對(duì)Jahangir組合式矩估計(jì)器的改進(jìn)

李大朋 姚 迪

(北京理工大學(xué)電子信息工程學(xué)院，北京 100081)

對(duì)Jahangir組合式矩估計(jì)器的改進(jìn)

李大朋 姚 迪

(北京理工大學(xué)電子信息工程學(xué)院，北京 100081)

在M.Jahangir以常數(shù)為權(quán)的組合式矩估計(jì)器的基礎(chǔ)上，給出一種以函數(shù)為權(quán)的組合式矩估計(jì)器，稱為L(zhǎng)-J估計(jì)器.其中，最優(yōu)加權(quán)函數(shù)是根據(jù)U估計(jì)器與形狀參數(shù)的單調(diào)關(guān)系，通過數(shù)論網(wǎng)格最優(yōu)化算法搜索解出.大量仿真實(shí)驗(yàn)證實(shí)，在對(duì)K分布形狀參數(shù)v大范圍的參數(shù)估計(jì)中，L-J估計(jì)器在估計(jì)精度上，不但較Jahangir等提出的常數(shù)加權(quán)組合矩估計(jì)器的精度有顯著提高，而且可與MLE(Maximum Likelihood Estimator)相當(dāng).特別是由于MLE作為漸進(jìn)無偏估計(jì)量，需要充分大的樣本長(zhǎng)度才能達(dá)到最優(yōu)，這就使得L-J估計(jì)器的估計(jì)精度可在樣本長(zhǎng)度較小時(shí)優(yōu)于MLE.此外，L-J估計(jì)器無需迭代運(yùn)算，因而在計(jì)算效率上，顯著優(yōu)于現(xiàn)有的ML估計(jì)器.

K分布;U估計(jì)器;組合式矩估計(jì)器;ML估計(jì)器

K分布雜波模型是目前應(yīng)用較為成功的雷達(dá)遙感圖像統(tǒng)計(jì)模型之一，它能很好地描述高分辨雷達(dá)圖像的統(tǒng)計(jì)分布特性，在海雜波、地雜波描述以及其他領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.其參數(shù)估計(jì)一直是研究的熱點(diǎn)問題.研究表明［1］，對(duì)K分布形狀參數(shù)v的錯(cuò)誤估計(jì)會(huì)引起CFAR(Constant False Alarm Rate)檢測(cè)性能嚴(yán)重下降.因此對(duì)K分布形狀參數(shù)v的正確估計(jì)，具有重要意義.

雖然理論上，最大似然估計(jì)(MLE，Maximum Likelihood Estimator)是K分布形狀參數(shù)v的最佳漸進(jìn)無偏估計(jì)，其漸進(jìn)分布是以真值為均值，方差為Crammer-Rao下界的正態(tài)分布.但是，迄今很難得到ML估計(jì)的閉型解，而通過數(shù)值方法，需要大量的迭代運(yùn)算，計(jì)算量巨大［2－3］.為此，很多學(xué)者提出了不同的參數(shù)估計(jì)方法來替代ML估計(jì).

文獻(xiàn)［4］提出了一種由U估計(jì)器與幅度對(duì)比算子估計(jì)器以常數(shù)為權(quán)組合而成的新型估計(jì)器.其性能較單一的矩估計(jì)器的性能有顯著提高，向MLE靠近了一步.

文獻(xiàn)［5］提出了另外一種以常數(shù)為權(quán)的由U，X估計(jì)器組合形成的新型的K分布形狀參數(shù)估計(jì)器，稱為M估計(jì)器.M估計(jì)器在小v值，即v在0～2的范圍內(nèi)優(yōu)于U，X等其他所有非組合型矩估計(jì)器，在0＜v＜2的范圍內(nèi)其性能與Jahangir提出的估計(jì)器類似.文獻(xiàn)［6］提出了對(duì)M估計(jì)器的改進(jìn)，擴(kuò)大了M估計(jì)器的應(yīng)用范圍.不過，改進(jìn)的M估計(jì)器仍然屬于以常數(shù)為權(quán)的組合式K分布形狀參數(shù)估計(jì)器，其估計(jì)精度仍與Jahangir估計(jì)器相差不多.

