電纜三維磁場(chǎng)分析與自感計(jì)算

倪有源， 黃 亞， 林 勇

（合肥工業(yè)大學(xué)電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，安徽合肥 230009）

0 引 言

同軸電纜（也稱為同軸傳輸線）在傳輸數(shù)據(jù)、音頻、視頻等通訊設(shè)備中的應(yīng)用十分廣泛。同軸電纜由中心導(dǎo)體、絕緣材料層、網(wǎng)狀織物構(gòu)成的屏蔽層以及外部隔離材料層組成。同軸電纜的這種結(jié)構(gòu)，使它具有高帶寬和極好的噪聲抑制特性。而同軸電纜的內(nèi)導(dǎo)體可以由多股導(dǎo)線構(gòu)成，外導(dǎo)體也可以由多股導(dǎo)線構(gòu)成，并且內(nèi)外導(dǎo)體可以同時(shí)由多股導(dǎo)線構(gòu)成，稱為多股導(dǎo)線同軸電纜。同軸電纜在制造及使用過程中易造成偏心，就形成了偏心電纜。

國內(nèi)外對(duì)同軸電纜的研究十分活躍，文獻(xiàn)［1］研究了IP電話利用同軸電纜電視網(wǎng)絡(luò)；文獻(xiàn)［2－ 5］分析研究了漏泄同軸電纜；文獻(xiàn)［6］研究了鍍膜同軸電纜如何使交流損耗的數(shù)值最小化；文獻(xiàn)［7］分析了應(yīng)用在包裝技術(shù)上一種新穎的三維互聯(lián)系統(tǒng)；文獻(xiàn)［8］研究了超低阻抗的電纜；文獻(xiàn)［9］使用共形映射和有限差分時(shí)域的方法闡述了偏心電纜的特性；文獻(xiàn)［10］采用保角變換和有限差分組合的方法估算了偏心電纜高次模的截止頻率；文獻(xiàn)［11］采用時(shí)域有限差分法，分析了屏蔽電纜屏蔽層中的電壓電流在芯線中的耦合響應(yīng)；文獻(xiàn)［12］通過保角變換求得了外方內(nèi)圓同軸線的解。

但是國內(nèi)外關(guān)于同軸電纜電感參數(shù)計(jì)算方面的研究卻十分匱乏，文獻(xiàn)［13］采用奇異函數(shù)的方法計(jì)算外圓內(nèi)圓同軸傳輸線的單位長度電容和電感參數(shù)；文獻(xiàn)［14］采用雙細(xì)線回路方程構(gòu)建多導(dǎo)體傳輸線矩陣模型直接求解電感矩陣，采用矩陣運(yùn)算求解多導(dǎo)體電流分布。精確計(jì)算各類電纜的電感參數(shù)是非常重要的。對(duì)于含有非圓形導(dǎo)體的同軸電纜以及偏心電纜，傳統(tǒng)的解析方法很難得到精確的解，需要用三維數(shù)值方法計(jì)算。有限元方法作為一種有效的數(shù)值計(jì)算方法，其計(jì)算精度很高，適合求解此類不規(guī)則三維電磁場(chǎng)問題。

本文采用有限元商用軟件包ANSYS，通過求解三維靜磁場(chǎng)，基于磁場(chǎng)能量法計(jì)算各種不同形狀的同軸電纜以及偏心電纜在不同參數(shù)下的單位長度自感參數(shù)，基于能量攝動(dòng)法計(jì)算得到同軸電纜在不同參數(shù)下的單位長度自感參數(shù)和單位長度互感參數(shù)。有限元法與解析方法計(jì)算結(jié)果的一致性驗(yàn)證了計(jì)算結(jié)果的正確性。該方法簡單易行，且計(jì)算精度很高，可用于計(jì)算各類同軸電纜以及偏心電纜等各類電纜的電感參數(shù)。

1 電感計(jì)算方法

電感的計(jì)算方法有多種，可分為解析法和數(shù)值法。解析法有保角變換法、磁鏈法等。最常用的解析方法計(jì)算電感是磁鏈法［15］，磁鏈法適合計(jì)算形狀規(guī)則導(dǎo)體的電感參數(shù)。數(shù)值法包括有限元法、有限差分法等。磁場(chǎng)能量法以及能量攝動(dòng)法也可以計(jì)算電感參數(shù)，尤其對(duì)形狀不規(guī)則的導(dǎo)體計(jì)算非常方便。

