都是由本地產(chǎn)生的毛細(xì)波和從其他方向傳來(lái)的長(zhǎng)重力波疊加而成的,而傳

統(tǒng)分形模型不考慮涌浪,只考慮短重力波和毛細(xì)波的情況,因而產(chǎn)生海譜中不包括正冪率譜的部分,根據(jù)這一問(wèn)題,基于Longuet-Higgin 提出了一種改進(jìn)的歸一化帶限Weierstrass 一維分形海面模型, 其中Longuet-Higgins 模擬的海面模型是基于充分發(fā)展海浪譜PM 譜建立的,能很好地體現(xiàn)海浪的涌浪特性。為了進(jìn)一步驗(yàn)證改進(jìn)模型的正確性,推導(dǎo)了改進(jìn)分形模型的功率譜,并與PM 譜[17]進(jìn)行了比較。通過(guò)比較發(fā)現(xiàn),不同風(fēng)速下改進(jìn)分形功率譜和PM 譜變化趨勢(shì)是一致的,驗(yàn)證了改進(jìn)模型的正確性。詳細(xì)討論了改進(jìn)模型的分形維數(shù)、尺度因子、風(fēng)速等參量對(duì)一維海面輪廓的影響,并與Longuet-Higgins 模型模擬的海面輪廓和經(jīng)典分形海面輪廓進(jìn)行了比較,經(jīng)過(guò)比較發(fā)現(xiàn)改進(jìn)分形模型的海面輪廓符合海面的實(shí)際情況,既保留了Longuet-Higgins 海面模型能模擬大尺度涌浪的特性,又保留了經(jīng)典分形海面模型能描述毛細(xì)波細(xì)微結(jié)構(gòu)的特性,符合海浪產(chǎn)生的物理機(jī)理。

2 改進(jìn)一維分形海面模型

利用分形方法研究海面模擬的優(yōu)點(diǎn)為:一維分形海面兼具周期性和隨機(jī)性,更加貼近真實(shí)海面的描述;分形海面往往具有閉合的表達(dá)式,其幾何特征可以方便地用幾個(gè)參量控制,便于應(yīng)用;由分形海面的表達(dá)式可直接導(dǎo)出海譜的表達(dá)式,這給理論分析和算法實(shí)現(xiàn)帶來(lái)便利。通常用經(jīng)典的帶限Weierstrass 分形函數(shù)來(lái)模擬一維動(dòng)態(tài)海面,該模型通常表示為[18]

式中,σ為海面高度起伏均方根;b>1 為尺度因子,控制著正弦分量的幅度和頻率分配,并且當(dāng)b 是有理數(shù)時(shí), f(x,t)表現(xiàn)為周期函數(shù),當(dāng)b 是無(wú)理數(shù)時(shí),f(x, t)表現(xiàn)為準(zhǔn)周期函數(shù);Nf>400 表示模型中含有正弦分量的個(gè)數(shù);η為歸一化因子,可表示為η=2(1-b2(D-2))/1-b2Nf(D-2);粗糙度1

上式所模擬分形粗糙海面的功率譜為負(fù)冪率譜,正好對(duì)應(yīng)于穩(wěn)態(tài)海譜PM 譜中的一段,它并不能反映真實(shí)海面的功率譜。PM 譜如下式所示[17]:

式中,g=9.81 m/s2, α=8.1×10-3, β=0.74, U19.5為海面19.5 m高處的風(fēng)速,PM 譜中總有一個(gè)峰值,

其對(duì)應(yīng)的波數(shù)為km,km=0.8772g/U219.5,風(fēng)速越大,km越小,這表明海表面受兩種波共同影響,當(dāng)k km時(shí),短重力波及張力波起主要作用,功率譜滿(mǎn)足負(fù)冪率譜,這就啟發(fā)我們應(yīng)用下面的改進(jìn)一維分形模型來(lái)模擬實(shí)際海面,它表示為