本文給出以函數(shù)為權(quán)的組合式矩估計(jì)器，記為L(zhǎng)-J估計(jì)器.實(shí)驗(yàn)證實(shí)，L-J估計(jì)器對(duì)K分布形狀參數(shù)v估計(jì)的精度與效率，不但顯著優(yōu)于上述以常數(shù)為權(quán)的組合式K分布形狀參數(shù)估計(jì)器，而且可達(dá)到接近或相當(dāng)于MLE的精度;特別是在樣本長(zhǎng)度較小、v較大時(shí)，L-J估計(jì)器的精度甚至在v的某些取值范圍內(nèi)超過MLE的精度.此外，由于L-J估計(jì)器不必像ML估計(jì)器那樣進(jìn)行大量的迭代運(yùn)算，其在計(jì)算效率方面較MLE有著顯而易見的優(yōu)勢(shì).

1 K分布形狀參數(shù)v的矩估計(jì)器

1.1 K 分布

K分布的密度函數(shù)(PDF)為

其中，z≥0為信號(hào)強(qiáng)度;Kv－1是 v－1階第二類修正Bessel函數(shù);v＞0為形狀參數(shù);b=v/μ為尺度參數(shù);μ為雜波均值.

1.2 U 估計(jì)器［2］

其中，ψ(0)是雙 gamma函數(shù);γ是 Euler常數(shù)，γ=0.57721.

1.3 J 估計(jì)器［4］

2 L-J估計(jì)器

正如文獻(xiàn)［4］指出的，以常數(shù)為權(quán)進(jìn)行兩個(gè)矩估計(jì)的這種組合，所得估計(jì)器的性能只能是次優(yōu)而達(dá)不到最優(yōu).因此，為使組合式矩估計(jì)器達(dá)到最優(yōu)而與MLE相當(dāng)，提出以函數(shù)為權(quán)的組合式矩估計(jì)器，記為L(zhǎng)-J估計(jì)器.

L-J估計(jì)器:

由于式(3)的函數(shù)是U關(guān)于v的單調(diào)遞增函數(shù)，即可推知U估計(jì)器的期望U與K分布形狀參數(shù)v互為反函數(shù)，具有單值、單調(diào)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.也就是說，U的變化可以完全反映v的變化.這就成為選取U做控制權(quán)函數(shù)α=α(U)變化的自變量的理論根據(jù).

為確定α=α(U)的具體表達(dá)式，需建立兩個(gè)n(n∈Z+，n≥3)元數(shù)組 x和 y.由于在 n的取值范圍內(nèi)求α=α(U)的基本原理是一樣的，故以下為便于說明和理解，僅以n=3的情況為例.

設(shè)有兩個(gè)三元數(shù)組:

利用matlab數(shù)學(xué)軟件中的pchip函數(shù)對(duì)x，y進(jìn)行分段三次Hermite插值［7］，即可得到插值函數(shù):

其中，A，B，C為U定義區(qū)間內(nèi)待定的3個(gè)點(diǎn)，αA，αB，αC為 α的與 A，B，C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的待定的3個(gè)值.

為確定 A，B，C 和 αA，αB，αC的具體數(shù)值而得到函數(shù) α(U)=pchip(x，y，U)，先給出 Fuzzy 數(shù)學(xué)中Hamming距離的概念:對(duì)m∈N，為比較點(diǎn)集(s1，s2，…，sm)與點(diǎn)集(t1，t2，…，tm)“距離”的遠(yuǎn)近，F(xiàn)uzzy數(shù)學(xué)定義這兩個(gè)點(diǎn)集的Hamming距離:

