不同邊界下的堅(jiān)硬頂板極限承載分析及破斷距確定

黃耀光，浦 海

（1.中國礦業(yè)大學(xué)深部巖土力學(xué)與地下工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇徐州221008;2.中國礦業(yè)大學(xué)力學(xué)與建筑工程學(xué)院，江蘇徐州 221116）

不同邊界下的堅(jiān)硬頂板極限承載分析及破斷距確定

黃耀光1，2，浦 海1，2

（1.中國礦業(yè)大學(xué)深部巖土力學(xué)與地下工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇徐州221008;2.中國礦業(yè)大學(xué)力學(xué)與建筑工程學(xué)院，江蘇徐州 221116）

煤礦開采地質(zhì)條件復(fù)雜以及不同煤層采煤方法的差異，導(dǎo)致采場頂板會(huì)有多種邊界條件。在不同邊界下，堅(jiān)硬頂板的極限載荷和破斷距必不相同。因此，建立5種不同邊界 （四邊固支、三固一簡、鄰固鄰簡、對(duì)固對(duì)簡及三簡一固）下頂板的力學(xué)模型，利用塑性極限法求得各種邊界下頂板極限載荷，分析得出極限載荷隨k（推進(jìn)距離與工作面長度比）的變化規(guī)律。頂板極限載荷在對(duì)邊固支和對(duì)邊簡支邊界下最大，四邊固支邊界次之，而在其他3種邊界下接近相等。此外，以所求頂板極限載荷為基礎(chǔ)，得到了各種邊界條件下頂板的最小破斷距，并采用數(shù)值試驗(yàn)方法進(jìn)行了驗(yàn)證。

不同邊界條件;堅(jiān)硬頂板;極限載荷;破斷距

在煤礦開采過程中，隨著原煤不斷采出，煤上方的覆巖層將會(huì)懸露出來而形成懸空的頂板。由于頂板對(duì)上覆巖層起支承作用，隨著工作面推進(jìn)，頂板寬度將增大，從而使頂板承載能力發(fā)生變化。如果頂板上覆載荷超過了頂板的極限承載力，則有可能引起采場巷道頂板斷裂、垮落等嚴(yán)重的頂板事故［1－2］。所以需要對(duì)頂板進(jìn)行控制，以預(yù)防頂板事故的發(fā)生。

而在頂板的控制中，頂板的極限承載能力和破斷距是2個(gè)重要的參數(shù)，決定著頂板支護(hù)方案等地選擇。由于采礦工程中，地質(zhì)條件極其復(fù)雜，而且對(duì)不同的煤層所選用的采煤方法也不相同，這就造成了頂板邊界條件的復(fù)雜性［3］。顯然，不同邊界下頂板的極限承載力和破斷距是不同的，因此，為了給頂板控制提供更準(zhǔn)確的依據(jù)，就需要確定不同邊界條件下頂板的極限承載能力及破斷距。

在研究頂板的極限承載力和破斷距時(shí)，最先采用的是梁理論［4－6］。但是梁理論分析方法只適用于應(yīng)力和應(yīng)變等效的情況［6－7］。而采礦中所形成的頂板大多不滿足這一條件，特別是具有一定厚度的堅(jiān)硬頂板，這就使得用梁模型所得結(jié)果較大偏離實(shí)際。因而在對(duì)頂板進(jìn)行分析時(shí)，建立頂板的板結(jié)構(gòu)模型更符合采礦實(shí)際情況。

