環(huán)ZM 上線性循環(huán)碼的深度譜

常曉鵬，鄭喜英，孔 波

(1．河南教育學(xué)院 信息技術(shù)系，河南 鄭州450046;2．黃河科技學(xué)院 信息工程學(xué)院，河南 鄭州450005;3．河南教育學(xué)院 數(shù)學(xué)系，河南 鄭州450046)

0 引言

Etzion T［1］給出了碼字的深度、碼的深度分布等概念，并定義了一些碼的深度分布． Mitchell C J［2］給出了二元循環(huán)碼的深度分布． Luo Y 等［3］給出了線性碼深度分布的計(jì)算公式． 朱士信等［4］證明了4k12k2型的四元線性碼至少含有k1+k2個(gè)非零深度值，并給出了Z4環(huán)上循環(huán)碼的深度譜． 石立葉等［5］證明了4k和2k型的四元循環(huán)碼恰有k個(gè)非零深度值，4k12k2型的四元循環(huán)碼至少有k1+k2個(gè)非零深度值，并給出了它的深度譜． 鄭喜英等［6］給出了整數(shù)剩余類環(huán)Zpm上的循環(huán)碼的深度譜．

筆者首先介紹了整數(shù)剩余類環(huán)ZM上循環(huán)碼的基本概念及深度的概念和性質(zhì)，然后由中國剩余定理給出了ZM上長為n(這里n 不整除R-的特征)循環(huán)碼的深度譜．

1 基本概念和結(jié)論

設(shè)R=ZM的極大理想為I，令R-=R/I．R 上長度為n 的線性碼C 叫做循環(huán)碼，若滿足性質(zhì):?c = (c0，c1，…，cn-1)∈C ?(cn-1，c0，c1，…，cn-2)∈C．

我們把R 上長度為n 的循環(huán)碼定義為R 上的一個(gè)加法子模Rn．如果f(x)整除xn-1(即xn-1 =f(x)g(x)，就記g(x)=(xn-1)/f(x)為f^(x)．因此，C 是循環(huán)碼的充要條件是C 是多項(xiàng)式環(huán)R［x］模xn-1 的剩余類環(huán)R［x］/(xn-1)的理想．

任取x=(x1，x2，…，xn)∈R 定義x 的微分為D(x)=(x2-x1，x3-x2，…xn-xn-1)． 這里約定n=1時(shí)D(x)= 0． 對(duì)1 ＜i ≤n，定義Di(x)=D(Di-1(x))．顯然D 是從Rn到Rn-1的一個(gè)線性算子．

對(duì)任意多項(xiàng)式l(x)∈R［x］，定義線性算子

定義Γ

稱為截取算子． 那么Γi就是截去前i 位保留后n-i位的算子．

合并算子Lx-1和Γ，有ΓLx-1(a0，a1，…，an-1)= (a0- a1，a1- a2，…，an-2- an-1)，顯然D= -ΓLx-1．易證三個(gè)算子間的關(guān)系如下．

引理1［5］對(duì)0≤i≤n，有Di= -Γi-1．

定義1 稱使Di(x)=0 成立的最小非負(fù)整數(shù)i 為x 的深度，記為depth(x);若沒有這樣的i存在，則令x 的深度為n．

定義2 設(shè)C 是環(huán)R 上長為n 的碼，用Di表示C 中深度為i 的碼字個(gè)數(shù)，則稱集合{D0，D1，…，Dn}為碼C 的深度分布，稱{i|Di≠0，1≤i≤n}為碼C 的深度譜，記作Dept (C)． 約定Dept({0})=φ．

引理2 (1)微分算子D 是從Rn到Rn-1的滿線性同態(tài);(2)如果depth(x)= d ＞t ＞0，則depth(Dt(x))=d -t;(3)Dept(Rn)={1，2，…，n}．

定理1 設(shè)C 是環(huán)R 上長為n 的碼，即C?Rn;設(shè)1≤i≤n，記C' =Di(C)是碼C 通過算子Di在Rn-i中的像，記C″={c∈C|Di(C)=0}，則Dept(C)=Dept(C″)∪(i+Dept(C'))．