式中,第一部分為L(zhǎng)onguet-Higgins 海面模型[20],用η(x,t)表示,該模型把海上一固定點(diǎn)的水面波動(dòng)用許多個(gè)隨機(jī)余弦波的疊加來(lái)描述,并假定只在平面內(nèi)產(chǎn)生波浪,且波浪只有一個(gè)固定的前進(jìn)方向,通常被稱(chēng)為線(xiàn)性海浪;aj、ωj、kj、εj分別表示第j 個(gè)余弦組成波的振幅、圓頻率、波數(shù)和初始相位;x 為波點(diǎn)位置;t 為時(shí)間矢量;εj為在[0,2π]范圍內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)。嚴(yán)格地說(shuō), aj是服從雷利分布的隨機(jī)變量,且有E [ a2j] =2s(ωj)d ω。實(shí)際應(yīng)用中 aj=2s(ωj)d ω,s(ωj)為所需模擬海浪的頻譜,稱(chēng)為靶譜,于是可得Longuet-Higgins 模型海浪波面方程為N

Longuet-Higgins 模型在模擬海浪時(shí)采用的靶譜是穩(wěn)態(tài)海譜P-M 譜,該譜由Pierson 和Moscowitz 在1964 年得到無(wú)因次譜,簡(jiǎn)稱(chēng)為PM 譜。PM 譜屬充分發(fā)展的海譜,公式如式(4)所示。在模擬海浪的過(guò)程中功率譜的頻率分隔采用頻率等分法或者能量等分法,前者雖然簡(jiǎn)單,但得到的頻率序列是一個(gè)等差序列而不是一個(gè)隨機(jī)序列,不符合海浪的隨機(jī)性,而且波浪會(huì)以2π/Δω的周期重復(fù)出現(xiàn),其中Δω為采用等分法的采樣間隔,而后者得到的頻率序列是隨機(jī)的,更符合海浪的實(shí)際情況,能量等分法是基于海浪功率譜建立的,選定的頻率使各頻率間隔的能量相等,即譜密度曲線(xiàn)下的子面積相等,具體方法如下。

定義累積譜:

由此有:

由能量分割思想,令式中,M 為等能量的份數(shù),根據(jù)海浪功率譜通用表達(dá)式

可得

式中,A 和B 為常量,根據(jù)不同的功率譜選定不同的值。對(duì)于P-M 譜A=αg2,B =β(g/U19.5)4。

從以上分析可以看出,Longuet-Higgins 模型是基于穩(wěn)態(tài)海譜建立的,能很好地反映長(zhǎng)重力波的情況,在經(jīng)典分形模型中加入Longuet-Higgins 模型解決了分形模型不能反映涌浪的情況,在求解時(shí),Longuet-Higgins 模型中海譜波數(shù)的取值要小于譜峰值km。

3 分形海譜的求解

對(duì)改進(jìn)分形模型的評(píng)價(jià)必須分析其分形海譜的形式,在求解的過(guò)程中取v =0, 求解海譜的步驟如下。

Step 1:求解改進(jìn)模型的自相關(guān)函數(shù)ρξ(τ, t),并且只考慮海面在瞬態(tài)的情況,令 t =0,這時(shí)相關(guān)函數(shù)變?yōu)棣薛?τ, t)=ρξ(τ,0)。

Step 2:對(duì)相關(guān)函數(shù)進(jìn)行Fourier 變換得到分形海譜S(k), 形式如下所示:

根據(jù)步驟1 求相關(guān)函數(shù),其定義為

式中,Eε(·)和EФ(·)分別為變量εj和Фn的平均期望。當(dāng)v=0 并且相位εj和Фn相互獨(dú)立時(shí),把式(5)代入式(13)可得:

式中, x=x1-x2, t =t1-t2,并且假定時(shí)變海表面在短時(shí)間內(nèi)為瞬時(shí)狀態(tài),這時(shí) t =0, x 用τ表示,這時(shí)式(14)變?yōu)?/p>

當(dāng)τ=0 時(shí),式(15)變?yōu)?/p>

根據(jù)步驟2 對(duì)相關(guān)函數(shù)進(jìn)行Fourier 變換得到分形海譜S(k):