1 不同邊界下頂板力學(xué)模型

采礦過程中所形成的堅(jiān)硬頂板，因其厚度與工作面推進(jìn)距離的比值較小，符合薄板的假設(shè)［4］，故可將采場頂板視為矩形薄板。在建立頂板的力學(xué)模型時(shí)，一般將采場的窄煤柱視為簡支邊界，而將實(shí)體煤視為固支邊界［8］;若有斷層存在時(shí)，則將頂板的斷層邊界視為簡支邊界［9］。由于不同的地質(zhì)條件 （如斷層等）和采煤方法的差異，頂板將會(huì)出現(xiàn)不同的邊界條件，所以需要建立相應(yīng)的頂板力學(xué)模型。其主要有以下幾種邊界條件:若頂板四周均為實(shí)體煤或初始工作面，則可將頂板邊界簡化為四邊固支邊界，其力學(xué)模型如圖1（a）所示;若頂板有一工作面為留有小煤柱的采空區(qū)或與斷層邊界相連，而其余三邊為實(shí)體煤，則可將頂板邊界簡化為三邊固支一邊簡支邊界，其力學(xué)模型如圖1（b）所示;若頂板的一個(gè)工作面方向和相鄰的工作面推進(jìn)方向?yàn)閷?shí)體煤，而其余兩邊是留有小煤柱的采空區(qū)或斷層邊界，則可將頂板邊界簡化為兩鄰邊固支和兩鄰邊簡支邊界，其力學(xué)模型如圖1（c）所示;若頂板的相對(duì)工作面方向?yàn)閷?shí)體煤，而相對(duì)工作面推進(jìn)方向?yàn)閿鄬舆吔缁蛄粲行∶褐牟煽諈^(qū)，則可將頂板邊界簡化為對(duì)邊固支和對(duì)邊簡支邊界，其力學(xué)模型如圖1（d）所示;頂板的一個(gè)工作面為實(shí)體煤，而另外三邊為留有小煤柱的采空區(qū)或與斷層邊界相連，則可將頂板簡化為三邊簡支和一邊固支邊界，其力學(xué)模型如圖1（e）所示。

圖1 不同邊界下頂板力學(xué)模型

2 堅(jiān)硬頂板極限承載分析

2.1 頂板極限分析方法

頂板巖體為脆性材料，其彈性變形相對(duì)較小。但頂板巖體并不會(huì)因某一點(diǎn)達(dá)到屈服就完全破壞，而是隨著載荷不斷增大，頂板屈服會(huì)不斷擴(kuò)展下去，并形成一條條塑性鉸線。在這些塑性鉸線上，頂板仍舊可以承受極限彎矩，并且塑性鉸線可以轉(zhuǎn)動(dòng)［7，9］。只要頂板保持幾何不變性，塑性鉸線將會(huì)一直發(fā)展下去，直至頂板成為幾何可變機(jī)構(gòu)而最終破壞。當(dāng)頂板破壞時(shí)，頂板內(nèi)的塑性鉸線將頂板分割成若干塊體區(qū)域。

頂板巖體由于塑性鉸線發(fā)展而達(dá)到破壞的臨界點(diǎn)時(shí)，頂板所受內(nèi)力和外力仍處于平衡狀態(tài)。假設(shè)給該平衡狀態(tài)一個(gè)微小擾動(dòng)，則外力在虛位移w（x，y）上所作的功為

式中，θj為板塊j的法向轉(zhuǎn)角;Msj為極限彎矩在塑性旋轉(zhuǎn)軸上的投影，Lj為總的投影長度。

則由虛功原理知，頂板外力在擾動(dòng)下所做的功（we）和內(nèi)力所作的功 （wi）應(yīng)相等，即有:

從上式中可以解得載荷q的表達(dá)式。再通過對(duì)其求極值，便可得頂板的極限載荷qs，此即為分析頂板極限載荷的屈服線分析法［10－11］。

2.2 堅(jiān)硬頂板極限承載分析

對(duì)于采礦中的各種邊界條件下的矩形頂板，已經(jīng)由相似模擬實(shí)驗(yàn)和理論分析得到了其斷裂形態(tài)［4，10，12－13］。由此，可以得到不同邊界條件下頂板可能的塑性破壞結(jié)構(gòu)模型，如圖2。在所有可能的破壞結(jié)構(gòu)中，載荷最小的一個(gè)稱為頂板的極限載荷，與其相對(duì)應(yīng)的破壞結(jié)構(gòu)即為頂板的最佳破壞機(jī)構(gòu)。

式中，n為塑性鉸線所分割的頂板塊體數(shù)，m為所分割頂板塊體數(shù)目中受集中載荷的塊體數(shù)，m≤n;第1，2，3項(xiàng)分別為均布載荷、線載荷和集中載荷所作的功。

