時(shí)域螺旋槳空泡噪聲的球空泡脈動(dòng)體積方法

況貺，張永坤

（1．海裝上海局，上海200083;2．91439部隊(duì)，遼寧大連 116041）

0 引言

空泡聲學(xué)特性成為一個(gè)系統(tǒng)的研究課題有50多年的歷史。單個(gè)球空泡的聲學(xué)特性理論是比較完整的，而螺旋槳空泡噪聲由于其復(fù)雜性，在很長(zhǎng)時(shí)間里，對(duì)螺旋槳空泡噪聲過多地依靠試驗(yàn)?zāi)M。預(yù)報(bào)空泡噪聲的理論工作，還是一個(gè)尚未完全解決的問題。

1 艦船螺旋槳空泡求解

螺旋槳空泡是一個(gè)十分復(fù)雜的問題，有些問題在機(jī)理上尚未完全解決，加之空泡范圍和空泡形狀也難以用試驗(yàn)方法準(zhǔn)確驗(yàn)證，這都給空泡預(yù)報(bào)帶來相應(yīng)的困難。螺旋槳三維空泡問題有2種求解方法，一種是Kinnas和Lee［1－2］等采用的整體迭代求解方法;一種是Kim和熊鷹［3－4］采用的條帶迭代求解方法。Kinnas和Lee采用整體迭代方法求解螺旋槳空泡形狀和范圍時(shí)，每次迭代求解的對(duì)象是整個(gè)螺旋槳。假定各半徑處的空泡長(zhǎng)度，將給定的空泡數(shù)直接代入Dirichlet型動(dòng)力學(xué)邊界條件，求出空泡的厚度分布。對(duì)于給定的空泡數(shù)，假定的空泡長(zhǎng)度不能滿足空泡末端厚度為0的條件，因此需要構(gòu)造1個(gè)M維（M為槳葉展向的面元數(shù)）的Newton-Raphson迭代方程，通過迭代計(jì)算使所有展向位置空泡末端的厚度同時(shí)等于0，得到完全意義下的空泡范圍。熊鷹［4－6］采用條帶迭代方法求解螺旋槳空泡時(shí)，依次對(duì)螺旋槳各弦向條帶進(jìn)行求解，且對(duì)某一弦向條帶求解時(shí)，其他弦向條帶的影響認(rèn)為是已知的。各條帶之間的干擾通過迭代過程來考慮，即槳葉上的空泡是在沿弦向分布的條帶上進(jìn)行局部調(diào)整確定的。當(dāng)設(shè)定空泡長(zhǎng)度時(shí)，選取空泡厚度的初始值（一般設(shè)為0，空泡表面和槳葉表面重合），將控制方程應(yīng)用于N個(gè)控制點(diǎn)上可得到N個(gè)線性方程，此時(shí)引入了1個(gè)新的未知數(shù):空泡起始點(diǎn)的速度，故需從空泡末端封閉條件導(dǎo)出1個(gè)補(bǔ)充方程，聯(lián)立求解后得到各未知奇點(diǎn)強(qiáng)度和空泡起始點(diǎn)處速度，由運(yùn)動(dòng)學(xué)條件可確定新的空泡形狀，再將面元重新布置在求得的空泡表面上，進(jìn)行迭代計(jì)算，直到求得的空泡厚度收斂為止。

對(duì)于單氣泡空化噪聲，一般只考慮體積脈動(dòng)的影響，聲壓用體積的加速度來表示。

其中，C為液體中的聲速;r為觀測(cè)點(diǎn)到空泡初始中心的距離;ρ為液體密度。體積的加速度用泡半徑的變化規(guī)律給出如此已知空泡的潰滅過程就可以得到空泡潰滅的發(fā)聲情況。計(jì)算結(jié)果表明，在空泡的初生階段與潰滅后期輻射的聲壓較高，而在中間階段輻射的聲壓較低。

2 螺旋槳空泡噪聲時(shí)域解法

2.1 單空泡輻射噪聲特性

Lighthill從質(zhì)量守恒和動(dòng)量守恒方程出發(fā)得到聲發(fā)生的普遍微分方程，出現(xiàn)了流體動(dòng)力聲源及其他輻射聲場(chǎng)系統(tǒng)、全面的理論分析，因此Lighthill對(duì)流體動(dòng)力聲源的分析是十分重要的。

空泡在液體中所輻射的聲壓滿足廣義的Lighthill方程［7］:

式中:Ps為聲壓;C為聲在水中傳播速度;q為單位體積內(nèi)的質(zhì)量脈動(dòng)速率;f為脈動(dòng)外力;τij為流體應(yīng)力張量。式（1）右邊的3個(gè)源項(xiàng)分別代表了3種主要類型的輻射源。第1項(xiàng)代表進(jìn)入到流體中的非平穩(wěn)質(zhì)量流，它的作用與1個(gè)單極子相當(dāng);第2項(xiàng)是施加在某些界面上的非定常力的散度，具有偶極子的性質(zhì);第3項(xiàng)代表流體本身的湍流應(yīng)力，具有四極子性質(zhì)。這3種聲源的輻射效率為

其中，m為聲源的階數(shù)（單極子m=1、偶極子m=2、四極子m=4）;k為波數(shù)，a為聲源的特征尺寸。

對(duì)于空泡而言，由于實(shí)際情況中的空泡非常小，故ka＜＜1。因此由上式可知:極子階數(shù)越小，輻射效率越高。單極子存在時(shí)，單極子對(duì)聲輻射起主導(dǎo)作用。假定單空泡輻射的聲壓僅與質(zhì)量脈動(dòng)單極子聲源有關(guān)，式（1）可簡(jiǎn)化為:

式中:ρ為液體密度;t'=t－r/C為延遲時(shí)間;r為觀測(cè)點(diǎn)距泡中心的距離;V為任意時(shí)刻空泡體積。

假定液體密度的起伏忽略不計(jì)，式（3）也可表示為:

式（4）是小脈動(dòng)單極子聲源輻射的一般表達(dá)式，這種聲源的強(qiáng)度正比于空泡體積變化加速度與液體密度的乘積。

2.2 面元法計(jì)算螺旋槳空泡體積變化

如果空泡形狀已知，則可由空泡形狀預(yù)報(bào)空泡體積變化。各個(gè)對(duì)應(yīng)時(shí)刻的空泡形狀求2次導(dǎo)數(shù)即可求得空泡體積變化，再通過Lighthill方程預(yù)報(bào)聲壓。此部分介紹計(jì)算螺旋槳空泡噪聲的面元法。首先給出螺旋槳空泡所滿足的控制方程和邊界條件，通過這些方程迭代求解出螺旋槳空泡形狀變化。

2.2.1 螺旋槳空泡控制方程

螺旋槳擾動(dòng)速度勢(shì)的積分方程為［9］:

式中:φ（P）為槳葉表面上任一點(diǎn)P的擾動(dòng)速度勢(shì)，相當(dāng)于P點(diǎn)分布的偶極子強(qiáng)度μ;Δφ=φU－φL，相當(dāng)于尾流面上分布的偶極子強(qiáng)度μW;令σ=?φ/?n，相當(dāng)于分布在槳葉表面的源強(qiáng)。

2.2.2 螺旋槳空泡邊界條件

1）運(yùn)動(dòng)學(xué)條件

在槳葉表面上任一點(diǎn)的擾動(dòng)速度和該點(diǎn)的來流速度在法線方向上相等。式中:n為S的外法線;VI為相對(duì)來流速度，對(duì)于螺旋槳而言，VI=Vs+Ω×r。由于右端項(xiàng)已知，上式表示了1個(gè)Neumann邊界條件。

2）無窮遠(yuǎn)條件

3）Kutta條件

在初步的計(jì)算中采用Morino引入的1種近似的Kutta條件，即

擾動(dòng)速度勢(shì)在無窮遠(yuǎn)處滿足

螺旋槳槳葉上的流動(dòng)和二維流動(dòng)存在很大差別，在計(jì)算的過程中采用壓力相等的Kutta條件:

4）空泡區(qū)域的動(dòng)力學(xué)條件

從物理上講，空泡區(qū)域的動(dòng)力學(xué)條件即是要求空泡內(nèi)部及空泡表面上的壓力保持為水的汽化壓力Pv不變。在定常流中，可根據(jù)Bernouli方程將動(dòng)力學(xué)條件以空泡上的合速度為常數(shù)的形式表示為:

式中:σ為以無窮遠(yuǎn)來流速度V∞定義的空泡數(shù)。Kinnas［10］給出了三維流動(dòng)中的空泡動(dòng)力學(xué)條件，他利用非定常Bernouli方程，并將空泡上的合速度以擾動(dòng)速度勢(shì)沿空泡表面的方向?qū)?shù)和來流速度分量表示（其中采用了在空泡表面合速度的法向分量為0的條件），然后將2個(gè)式綜合起來得到以表示的空泡動(dòng)力學(xué)條件，其中s是空泡表面沿流動(dòng)方向的坐標(biāo)。一般再對(duì)其進(jìn)行積分，得到以擾動(dòng)速度勢(shì)φ表示的Dirichlet型動(dòng)力學(xué)條件。通常以此條件確定空泡面元上的偶極子強(qiáng)度，但在計(jì)算過程中空泡面元一般并不是布置在真正的空泡表面上，以便減少迭代次數(shù)和計(jì)算量。為解決此問題，可以采用Kim［11］推導(dǎo)的Dirichlet型動(dòng)力學(xué)條件，在依動(dòng)力學(xué)條件確定空泡上的偶強(qiáng)時(shí)，其中的積分是沿著迭代出的空泡表面進(jìn)行。

5）尾流面上條件

對(duì)于無空泡或局部空泡在槳葉上封閉的情況，尾流面上的運(yùn)動(dòng)學(xué)條件為:

即尾流面上法向速度不連續(xù)（不存在源匯）。而動(dòng)力學(xué)條件為:

即尾流面上壓力連續(xù)。對(duì)于超空泡的情況，尾流面上存在表示空泡的源匯

在非定常流中，求解局部空泡時(shí)仍與無空泡時(shí)一樣，假設(shè)尾流面與時(shí)間無關(guān);而求解超空泡問題時(shí)則與時(shí)間有關(guān)。尾流中的空泡形狀可根據(jù)空泡表面方程對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為0的條件確定，如Kinnas在文獻(xiàn)［10］中假定沿展向的橫向流動(dòng)速度是小量，得出確定尾流中超空泡形狀的偏微分方程，

式中:hw為空泡厚度;Vc為空泡表面流動(dòng)的總速度; s為空泡表面沿流動(dòng)方向的坐標(biāo)。

6）空泡末端封閉條件

在三維空泡流求解中，通常采用封閉的空泡末端模型，即要求空泡尾緣處空泡厚度為0，即

式中:Scte為局部空泡尾緣的弦向位置。

根據(jù)式（5）～式（15）編寫了螺旋槳空泡形狀計(jì)算公式。應(yīng)用此程序?qū)δＰ涂张萸闆r進(jìn)行計(jì)算，并做了一定的修正。

2.3 槳模網(wǎng)格劃分以及噪聲計(jì)算

時(shí)域噪聲計(jì)算對(duì)象為模型槳，槳模按照一定的縮尺比與實(shí)船對(duì)應(yīng)起來。采用Matlab繪制槳模網(wǎng)格劃分圖，如圖1所示。螺旋槳槳葉數(shù)為5，徑向單元數(shù)與弦向單元數(shù)分別為100和150，槳轂周向單元為50，網(wǎng)格劃分均采用余弦劃分。單元數(shù)的多少影響計(jì)算速度及計(jì)算精度，通過數(shù)次計(jì)算認(rèn)為，本文所選取單元數(shù)在精度上可達(dá)到要求。模型計(jì)算的其余參數(shù)通過相似定律計(jì)算得出。槳模計(jì)算如表1所示。根據(jù)模型槳的數(shù)據(jù)及模型試驗(yàn)對(duì)應(yīng)工況表，采用第2.2節(jié)中介紹的面元法對(duì)模型槳空泡形狀進(jìn)行計(jì)算。

圖1 槳模網(wǎng)格圖Fig.1Gridding chart of propeller model

表1 模型試驗(yàn)工況Tab．1Experiment conditions of model

由于空泡范圍和形狀都需要求解，通常先假定空泡范圍迭代求解。因此，空泡起始點(diǎn)的位置需要事先確定。因?yàn)檫@一問題涉及到葉切面導(dǎo)緣附近的粘性流動(dòng)，故在勢(shì)流理論中一般假定空泡起始于切面的導(dǎo)緣。為了使計(jì)算方法具有更廣泛的適用范圍，可以結(jié)合螺旋槳非定常壓力分布的形態(tài)與空泡數(shù)的比較確定空泡起始點(diǎn)的位置，以適合于計(jì)算空泡初生于槳葉切面弦向中部的情況。