（1）磁鏈法。導(dǎo)體的自感為：

其中，ψL為磁鏈；I為導(dǎo)體中的電流。

導(dǎo)體間的互感為：

其中，ψ21為電流I1在回路2中產(chǎn)生的磁鏈。

（2）磁場(chǎng)能量法。某個(gè)體積內(nèi)存儲(chǔ)的磁場(chǎng)能量為：

其中，B為磁感應(yīng)強(qiáng)度；H為磁場(chǎng)強(qiáng)度。

由（3）式計(jì)算磁場(chǎng)能量時(shí)，首先將求解域分為不同區(qū)域，求解每個(gè)區(qū)域內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度，積分獲得每個(gè)區(qū)域的磁場(chǎng)能量。最后將各個(gè)區(qū)域的磁場(chǎng)能量求和得到求解域的總磁場(chǎng)能量。

自感為：

（3）能量攝動(dòng)法。用另外一種方法，即能量攝動(dòng)法［16］也可以計(jì)算自感和互感。存儲(chǔ)在第j個(gè)繞組中的能量Wj可以表示為：

存儲(chǔ)在n個(gè)繞組中的總能量為：

如果電流有十分微小的攝動(dòng)，可認(rèn)為增量電感保持不變，于是相應(yīng)的增量能量為ΔW。

儲(chǔ)存在磁場(chǎng)中的總能量為：

由于增量電感在電流的小范圍內(nèi)波動(dòng)時(shí)可認(rèn)為是不變的，通過求導(dǎo)可得：

由于各繞組的互感值相同，即

于是經(jīng)過變換得到：

因此，改變電流也就相應(yīng)改變磁場(chǎng)能量值?？捎桑?0）式求得繞組的自感，由（11）式求得2個(gè)繞組之間的互感。

2 同軸電纜電感計(jì)算

（1）外圓內(nèi)圓同軸電纜。分別取內(nèi)導(dǎo)體半徑、外導(dǎo)體內(nèi)徑、外導(dǎo)體外徑為變量。當(dāng)內(nèi)導(dǎo)體半徑為變量時(shí)，外導(dǎo)體內(nèi)徑、外徑分別為20、 25 mm。當(dāng)外導(dǎo)體內(nèi)徑為變量時(shí)，內(nèi)導(dǎo)體半徑、外導(dǎo)體外徑分別為6、25 mm。當(dāng)外導(dǎo)體外徑為變量時(shí)，內(nèi)導(dǎo)體半徑、外導(dǎo)體內(nèi)徑分別為6、10 mm。采用有限元商用軟件包ANSYS，在進(jìn)行建模、施加邊界條件、加載電流后，獲得同軸電纜三維靜磁場(chǎng)的求解?；诖艌?chǎng)能量法，即由（4）式計(jì)算外圓內(nèi)圓同軸電纜的自感。將計(jì)算結(jié)果用Matlab繪制成圖，結(jié)果如圖1所示。

由圖1可知，自感隨著內(nèi)導(dǎo)體半徑的增大而減小，隨著外導(dǎo)體內(nèi)徑的增大而增大，隨著外導(dǎo)體外徑的增大而增大。

圖1 外圓內(nèi)圓電纜各參數(shù)為變量時(shí)自感值

（2）外圓內(nèi)方同軸電纜。分別取內(nèi)導(dǎo)體邊長、外導(dǎo)體內(nèi)徑、外導(dǎo)體外徑為變量。當(dāng)內(nèi)導(dǎo)體邊長為變量時(shí)，外導(dǎo)體內(nèi)徑、外徑分別為20、25 mm。當(dāng)外導(dǎo)體內(nèi)徑為變量時(shí)，內(nèi)導(dǎo)體邊長、外導(dǎo)體外徑分別為6、25 mm。當(dāng)外導(dǎo)體外徑為變量時(shí)，內(nèi)導(dǎo)體邊長、外導(dǎo)體內(nèi)徑分別為6、10 mm。計(jì)算結(jié)果如圖2所示。

圖2 外圓內(nèi)方電纜各參數(shù)為變量時(shí)自感值

由圖2可知，自感隨著內(nèi)導(dǎo)體半徑的增大而減小，隨著外導(dǎo)體內(nèi)徑的增大而增大，隨著外導(dǎo)體外徑的增大而增大。

（3）外方內(nèi)圓同軸電纜。分別取內(nèi)導(dǎo)體半徑、外導(dǎo)體內(nèi)徑、外導(dǎo)體外邊長為變量。當(dāng)內(nèi)導(dǎo)體半徑為變量時(shí)，外導(dǎo)體內(nèi)徑、外邊長分別為20、 50 mm。當(dāng)外導(dǎo)體內(nèi)徑為變量時(shí)，內(nèi)導(dǎo)體半徑、外導(dǎo)體外邊長分別為6、50 mm。當(dāng)外導(dǎo)體外邊長為變量時(shí)，內(nèi)導(dǎo)體半徑、外導(dǎo)體內(nèi)徑分別為6、10 mm。計(jì)算結(jié)果如圖3所示。