而在微小擾動(dòng)下，頂板內(nèi)力所作虛功為極限彎矩在塑性旋轉(zhuǎn)軸上的投影與板的相應(yīng)轉(zhuǎn)角θ以及投影長度的乘積，即為

圖2 不同邊界下頂板破壞結(jié)構(gòu)

頂板在破壞過程中，將在固支邊界處形成與其邊界重合的塑性鉸線，而在簡支邊界處不形成塑性鉸線。因此，對(duì)于三邊固支一邊簡支矩形頂板而言，由于頂板受均布載荷，且兩工作面推進(jìn)方向均為固支邊界，因此，頂板形成的塑性鉸線關(guān)于工作面方向的中心線對(duì)稱。故可設(shè)頂板內(nèi)部塑性鉸線的交點(diǎn)距X=±a/2邊界的距離相等，設(shè)為x。而將沿X軸方向的塑性鉸線距Y=b/2邊界的距離設(shè)為y。由此，得該頂板的極限載荷求解模型如圖3。

假設(shè)頂板的最大虛位移為δ，且其極限彎矩為Ms。則由于頂板僅受均布載荷，按公式 （1）積分可將頂板外力所做功表示為

圖3 三固一簡頂板極限載荷求解模型

則由虛功原理we=wi可求得頂板的載荷表達(dá)式為

在求解其他4種邊界下頂板的極限載荷時(shí)，可以按相同的方法進(jìn)行計(jì)算。但需注意，只有固支邊界才形成塑性鉸線，而簡支邊界不形成塑性鉸線。并且根據(jù)不同邊界條件下頂板的對(duì)稱性，可以相應(yīng)減少計(jì)算量。表1為所求的各種邊界條件下，頂板的載荷表達(dá)式、最佳破壞機(jī)構(gòu)以及頂板的極限載荷qs。為了能夠更清楚地看出不同邊界條件下頂板的極限載荷qs的變化規(guī)律，將其隨k的變化規(guī)律用圖4表示。

表1 各種邊界下的頂板極限載荷

從圖4可以看出，在5種不同邊界條件下，頂板的極限載荷的變化趨勢相一致，即都隨著k值不斷增大而減小，且在k＜0.25之前，頂板的極限載荷減小很快;之后變得相當(dāng)緩慢。頂板的極限載荷都在k=1.0附近趨于零，接近失去承載力。但在相同的k值下，不同邊界條件下頂板的極限承載能力是不相同的。其中，當(dāng)頂板為對(duì)邊固支和對(duì)邊簡支邊界時(shí)，頂板的極限載荷最大。因而，在采礦工程中，應(yīng)盡量使頂板處于此種邊界條件下，以充分發(fā)揮頂板的自身承載能力。而當(dāng)頂板為三邊固支和一邊簡支或鄰邊固支和鄰邊簡支或三邊簡支和一邊固支邊界時(shí)，頂板的極限承載能力接近相等。

3 堅(jiān)硬頂板破斷距分析

3.1 頂板破斷距的確定

圖4 頂板極限載荷qs隨k變化規(guī)律

在采礦工程中，采場工作面的長度在確定之后，往往保持不變，而工作面的推進(jìn)距離卻會(huì)不斷變大。隨著工作面推進(jìn)距離增大，采場頂板結(jié)構(gòu)將發(fā)生變化，這使得頂板的承載能力將會(huì)發(fā)生變化。如果任由工作面推進(jìn)距離增大而不加控制，則采場堅(jiān)硬頂板可能由于頂板結(jié)構(gòu)的過分變化從而導(dǎo)致其發(fā)生垮落等破壞。因此，為了采礦的安全生產(chǎn)，需要確定采場頂板的破斷距。

上一部分中，在假定工作面長度a和工作面推進(jìn)距離b不變的情況下，得到了頂板的極限載荷qs。為了求得頂板的最小破斷距bmin，可以假定頂板所受均布載荷q及工作面長度a不變，并令頂板的極限載荷qs=q。從而依據(jù)表1所得的頂板的極限載荷公式，反解求得頂板的最小破斷距bmin。在此，仍以三邊固支和一邊簡支頂板為例，即有