由Fuzzy數(shù)學(xué)可知，d越小，兩個(gè)點(diǎn)集靠得越近.于是，尋求L-J估計(jì)器的最優(yōu)估計(jì)的最優(yōu)化問題就是通過Monte-Carlo實(shí)驗(yàn)，尋求適當(dāng)?shù)腁，B，C和 αA，αB，αC，使得點(diǎn)集(σvL_1，σvL_2，…，σvL_m)與點(diǎn)集(σvMLE_1，σvMLE_2，…，σvMLE_m)之間的 Hamming距離達(dá)到最小.其中，(σvL_1，σvL_2，…，σvL_m)及(σvMLE_1，σvMLE_2，…，σvMLE_m)分別為 L-J估計(jì)器、ML估計(jì)器，在v1，v2，…，vm共m個(gè)仿真點(diǎn)上得到的對(duì) v的估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差點(diǎn)集.則，A，B，C 和 αA，αB，αC這6項(xiàng)的具體值，就可以通過求Hamming距離d的最小值的6維最優(yōu)化搜尋獲得.最優(yōu)化搜索的方法有多種，例如遺傳算法、模擬退火法、粒子群算法等等.本文采用數(shù)論網(wǎng)格方法.運(yùn)用數(shù)論網(wǎng)格(SNTO)方法進(jìn)行最優(yōu)搜索，最后結(jié)果如下:

即得分段三次Hermite插值函數(shù):

為實(shí)際運(yùn)用，將此matlab中的pchip函數(shù)表示成分段三次Hermite插值函數(shù)，得函數(shù)表達(dá)式:

其中

3 仿真實(shí)驗(yàn)

文獻(xiàn)［2］提出的MLE，限于多種因素影響，即使樣本長(zhǎng)度N=1000時(shí)，所得數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差仍然很大，沒有達(dá)到理論最優(yōu)值.文獻(xiàn)［2］中MLE與J，L-J估計(jì)器標(biāo)準(zhǔn)差的比較詳見表1(為便于比較，實(shí)驗(yàn)條件保持與文獻(xiàn)［2］一致，均為:N=1000，Monte-Carlo實(shí)驗(yàn)次數(shù)為1000).

表1 M LE，J，L-J估計(jì)器標(biāo)準(zhǔn)差情況比較

由表1可以看出，L-J估計(jì)器在上述情況下所得估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差最小，估計(jì)精度優(yōu)于該MLE.

文獻(xiàn)［8］采用期望最大(EM)迭代算法實(shí)現(xiàn)了另一種對(duì)K分布參數(shù)的ML估計(jì).但正如文獻(xiàn)［9］指出的那樣，雖然其運(yùn)算較二維平面搜索有所減小，但有關(guān)迭代運(yùn)算仍需要相當(dāng)大的數(shù)據(jù)量才能保證計(jì)算的精度，額外的計(jì)算量還是比較大.下面給出L-J估計(jì)器與文獻(xiàn)［8］中MLE及J估計(jì)器誤差情況的比較.

圖1給出在樣本長(zhǎng)度N=750的情況下，L-J估計(jì)器與文獻(xiàn)［8］中MLE及Jahangir估計(jì)器的估計(jì)誤差比較.易見，即使樣本長(zhǎng)度很大，L-J估計(jì)器與MLE的估計(jì)精度也很接近.

圖1 N=750時(shí)，MLE，L-J與 J估計(jì)器對(duì)形狀參數(shù)v估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差比較

而由圖2可以看到，當(dāng)樣本長(zhǎng)度N=500時(shí)，L-J估計(jì)器與文獻(xiàn)［8］中MLE的估計(jì)精度更加相近，而且隨著v值增大其精度已在部分點(diǎn)上超過MLE.

圖3給出在樣本長(zhǎng)度N=250時(shí)，L-J估計(jì)器與文獻(xiàn)［8］中MLE及其他估計(jì)器的估計(jì)誤差比較.不難看出，此時(shí)L-J估計(jì)器的估計(jì)精度總體上優(yōu)于MLE.

圖2 N=500時(shí)，MLE，L-J與 J估計(jì)器對(duì)形狀參數(shù)v估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差比較

圖3 N=250時(shí)，MLE，L-J與 J估計(jì)器對(duì)形狀參數(shù)v估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差比較

由圖1～圖3的結(jié)果可見，隨著樣本長(zhǎng)度的減小和v值增大，文獻(xiàn)［8］中MLE的估計(jì)精度越來越不如L-J估計(jì)器.其原因在于:

1)MLE是漸進(jìn)的無偏估計(jì).MLE要達(dá)到最優(yōu)估計(jì)，是有條件的，要求樣本長(zhǎng)度充分大.所以，MLE的估計(jì)精度會(huì)隨樣本長(zhǎng)度減小而減小.

