“繩連接”問題的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式

于希梅 毛安君

（淮陰工學(xué)院，江蘇 淮安 223003）

在力學(xué)中經(jīng)常遇到繩連接多個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)問題，繩的連接提供了一個(gè)約束條件，各物體的運(yùn)動(dòng)量之間將滿足一定的關(guān)系式.一般大學(xué)物理教材對此類問題往往根據(jù)日常經(jīng)驗(yàn)直接給出各物體間的速度或加速度關(guān)系［1］，沒有進(jìn)行嚴(yán)格推導(dǎo)，這種做法在涉及多段繩連接或非慣性系等較復(fù)雜問題時(shí)容易引起混亂.本文根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本公式，應(yīng)用繩長不變的幾何條件，嚴(yán)格推導(dǎo)了各物體滿足的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，并舉例說明了該公式的應(yīng)用.

1 運(yùn)動(dòng)學(xué)公式

如圖1所示，設(shè)物體A 和C 用跨過滑輪B 的繩連接，繩不可伸長，對于任意參考系，求A、B、C三者的速度和加速度滿足的關(guān)系式.

如圖，對于任意參考點(diǎn)O，A、B、C三者的位矢分別用rA、rB、rC表示，根據(jù)幾何關(guān)系可知

其中，ΔrAB＝rB－rA；ΔrBC＝rC－rB；l為繩長.因在運(yùn)動(dòng)過程中繩長不變，故

圖1

為化簡上式，考慮任意矢量u對時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)

將該結(jié)論應(yīng)用于式（2）

即先將每段繩連接的兩物體的速度之差向該段繩方向上投影，再將各投影求和，則結(jié)果為零.該結(jié)論很容易推廣到N 個(gè)物體由（N－1）段繩連接的情況，相應(yīng)的關(guān)系式為

2 應(yīng)用舉例

例1 如圖2所示，有人用繩繞過定滑輪拉著物體運(yùn)動(dòng)，求人和物體運(yùn)動(dòng)速率之間的關(guān)系.

圖2

解答：將物體、滑輪、人三者分別記為A、B、C，應(yīng)用式（6），注意到vB＝0，得vAcosθ－vC＝0.

例2 如圖3所示，升降機(jī)以加速度a加速上升，A 和C兩物體質(zhì)量均為m，由跨過定滑輪B的繩連接，A 所在桌面水平，忽略摩擦力和空氣阻力，繩不可伸長，求繩的張力.

圖3

解答：要求繩的張力，需根據(jù)牛頓第二定律列方程，因升降機(jī)為非慣性系，故只能選地面參考系，建立坐標(biāo)系如圖.因運(yùn)動(dòng)過程中兩段繩的方向不變，應(yīng)用式（8）可得

即

（aAx-aBx）-（aBy-aCy）=0

考慮到aBx=0，aBy=a，得aAx+aCy=a.其余過程略.

該題一般解法是先以電梯為參考系，得到A、C兩物體的加速度關(guān)系，再根據(jù)相對運(yùn)動(dòng)的加速度變換式得到以地面為參考系時(shí)兩物體的加速度關(guān)系，應(yīng)用公式（8）可直接得到結(jié)果，無需對加速度進(jìn)行參考系間的變換.

例3 如圖4所示，已知A、C 兩物體的質(zhì)量均為m，物體A 以加速度a向右運(yùn)動(dòng)，忽略滑輪和繩的質(zhì)量，繩不可伸長，求物體A 與桌面間的摩擦力.

圖4

解答：求A、C 兩物體的加速度關(guān)系，應(yīng)用式（8）

考慮到aB＝aD＝0，得aA－aC－aC＝0，即aC＝a/2.余下過程從略.

3 總結(jié)

本文給出的公式適用于各種繩連接問題.由于推導(dǎo)過程中沒有應(yīng)用力學(xué)定律，故結(jié)果不受慣性系的限制，適用于所有參考系.另外公式以矢量式表達(dá)，不受坐標(biāo)系的限制，可以根據(jù)具體問題方便地寫出相應(yīng)的分量式.如果結(jié)合繩受力的形變規(guī)律，按照本文思路還可得到變繩長連接的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式.

［1］馬文蔚.物理學(xué)［M］5版.北京：高等教育出版社，2006.38～39