采用相同的方法，對(duì)其他4種邊界條件下的頂板進(jìn)行求解，可以求得各種邊界條件下頂板的最小破斷距，其結(jié)果用表2列出。

表2 各種邊界條件下頂板的最小破斷距

3.2 數(shù)值驗(yàn)證

某礦的頂板巖體為中砂巖層，其力學(xué)性質(zhì)［3］如下:彈性模量為25GPa，抗拉強(qiáng)度極限 σs為7MPa，泊松比為 0.28。采場工作面長度是150.0m，頂板巖層厚為4.0m，上覆巖層均布載荷q為174.7kN/m。

依據(jù)彈性薄板問題中應(yīng)力與彎矩的關(guān)系

則將已知的堅(jiān)硬頂板的極限應(yīng)力代入公式（11），可得頂板的極限彎矩為

在此基礎(chǔ)上，再將已知的頂板工作面長度和均布載荷分別代入表2中所示公式，便可求出不同邊界條件下堅(jiān)硬頂板的最小破斷距。其最終結(jié)果用表3中的理論解列出。

為了驗(yàn)證理論解的正確性，此處選擇通過數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)的方法［14］來尋求堅(jiān)硬頂板的最小破斷距。其具體的數(shù)值模擬過程為:堅(jiān)硬頂板在均布載荷作用下，頂板的承載力會(huì)隨著頂板結(jié)構(gòu)的變化而變化。依據(jù)材料破壞的最大拉應(yīng)力準(zhǔn)則，當(dāng)堅(jiān)硬頂板所受應(yīng)力超過頂板的極限應(yīng)力時(shí)，頂板將會(huì)發(fā)生破壞。在數(shù)值模擬過程中，通過保證所建數(shù)值模型的長、高不變，而通過重復(fù)改變模型寬度的方法來尋求堅(jiān)硬頂板的最小破斷距。當(dāng)確定一種邊界條件下的堅(jiān)硬頂板的最小破斷距后，重新設(shè)定其他的邊界條件，并按相同的方法來確定出相應(yīng)的最小破斷距。其完全模擬結(jié)果的數(shù)值解由表3列出。

表3 頂板破斷距的數(shù)值驗(yàn)證

從表3中可以發(fā)現(xiàn)，理論解均大于數(shù)值解，這主要是因?yàn)樵诶碚撉蠼膺^程中考慮了頂板的塑性極限作用。除頂板為對(duì)邊固支和對(duì)邊簡支邊界時(shí)，兩者的相對(duì)誤差較大之外，其余都在可接受范圍內(nèi)。因此，通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)證明前文的理論求解是可行的。這可以為煤礦開采步距設(shè)計(jì)提供初始的理論參考依據(jù)。

4 主要結(jié)論

（1）利用塑性極限分析法得到采場堅(jiān)硬頂板在不同邊界下的極限載荷、最佳破壞機(jī)構(gòu)的位置，并且得到了不同邊界下堅(jiān)硬頂板的最小破斷距。此外，運(yùn)用數(shù)值實(shí)驗(yàn)方法驗(yàn)證了理論解的正確性。這可以為頂板控制提供一定的理論依據(jù)。

（2）通過分析得出堅(jiān)硬頂板極限載荷的如下規(guī)律:不同邊界下頂板的極限載荷都隨k值增大而減小，且在k＜0.25之前，頂板的極限載荷隨k急劇變化，而在之后變化相對(duì)緩慢。此外，頂板極限載荷都在k=1.0附近趨于零，即頂板將失去承載能力。

（3）當(dāng)頂板處于對(duì)邊固支和對(duì)邊簡支邊界時(shí)，頂板的極限載荷值最大，說明此類頂板具有更好的承載能力。所以在采礦中應(yīng)盡量保持滿足此類邊界條件，以發(fā)揮頂板自身的承載作用。

［1］李彥強(qiáng).頂板事故預(yù)防與處理［M］.徐州:中國礦業(yè)大學(xué)出版社，2009.