2)文獻(xiàn)［8］給出的EM算法，需要大量的迭代運(yùn)算，且估計(jì)精度與初值關(guān)系很大.初值給偏，不但會(huì)造成迭代次數(shù)增加，同時(shí)也會(huì)造成估計(jì)誤差的增大.

為全面比較，圖4和圖5給出樣本長(zhǎng)度N=250，經(jīng)10000次Monte-Carlo仿真實(shí)驗(yàn)，在小v值和大v值兩種情況下，L-J估計(jì)器與Jahangir提出的J估計(jì)器的標(biāo)準(zhǔn)差的比較.由圖可見，L-J估計(jì)器的精度在很寬的v值的范圍內(nèi)，顯著優(yōu)于J估計(jì)器.

圖4 N=250，v∈［0.1，2］時(shí)，L-J與 J估計(jì)器對(duì)v估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差比較

圖5 N=250，v∈［2，10］時(shí)，L-J與 J估計(jì)器對(duì)v估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差比較

4 結(jié) 束 語

為了對(duì)K分布形狀參數(shù)v盡可能準(zhǔn)確的估計(jì)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量研究，提出了多種估計(jì)器，例如近期成果［10－12］.迄今這些估計(jì)器大體可分為兩類:矩估計(jì)器和ML估計(jì)器.研究表明，這兩類估計(jì)器各有短長(zhǎng):矩估計(jì)器計(jì)算量小但精度低，而ML估計(jì)器精度高，是理論上的對(duì)N的最優(yōu)估計(jì)，其缺點(diǎn)是:要求樣本長(zhǎng)度N充分大，并且運(yùn)算量較大.

文獻(xiàn)［4］提出了一種以常數(shù)為權(quán)的通過兩個(gè)矩估計(jì)器組合而成的新型估計(jì)器，性能優(yōu)于單一的矩估計(jì)器.理論與實(shí)踐都證明，這種以常數(shù)為權(quán)的組合式矩估計(jì)器的性能只能是次優(yōu)的，不可能達(dá)到最優(yōu).

本文提出L-J估計(jì)器，改變了組合式矩估計(jì)器只能以常數(shù)為權(quán)的現(xiàn)狀.L-J估計(jì)器是一種由U估計(jì)器和對(duì)比度算子估計(jì)器組合而成，以函數(shù)為權(quán)的組合式矩估計(jì)器.大量仿真實(shí)驗(yàn)證實(shí)，L-J估計(jì)器在估計(jì)精度上不但顯著優(yōu)于Jahangir提出的J估計(jì)器，而且在樣本長(zhǎng)度較小時(shí)，其精度在v的某些范圍內(nèi)甚至優(yōu)于現(xiàn)有MLE;而從估計(jì)效率上看，L-J估計(jì)器無迭代過程，因而其估計(jì)效率明顯優(yōu)于MLE.

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(編 輯:婁 嘉)

Improvement of Jahangir’s multiple moments estimator

Li Dapeng Yao Di

(School of Information and Electronics，Beijing Institute of Technology，Beijing 10081，China)

Based on M.Jahangir's multiple moments estimator using constant weight，a new estimator named L-Jestimatorwas proposed，which consists of multiple moments and uses function weight.The optimum weight function was obtained by the sequential algorithm for optimization according to the monotonic relationship of U-estimator and the shape parameter.A large number of simulation experiments show that the accuracy of L-Jestimator is not only higher than that of Jahangir'smultiple estimator using constant weight noticeably，but also it can stand comparison with that of maximum likelihood estimator(MLE).As an asymptotic unbiased estimation，MLE requires sufficient large number of samples to achieve the optimum performance，then it makes that the accuracy of L-Jestimator can be better than that of MLE in the case of fewer samples.Moreover，the efficiency of L-Jestimator is obviously higher than that of MLE，since there is no iteration to need.

K-distribution;U-estimator;multiplemoments estimator;maximum likelihood estimator

TN 911.23

A

1001-5965(2012)06-0788-05

2011-03-11;網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間:2012-06-15 15:43

www.cnki.net/kcms/detail/11.2625.V.20120615.1543.020.htm l

李大朋(1979 －)，男，黑龍江齊齊哈爾人，博士生，ddyao@bit.edu.cn.