可得連續(xù)譜為

從式(20)可得改進(jìn)分形海譜在波數(shù)0 ≤k

4 數(shù)值計(jì)算與分析

圖1 為不同風(fēng)速下改進(jìn)分形模型的功率譜、經(jīng)典分形譜[14]與PM 譜[15]的比較。在圖1(a)中海面19.5 m高處的風(fēng)速為10 m/s,尺度因子b=1.010 2,分形維數(shù)D=1.047,迭代次數(shù)Nf=400,N=50。圖1(b)中19.5 m高處的風(fēng)速為15 m/s,其他參數(shù)不變。

圖1 不同風(fēng)速下改進(jìn)分形譜、經(jīng)典分形譜與PM 譜的比較Fig.1 The comparison between improved fractal spectrum, classical fractal spectrum and PM spectrum in different wind speeds

從圖1 可以看出,在不同風(fēng)速下,經(jīng)典分形模型的功率譜密度函數(shù)只包含負(fù)冪率指數(shù)部分,只為PM譜的一部分,而改進(jìn)分形模型的功率譜密度函數(shù)既包含正冪率部分又包含負(fù)冪率部分,并且和PM 譜的整體變化趨勢(shì)是一致的,只是在幅值上有差異,這是由于一維海浪得到的海譜只能描述某一方向海浪能量的變化,而不能表現(xiàn)全方位海譜能量的改變,因此海譜的幅值會(huì)有所降低。由以上分析可以說(shuō)明,用式(5)替代經(jīng)典分形模型式(1)來(lái)模擬實(shí)際動(dòng)態(tài)海面的功率譜與實(shí)際海面的海譜更接近。

圖2 為不同風(fēng)速下以P -M 譜為靶譜,迭代次數(shù)N=50 時(shí),利用Longuet-Higgins 模型模擬的一維粗糙海面表面輪廓曲線(xiàn)。從圖中可以發(fā)現(xiàn),Longuet-Higgins 模型模擬的海面只與風(fēng)速有關(guān),風(fēng)速越大,海面起伏越大,是一種穩(wěn)態(tài)的海浪狀態(tài),只能描述重力波的狀態(tài),不能表述毛細(xì)波的細(xì)微變化。

圖2 不同風(fēng)速下Longuet-Higgins 模型模擬的一維海面輪廓Fig.2 One-dimensional sea surface based on longuet-higgins model in different wind speeds

圖3 為分形維數(shù)和尺度因子一定時(shí),在不同風(fēng)速下一維經(jīng)典分形海面的輪廓曲線(xiàn)。從圖中可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)風(fēng)速越大時(shí),粗糙面高度起伏越大,這與實(shí)際海面高度起伏與風(fēng)速之間的變化是吻合的。

圖3 不同風(fēng)速下一維經(jīng)典分形模型模擬的一維海面輪廓Fig.3 One-dimensional sea surface based on classical fractal model in different wind speeds

圖4 和圖5 給出了不同尺度因子和分形維數(shù)下的一維經(jīng)典分形海面的輪廓曲線(xiàn),其中迭代次數(shù)Nf=400,風(fēng)速為10 m/s,圖4 中尺度因子一定為1.2,分形維數(shù)分別為1.2 和1.8;圖5 中分形維數(shù)一定為1.3,尺度因子分別為1.2 和1.8。從圖4 可以很明顯地發(fā)現(xiàn),分形維數(shù)越大,輪廓曲線(xiàn)在細(xì)節(jié)方面變化得越劇烈,即更能體現(xiàn)海浪毛細(xì)波的情況。從圖5可以看出,尺度因子越大,海面輪廓起伏越大,海面越平滑。從圖3、圖4 和圖5 可以得出,風(fēng)速、分形維數(shù)D 和尺度因子b 是影響分形海面輪廓的3 個(gè)特征量,通過(guò)這3 個(gè)參量的變化來(lái)表現(xiàn)海浪表面的動(dòng)態(tài)變化,能很好地表現(xiàn)海浪的細(xì)微結(jié)構(gòu)。

圖4 不同分形維數(shù)下一維經(jīng)典分形海面輪廓Fig.4 One-dimensional sea surface based on classical fractal model in different fractal dimensions

圖5 不同尺度因子下一維經(jīng)典分形海面輪廓Fig.5 One-dimensional sea surface based on classical fractal model in different amplitude factors