［2］岑傳鴻.頂板災(zāi)害防治［M］.徐州:中國礦業(yè)大學(xué)出版社，1989.

［3］劉 洋，伍永平.近淺埋煤層開采頂板垮落步距分析 ［J］.煤礦開采，2009，14（6）:10－12.

［4］錢鳴高，石平五.礦山壓力與巖層控制［M］.徐州:中國礦業(yè)大學(xué)出版社，2003.

［5］鹿志發(fā).淺埋深煤層頂板力學(xué)結(jié)構(gòu)與支架適應(yīng)性研究［D］.北京:煤炭科學(xué)研究總院，2007.

［6］劉 俊.基于板模型的頂板力學(xué)分析及應(yīng)用［D］.徐州:中國礦業(yè)大學(xué)，2008.

［7］譚云亮，蔣金泉.采場堅(jiān)硬頂板斷裂步距的極限分析 ［J］.山東礦業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，1989，8（3）:21－26.

［8］何富連，趙計(jì)生，姚昌志.采場巖層控制論［M］.北京:冶金工業(yè)出版社，2009.

［9］錢鳴高，繆斜興，徐家林，茅獻(xiàn)彪.巖層控制的關(guān)鍵層理論［M］.徐州:中國礦業(yè)大學(xué)出版社，2000.

［10］［美］R.Szilard.板的理論和分析［M］.陳太平，戈鶴翔，周孝賢.北京:中國鐵道出版社，1984.

［11］陳家瑾，范存新，謝小明.鋼筋砼板極限分析的塑性鉸線理論的改進(jìn)［J］.蘇州城建環(huán)保學(xué)院學(xué)報(bào)，2001，14（3）.

［12］錢鳴高，朱德仁，王作棠.老頂巖層斷裂型式及其對(duì)工作面來壓的影響［J］.中國礦業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，1986（2）:9－18.

［13］錢鳴高，繆協(xié)興，黎良杰.采場底板巖層破斷規(guī)律的理論研究 ［J］.巖土工程學(xué)報(bào)，1995，17（6）:55－62.

［14］浦 海，黃耀光，陳榮華.采場底板X－O型斷裂形態(tài)力學(xué)分析 ［J］.中國礦業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，40（6）:835－840.

Analysis of Roof Limit Load and Broken Pace under Different Boundary Conditions

HUANG Yao-guang，PU Hai
（1.State Key Laboratory of Deep Geomechanics and Underground Engineering，China University of Mining ＆ Technology，Xuzhou 221008，China;2.Mechanics＆ Architecture School，China University of Mining ＆ Technology，Xuzhou 221006，China）

Complex geological condition and different mining methods in coal mining will result in multi boundary condition of roof.Under different boundaries，limit load and broken pace of hard roof was different without fail.5 roof mechanics models with 5 different boundary conditions were set up.Roof limit load under different boundaries（4 sides fixed，3 sides fixed and 1 side simply supported，adjacent fixed and adjacent simply supported，opposite side fixed，3 sides simply supported and 1side fixed.）was obtained by plastic limit method.Variation rule of limit load with k（ratio of advance distance to mining face length）was analyzed.Roof limit load reached maximum under the condition of opposite side fixed and opposite side simply supported boundary.4 sides fixed boundary was secondary.Other 3 boundary conditions were almost equal.Minimum roof broken pace of every boundary condition was obtained on the basis of roof limit load，which was verified by numerical simulation.

different boundary condition;hard roof;limit load;broken pace

TD323

A

1006-6225（2012）02-0012-05

2011－12－26

國家自然科學(xué)青年基金 （50904065）;教育部新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計(jì)劃 （NCET－09－0728）;教育部博士點(diǎn)新教師基金（20090095120007）;江蘇省高?！扒嗨{(lán)工程”資助;中國礦業(yè)大學(xué)中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金

黃耀光 （1985－），男，四川南充人，碩士研究生，主要從事巖石力學(xué)與采礦工程方面的研究。

［責(zé)任編輯:潘俊鋒］