凸多面體不確定混合時滯系統(tǒng)的均方指數(shù)穩(wěn)定

郭曉寶， 焦賢發(fā)， 周堂春

（1.合肥工業(yè)大學 數(shù) 學學院，安徽 合 肥 230009；2.陸軍軍官學院 數(shù) 學教研室，安徽 合 肥 230031）

0 引 言

眾所周知，在工程、生物系統(tǒng)以及信號處理（如多徑傳播和數(shù)據(jù)通信）領域中經(jīng)常發(fā)生時滯的現(xiàn)象，這類現(xiàn)象可能導致實際系統(tǒng)的不穩(wěn)定和震蕩。同時，根據(jù)時滯發(fā)生的方式，可以劃分為時變時滯和分布時滯。近年來，研究Markov跳變參數(shù)下時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定是控制領域的熱點課題之一［1－4］。在 Markov跳變參數(shù)系統(tǒng)中，文獻［5］研究了帶有離散時滯的線性不確定系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定及可鎮(zhèn)定的充分條件；文獻［6］研究了分布時滯系統(tǒng)的魯棒可鎮(zhèn)定充分條件；文獻［7－8］研究了時滯依賴于模態(tài)系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性條件；在線性實常參數(shù)凸多面體不確定系統(tǒng)中，文獻［9］討論了離散時滯和時變延遲的魯棒穩(wěn)定性。已有的研究涉及了帶有Markov跳變參數(shù)連續(xù)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問題或?qū)嵆＞仃囃苟嗝骟w不確定系統(tǒng)下的魯棒穩(wěn)定性問題。

本文綜合考慮了Markov跳變參數(shù)下，帶有時變與分布時滯的混合時滯類凸多面體不確定系統(tǒng)，通過構(gòu)造Lyapunov－Krasovskii候選函數(shù)，利用線性矩陣不等式方法，給出系統(tǒng)均方指數(shù)穩(wěn)定的充分條件。

1 問題描述與假設

假設1｛rt，t≥0｝為定義在一個帶有自然流的完備全概率空間（Ω，F(xiàn)，｛Ft｝t≥0，P）上，取值于有限維狀態(tài)空間S＝｛1，2，…，N｝，且右連續(xù)

Markov過程，其模態(tài)轉(zhuǎn)移概率為：

考慮在全概率空間（Ω，F(xiàn)，｛Ft｝t≥0，P）上一類具有混合時滯的Markov跳變參數(shù)下的凸多面體不確定系統(tǒng)為：

其中，x（t）∈RN為系統(tǒng)的狀態(tài)向量；初始條件φ（t）∈RN為在區(qū)間［－h(huán)，0］上的連續(xù)向量函數(shù)；ω（t）為在（Ω，F(xiàn)，｛Ft｝t≥0，P）上獨立于狀態(tài)x（t）的維納過程，滿足

E2α（rt）為含參數(shù)不確定性且依賴于模態(tài)rt的適當維數(shù)矩陣，假設其可以表示為若干個頂點矩陣的凸組合，即

其中，Ai（rt）、Bi（rt）、Ci（rt）、E0i（rt）、E1i（rt）、E2i（rt）為頂點矩陣，i＝1，…，N。

d（t）、h（t）分別為系統(tǒng)時滯，且滿足條件：

定義1 系統(tǒng)（1）為均方指數(shù)穩(wěn)定，如果存在正的常量a＞0和b＞0，使得對于系統(tǒng)（1）的每個解x（t；φ）滿足：

引理1 對常值矩陣J＞0，任意標量β＞0，向量函數(shù)ν：［0，β］→Rn有［10］：

引理2 （Schur）對給定的對稱矩陣［11］

其中，S11∈Rr×r，以下3個條件是等價的：

（1）S＜0。

（2）S11＜0，S22－ST12S－111S12＜0。

（3）S22＜0，S11－S12S－122ST12＜0。

2 主要結(jié)論

對于系統(tǒng)（1），任取rt＝i∈S，則系統(tǒng)（1）的等價形式為：

其中

定理1 如果?i∈S，存在矩陣Pl（i）＞0，Ql＞0，Rl＞0（l＝1，2，…，N），使得以下線性不等式成立，即

其中

則系統(tǒng)（4）為均方指數(shù)穩(wěn)定。

證明 對 系 統(tǒng) （4），考 慮 Lyapunov－Krasovskii候選函數(shù)：

其中

其中，Pα（i）、Qα、Rα為含凸多面體不確定性的適當維數(shù)矩陣，形式如下：

由引理1，則有：

由（3）式、（9）～（14）式，可得：

其中

由（5）式和（6）式，得：

其中

由引理2、（16）式，可得Φ＜0。

設α0＝λmin（－Φ）＞0，由（15）式，可得：

由（7）式知，存在標量α1＞0，α2＞0及λm＝（Pα（i））｝，使得：

選取合適的β＞0，使得：

由（17）式、（19）式，對eβtV（x（t），i，t）求導，并取其數(shù)學期望得：

對（20）式兩邊從0到T積分得：

由（21）式、（22）式，得：

即

其中，φ＝（α1＋α2h＋α2heβh）／λm。

由定義1，系統(tǒng)（4）為均方指數(shù)穩(wěn)定。

3 數(shù)值例子

考慮Markov參數(shù)下帶有混合時滯的凸多面體不確定系統(tǒng)（1）二維的數(shù)值例子。

例1 取Markov跳變的狀態(tài)空間S＝｛1，2｝，各系數(shù)矩陣及參數(shù)為：

選取滿足（7）式、（8）式的矩陣為：

運用Matlab中的LMI工具箱可得：

通過驗證滿足定理2的條件，故系統(tǒng)（1）為均方指數(shù)穩(wěn)定。

例2 當系統(tǒng)（1）中Cα（rt）、E0α（rt）、E1α（rt）、E2α（rt）項為零矩陣時，文中系統(tǒng)（1）轉(zhuǎn)化為文獻［12］中系統(tǒng)（1）的情形，對文獻［12］中數(shù)值例子利用本文所給方法，運用Matlab中的LMI工具箱可得：

結(jié)果滿足文獻［12］中定理1條件，表明文獻［12］中系統(tǒng)均方指數(shù)穩(wěn)定。

4 結(jié)束語

本文針對Markov跳變參數(shù)下同時具有時變與分布時滯的凸多面體不確定系統(tǒng)，通過構(gòu)造Lyapunov－Krasovskii候選函數(shù)，利用線性矩陣不等式方法，得到該類帶有混合時滯的凸多面體不確定系統(tǒng)的均方指數(shù)穩(wěn)定的充分條件。數(shù)值例子表明此方法的可行性與有效性。

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