圖3 外方內(nèi)圓電纜各參數(shù)為變量時(shí)自感值

由圖3可知，自感隨著內(nèi)導(dǎo)體半徑的增大而減小，隨著外導(dǎo)體內(nèi)徑的增大而增大，隨著外導(dǎo)體外徑的增大而增大。

（4）外橢圓內(nèi)圓同軸電纜。分別取內(nèi)導(dǎo)體半徑、橢圓內(nèi)短軸長、橢圓外短軸長為變量。當(dāng)內(nèi)導(dǎo)體半徑為變量時(shí)，橢圓內(nèi)短軸長、橢圓長分別為20、25 mm。當(dāng)橢圓內(nèi)短軸長為變量時(shí)，內(nèi)導(dǎo)體半徑、橢圓外短軸長分別為6、25 mm。當(dāng)橢圓外短軸長為變量時(shí)，內(nèi)導(dǎo)體半徑、橢圓內(nèi)短軸長分別為6、10 mm。其中橢圓離心率為0.745 4。計(jì)算結(jié)果如圖4所示。

圖4 外橢圓內(nèi)圓電纜各參數(shù)為變量時(shí)自感值

由圖4可知，自感隨著內(nèi)導(dǎo)體半徑的增大而減小，隨著外導(dǎo)體內(nèi)徑的增大而增大，隨著外導(dǎo)體外徑的增大而增大。

3 多股導(dǎo)線同軸電纜電感計(jì)算

同軸電纜的內(nèi)導(dǎo)體可由多股導(dǎo)線構(gòu)成，如圖5所示，外導(dǎo)體也可以由多股導(dǎo)線構(gòu)成，并且內(nèi)外導(dǎo)體可以同時(shí)由多股導(dǎo)線構(gòu)成。

對(duì)于具有多股內(nèi)導(dǎo)線的同軸電纜，每股導(dǎo)線半徑為1 mm，每股導(dǎo)線截面中心所在圓的半徑為4 mm，外導(dǎo)線內(nèi)外徑分別為6、8 mm。

對(duì)于具有多股外導(dǎo)線的同軸電纜，每股導(dǎo)線半徑為1 mm，內(nèi)導(dǎo)線半徑為4 mm，每股導(dǎo)線截面中心所在圓的半徑為6 mm。對(duì)于具有多股內(nèi)導(dǎo)線和多股外導(dǎo)線的同軸電纜，內(nèi)外股導(dǎo)線半徑均為1 mm，內(nèi)外股導(dǎo)線截面中心所在圓的半徑分別為4、8 mm。

基于磁場(chǎng)能量攝動(dòng)法，即由（4）式計(jì)算得到4、6、8、10、12股電纜的單位長度自感參數(shù)，結(jié)果見表1所列。

圖5 多股內(nèi)導(dǎo)線的同軸電纜

表1 單位長度自感計(jì)算結(jié)果

4 偏心電纜電感計(jì)算

（1）外圓內(nèi)圓偏心電纜。內(nèi)導(dǎo)體半徑、外導(dǎo)體內(nèi)徑和外導(dǎo)體外徑分別為6、20、25 mm，內(nèi)導(dǎo)體圓心與外導(dǎo)體圓心的偏心距離為變量?；诖艌?chǎng)能量法，即由（4）式可計(jì)算外圓內(nèi)圓偏心電纜的自感，將計(jì)算結(jié)果繪制成圖，如圖6所示。由圖6可知自感隨著偏心距離的增大而減小。

（2）外方內(nèi)圓偏心電纜。內(nèi)導(dǎo)體半徑、外導(dǎo)體內(nèi)邊長和外導(dǎo)體外邊長分別為6、40、50 mm，內(nèi)導(dǎo)體圓心與外導(dǎo)體中心的偏心距離為變量。計(jì)算結(jié)果如圖7所示。由圖7可知自感隨著偏心距離的增大而減小。

基于磁場(chǎng)能量法，即由（4）式計(jì)算同軸電纜的自感時(shí)，認(rèn)為同軸電纜內(nèi)導(dǎo)體和外導(dǎo)體構(gòu)成回路，是一個(gè)導(dǎo)體。