圖6(a)和(b)分別利用改進(jìn)分形模型與基于PM 譜的Longuet-Higgins 模型模擬的不同風(fēng)速下一維粗糙海面表面輪廓曲線(xiàn),其中b=1.2,D =1.2,迭代次數(shù)Nf=400,N =50。從圖中可以發(fā)現(xiàn),改進(jìn)分形海面表面輪廓的基波波浪同基于PM 譜的海面輪廓基本一致,但分形模型的小尺度波浪更加明顯,更能體現(xiàn)小尺度毛細(xì)波的情況,從而說(shuō)明改進(jìn)分形海面模型能更好地描繪海面的細(xì)微結(jié)構(gòu)。

圖6 不同風(fēng)速下改進(jìn)分形模型與Longuet-Higgins模型海面表面輪廓比較Fig.6 The comparison between improved fractal model and Longuet-Higgins model in different wind speeds

為了體現(xiàn)分形維數(shù)和尺度因子對(duì)改進(jìn)分形粗糙面的影響,圖7(a)的模擬參量在圖6(a)的基礎(chǔ)上,分形維數(shù)增大,值為1.8,圖7(b)的模擬參量在圖6(a)的基礎(chǔ)上,尺度因子變大,值為1.8。從圖7(a)和6(a)的比較可以看出,分形維數(shù)越大,海面越粗糙。從圖7(b)和6(a)的比較可以看出,尺度因子越大,海面起伏越大,海面越平滑,圖6 和圖7 基波波浪同基于PM 譜的海面輪廓仍保持一致。

圖7 不同分形參量下改進(jìn)分形模型與Longuet-Higgins 模型海面表面輪廓比較Fig.7 The comparison between im proved fractal model and Longuet-Higgins model in different fractal parameters

從以上結(jié)果可以看出,改進(jìn)分形海面模型既能表現(xiàn)大尺度涌浪的特性,即Longuet-Higgins 海面模型的特性,又能表現(xiàn)小尺度波浪的細(xì)微結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)變化,即分形模型的特性,能很好地表現(xiàn)海面的實(shí)際情況。

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)經(jīng)典分形模型不能描述長(zhǎng)重力波的問(wèn)題,在經(jīng)典分形海面模型中加入了穩(wěn)態(tài)海浪即長(zhǎng)重力波,使改進(jìn)分形模型既具有長(zhǎng)重力波特性的穩(wěn)態(tài)特性,又保留了經(jīng)典分形模型能描述海面短重力波和毛細(xì)波動(dòng)態(tài)變化的特性,使改進(jìn)分形模型更符合海面的實(shí)際情況。改進(jìn)分形模型的功率譜既包含正冪律部分又包含負(fù)冪律部分,并且和P-M 譜整體變化趨勢(shì)是一致的,證明了模型的正確性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果有待于進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,所建模型可以推廣到海面建模、海洋測(cè)繪、電磁散射及海上目標(biāo)跟蹤與識(shí)別的研究中。

[1] Donald R, Thompson T, Elfouhaily M, et al.An improved geometrical optics model for bistatic GPS scattering from the ocean surface[J] .IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing,2005,43(12):2810-2814.

[2] 任新成, 郭立新.改進(jìn)的一維分形海面模型在分層海面電磁波透射問(wèn)題中的應(yīng)用[ J] .海洋通報(bào), 2009, 28(2):11-13.

REN Xin-cheng, GUO Li-xin.Application of an imp roved 1D fractal model for electromagnetic scattering fromthe stratified sea surface[ J] .Marine Science Bulletin, 2009,28(2):11-13.(in Chinese)

[3] Jangal F, Saillant S.Wavelet contribution to remote sensing of the sea and target detection for a high-frequency surface wave radar[ J] .IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing, 2008, 5(3):552-555.

[4] Ruello G, Blanco-Sánchez P, Iodice A.Measurement of the electromagnetic fieldBackscattered by a fractal surface for the verification of electromagnetic scattering models[ J] .IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing, 2010,48(4):1777-1779.

[5] Xu Xiao-ke.Low observab le targets detection by joint fractal properties of sea clutter:An experimental study of IPIX OHGR datasets[J] .IEEE Transactions on Antennas and Propagation,2010, 58(4):1425-1426.