證明 可參看文獻(xiàn)［5］中定理2．6 的證明．

2 主要結(jié)論及其證明

定理2［6］設(shè)C 是有限鏈環(huán)Zpα上長度為n的循環(huán)碼，則R［x］中存在兩兩互素的多項(xiàng)式f0，f1，…，ft，f0f1…ft=xn-1，使得C =，a^f2，…，at-1f^

t)，這里degf^i = n - ki，i = 1，2，…，t． 若(x-1表示(x-1)，但(x-1)si+1不整除)．則C 至少有k1+k2+… +kt個(gè)深度值，其深度譜為多重集

1，2，…，st，n-(kt-st)+1，n -(kt-st)+2，…，n}．只要對(duì)數(shù)大小比較，去掉重復(fù)的值即可．

定理3 ZM為任意的模M 剩余類環(huán)，C 是ZM上長度為n 的循環(huán)碼，ZM上長度為n 的循環(huán)碼C 至少有k11+k12+… +k1t+… +kl1+kl2+…+klt個(gè)深度值，其深度譜為多重集:

只要對(duì)數(shù)大小比較，去掉重復(fù)的值即可．

證明 令M=pα11…pαll，p1，…，pl為M 的互不相同的素因子，則在ZM［x］中元素pα11，…，pαll是彼此互素的． 由中國剩余定理，

ZM［x］/〈xn-1〉?Zp1α1［x］/〈xn-1〉⊕…⊕Zplαl［x］/〈xn-1〉，

設(shè)C 是ZM上長度為n 的循環(huán)碼，則C?C1⊕C2⊕…⊕Cl，其中Ci為Zpiαi上長度為n 的循環(huán)碼，由定理2Zpiαi(i=1，2，…，l)上長度為n 的循環(huán)碼Ci至少有ki1+ki2+… +kit個(gè)深度值，其深度譜為多重集

1，2，…，sit，n-(kit-sit)+1，n-(kit-sit)+2，…，n}．只要對(duì)數(shù)大小比較，去掉重復(fù)的值即可．

任取c∈C，存在li(x)∈ZM［x］，使得c(x)== 1，2，…，l，所 以ci∈ Ci，又 depth(c) =max(depth(ci))，所以Dept(C)?Dept(C1)∪Dept(C2)∪…∪Dept(Cl)．

顯然反包含也成立，即Dept(C)=Dept(C1)∪Dept(C2)∪…∪Dept(Cl)．

ZM上長度為n 的循環(huán)碼C 至少有k11+k12+…+k1t+… +kl1+kl2+… +klt個(gè)深度值個(gè)深度值，其深度譜為多重集

1，2，…，slt，n-(klt-slt)+1，n-(klt-slt)+2，…，n}．只要對(duì)數(shù)大小比較，去掉重復(fù)的值即可．

［1］ ETZION E T． The depth distribution:a new characterization for linear codes［J］．IEEE Trans on IT，1997，43(4):1361 -1363．

［2］ MITCHELL C J． On integer-valued rational polynomials and depth distributions of binary codes［J］． IEEE Trans on IT，1998，44(7):1346 -1350．

［3］ YUAN Luo，F(xiàn)U Fang-wei，WEI V K-W． On the depth distribution of linear codes ［J］． IEEE Trans Inform Theory，2000，46(2):2197 -2203．

［4］ 朱士信，楊善林，童宏璽．環(huán)Z4 上線性循環(huán)碼的深度譜［J］． 電子與信息學(xué)報(bào)，2005，27(10):1597 -1599．

［5］ 石立葉，樊惲． 四元循環(huán)碼的深度分布［J］． 華中師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2009，43(3):355 -358．

［6］ ZHENG Xi-ying，KONG Bo． The depth spectrums of linear cyclic Codes on Ring ZPm［C］//IEEE Youth Conference on Information． Beijing:Computing and Telecommunication，2010:162 -165．Abstract:Based on the depth spectrum of linear cyclic code of length n over the integer residue class ring(i=1，2，…，l)，according to the Chineseremainder theorem，the generatorpolynomialofcycliccodeoflength n(piis not exactlydivisible by n，i=1，2，…，l)overthe integer residue class ring ZM(M =…and p1，p2，…，plare different prime factors of M)is studied． And the depth spectrum of linear cyclic code of length n over ZMis given in the form of multiset．