圖6 外圓內(nèi)圓電纜偏心距離為變量時(shí)自感值

圖7 外方內(nèi)圓電纜偏心距離為變量時(shí)自感值

如果認(rèn)為同軸電纜內(nèi)導(dǎo)體和外導(dǎo)體是2個(gè)導(dǎo)體，則它們不僅各自有自感，而且它們之間存在互感?；谀芰繑z動(dòng)法，即由（10）式、（11）式計(jì)算外圓內(nèi)圓同軸電纜內(nèi)導(dǎo)體的單位長度自感、外導(dǎo)體的單位長度自感、內(nèi)導(dǎo)體與外導(dǎo)體之間的單位長度互感。計(jì)算結(jié)果見表2所列（其中r1為內(nèi)導(dǎo)體半徑）。

因此，同軸電纜總的自感表達(dá)式為：

其中，L1為內(nèi)導(dǎo)體的自感；L2為外導(dǎo)體的自感；M為內(nèi)導(dǎo)體與外導(dǎo)體之間的互感，由于2個(gè)導(dǎo)體電流方向相反，互感值取負(fù)號(hào)。

再由（12）式，計(jì)算得到外圓內(nèi)圓同軸電纜單位長度總自感，計(jì)算結(jié)果見表2所列。不難看出，計(jì)算結(jié)果與圖1中的計(jì)算結(jié)果完全相同。對(duì)于其他形狀的同軸電纜，計(jì)算結(jié)果也一樣，因此驗(yàn)證了能量攝動(dòng)法計(jì)算電感參數(shù)的有效性。

為了驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果的正確性，將有限元方法的計(jì)算結(jié)果與解析方法的計(jì)算結(jié)果加以比較。對(duì)于外圓內(nèi)圓的同軸電纜，取不同的參數(shù)，由（1）式計(jì)算得到單位長度自感表達(dá)式［15］為：

其中，r1為內(nèi)導(dǎo)體半徑；r2、r3分別為外導(dǎo)體內(nèi)徑和外徑。

表2 單位長度自感計(jì)算結(jié)果 10－7 H／m

由（13）式計(jì)算得到的結(jié)果見表3所列，2種方法計(jì)算結(jié)果的一致性驗(yàn)證了有限元方法計(jì)算的正確性。

表3 2種方法計(jì)算同軸電纜自感的比較

對(duì)于含有多股內(nèi)導(dǎo)線的同軸電纜，由（1）式得到單位長度自感表達(dá)式為［17］：

其中，q、r為外導(dǎo)體半徑；ρ為每股導(dǎo)體半徑；R為每股導(dǎo)線截面中心所在圓的半徑；m為股數(shù)。

對(duì)于含有多股外導(dǎo)線的同軸電纜，由（1）式得到單位長度自感表達(dá)式為［17］：

其中，p為內(nèi)導(dǎo)體半徑；ρ為每股導(dǎo)體半徑；R為每股導(dǎo)線截面中心所在圓的半徑。

由（14）式、（15）式計(jì)算得到的結(jié)果見表4所列，2種方法計(jì)算結(jié)果的一致性驗(yàn)證了有限元方法計(jì)算的正確性。

表4 2種方法計(jì)算多股導(dǎo)線同軸電纜自感的比較

5 結(jié)束語

電感參數(shù)是各類電纜的重要參數(shù)之一，精確獲得其電感參數(shù)是非常重要的。本文采用有限元商用軟件包ANSYS，通過求解三維靜磁場(chǎng)，基于磁場(chǎng)能量法計(jì)算得到幾種不同形狀的同軸電纜、多股導(dǎo)線同軸電纜以及偏心電纜在不同參數(shù)下的單位長度自感參數(shù)?；谀芰繑z動(dòng)法計(jì)算得到同軸電纜在不同參數(shù)下的單位長度自感參數(shù)和單位長度互感參數(shù)，并進(jìn)一步分析得到同軸電纜和偏心電纜的自感變化規(guī)律：同軸電纜的自感隨著內(nèi)導(dǎo)體半徑的增大而減小，隨著外導(dǎo)體內(nèi)徑的增大而增大，隨著外導(dǎo)體外徑的增大而增大；偏心電纜的自感隨著偏心距離的增大而減小。有限元方法與解析方法計(jì)算結(jié)果的一致性驗(yàn)證了計(jì)算結(jié)果的正確性。與復(fù)雜的解析方法和其他方法相比，該方法簡單易行，且計(jì)算精度很高，可用于計(jì)算不同形狀的同軸電纜以及偏心電纜等各類電纜的電感參數(shù)。本文為各類電纜的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、電磁場(chǎng)計(jì)算、參數(shù)計(jì)算以及優(yōu)化設(shè)計(jì)等方面提供一定的理論參考。

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