[6] 侯德亭, 宋航,陳勇.分形海面的微波電磁散射計(jì)算模型[ J] .強(qiáng)激光與粒子束,2010,22(9):2119-2121.

HOU De-ting, SONG Hang, CHEN Yong.Model of m icrowave electromagnetic scattering at fractal sea surface[ J] .High Power Laser and Particle Beams, 2010,22(9):2119-2121.(in Chinese)

[7] Jaggard D L, Sun X.Scattering from fractal surfaces[ J] .Journal of the Optical Society of America A,1990, 7(6):1131-1139.

[8] Franceschetti G, Migliaccio M, Riccio D.An electromagnetic fractal-based model for the study of fading[ J] .Radio Science, 1996, 31(6):1749-1759.

[9] Berizzi F, Mese E D.Scattering coefficient evaluation from a Two-Dimensional sea fractal surface[J] .IEEE Transactions on Antennas and Propagation,2002,50(4):426-434.

[ 10] Berizzi F, Mese E D.Scattering from a 2-Dimensional sea fractal Surface:Fractal analysis of the scattered signal[ J] .IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing,2002, 50(7):912-935.

[ 11] Chen J, Lo K Y, Leung H.The use of fractals for modeling EM waves scattering from rough sea surfaces[ J] .IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing, 1996, 34(4):966-972.

[ 12] 楊俊嶺, 郭立新, 萬(wàn)建偉.基于未充分發(fā)展海譜的分形海面模型及其電磁散射研究[ J] .物理學(xué)報(bào), 2007,56(4):2107-2109.

YANG Jun-ling, GUO Li-xin, WAN Jian-wei.Study of electromagnetic scattering from fractal sea surface based on non-fully developed sea spectrum[ J] .Acta Physica Sinic, 2007,56(4):2107-2109.(in Chinese)

[ 13] 萬(wàn)建偉, 王展, 楊俊嶺.一種新的動(dòng)態(tài)分形海面模型及其電磁散射統(tǒng)計(jì)特性研究[J] .國(guó)防科技大學(xué)學(xué)報(bào),2007,29(5):36-39.

WAN Jian-wei, WANG Zhan, YANG Jun-ling.A new time-varying fractal sea model and its statistical characteristics of electromagnetic scattering[ J] .Journal of National University of Defense Technology, 2007, 29(5):36-39.(in Chinese)

[ 14] 王運(yùn)華, 郭立新, 吳振森.改進(jìn)的一維分形模型在海面電磁散射中的應(yīng)用[ J] .電子學(xué)報(bào),2007,35(3):478-480.

WANG Yun -hua, GUO Li-xin, WU Zhen-sen.The application of an improved 1D fractal model for EM scattering from sea surface[ J] .Acta Electronica Sinica, 2007, 35(3):478-480.(in Chinese)

[ 15] 王運(yùn)華, 郭立新, 吳振森.改進(jìn)的二維分形模型在海面電磁散射中的應(yīng)用[ J] .物理學(xué)報(bào), 2006, 55(10):5192-5194.

WANG Yun -hua, GUO Li-xin, WU Zhen-sen.The application of an improved 2D fractal model for electromagnetic scattering from the sea surface[ J] .Acta Physica Sinic,2006,55(10):5192-5194.(in Chinese)

[ 16] Berizzi F, Mese E D.Sea-wave fractal spectrum for SAR remote sensing[J] .IEE Proceedings of Radar Sonar Navigation,2001,148(2):56-65.

[17] Pierson W J, Marks W.A Proposed Spectral form for Fully Developed Wind Seas Based on the Similarity Theory of S.A.Kitaigorodskii[ J] .IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing, 1956, 49(24):5181-5190.

[18] Berizzi F, Mese E D, Pinelli G.One dimensional fractal model of the sea surface[ J] .IEE Proceedings of Radar,Sonar and Navigation, 1999,146(1):55-57.

[19] Harrison G P, Wallace A R.Climate sensitivity of marine energy[ J] .Renewable Energy,2005, 30(12):1801-1817.

[20] Longuet H.The distribution of intervals between zeros of astationary random function[J] .Philosophical Transactions for the Royal Society of London, 1962,254(1047):557-599.