采用面元法計(jì)算出滿足螺旋槳運(yùn)動(dòng)學(xué)條件以及空泡動(dòng)力學(xué)的空泡體積的變化，然后通過單極子聲理論，也就是式（4），計(jì)算出螺旋槳空泡噪聲聲壓。此時(shí)計(jì)算出的螺旋槳空泡體積的變化是相對(duì)于角度變化的，在后續(xù)的內(nèi)容中推導(dǎo)出隨時(shí)間變化的空泡以及空泡噪聲，計(jì)算結(jié)果如下圖所示。圖2～圖6是5種工況下空泡體積隨角度變化圖;圖7～圖11為半徑取3.03 m聲壓隨角度變化圖;圖12～圖16為半徑取2.03 m時(shí)聲壓隨角度變化圖;圖17和圖18反映了不同航速、不同距離對(duì)噪聲的影響規(guī)律。

3 時(shí)域空泡噪聲計(jì)算方法

3.1 隨時(shí)間變化聲壓與隨角度變化聲壓關(guān)系

在第2節(jié)中時(shí)域螺旋槳空泡體積以及空泡噪聲的數(shù)值是隨螺旋槳角度變化的，根據(jù)此結(jié)果，在本節(jié)推導(dǎo)出隨時(shí)間變化的螺旋槳空泡噪聲。

水中聲壓計(jì)算公式如下［12］:

式中:pref=10－6Pa為參考聲壓。

壓力隨時(shí)間的變化p（t）與壓力隨角度變化p（θ）之間的關(guān)系為:

式中:ω為槳角速度，（°）/s;n為槳轉(zhuǎn)速，1/s。對(duì)式（17）兩邊進(jìn)行積分，可得:

將式（18）代入式（16），可得隨時(shí)間變化聲壓表達(dá)式:

3.2 艦船螺旋槳空泡噪聲計(jì)算方法

1）球空泡脈動(dòng)體積方法

首先，應(yīng)用面元法計(jì)算出滿足螺旋槳工作條件以及空泡動(dòng)力學(xué)條件的空泡形狀，求解出空泡體積的變化規(guī)律;其次，根據(jù)Lighthill的理論，當(dāng)單極子存在時(shí)，單極子對(duì)噪聲的貢獻(xiàn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其他極子，可以將螺旋槳整體作為一個(gè)球來處理，得到聲壓與空泡體積之間的關(guān)系。最后，將空泡體積的變化代入簡(jiǎn)化的Lighthill方程，求解出時(shí)域螺旋槳空泡噪聲的變化規(guī)律。

2）單氣泡理論計(jì)算螺旋槳空泡噪聲

對(duì)于單氣泡空泡噪聲，考慮體積脈動(dòng)的作用，聲壓用體積加速度來表示。

式中:C為液體中聲速;r為觀測(cè)點(diǎn)到空泡初始中心的距離;ρ為液體密度，體積加速度由泡半徑的變化規(guī)律給出這樣，已知空泡半徑變化規(guī)律即可計(jì)算出空泡噪聲。本文也稱為半徑變化方法。

3）FWH方程方法

使用面元法計(jì)算空泡體積變化，然后代入FWH方程，計(jì)算螺旋槳空泡噪聲。

式中:P'T為由厚度導(dǎo)致的聲壓，對(duì)應(yīng)于單極子;槳葉旋轉(zhuǎn)、非定常片空泡體積振動(dòng)作為單極子源，槳葉表面脈動(dòng)壓力作為偶極子源;M為馬赫數(shù);Mr為徑向馬赫數(shù)。

隨時(shí)間變化的聲壓與隨角度變化聲壓關(guān)系如式（18）所示。聲壓計(jì)算公式如式（19）所示。3種方法計(jì)算結(jié)果如圖19～圖28所示。

4 時(shí)域螺旋槳空泡噪聲計(jì)算結(jié)果分析

圖2～圖6反映了5種工況下空泡體積隨角度變化，從圖中可以看到隨著航速增加，空泡體積最大值有前移的趨勢(shì)。

圖7～圖11為距離3.03 m處聲壓隨角度變化值;圖12～圖16為距離2.03 m處聲壓隨角度變化值。圖17和圖18為2種不同距離、不同航速下噪聲譜。由圖17和圖18可以看出，螺旋槳空泡噪聲有準(zhǔn)周期性特點(diǎn)。對(duì)于螺旋槳空泡來講，空泡是槳葉在船尾不均勻流場(chǎng)作旋轉(zhuǎn)過程中不斷產(chǎn)生不斷破滅的。槳葉不斷地交替經(jīng)過空泡形成的低壓區(qū)和高壓區(qū)，在不均與流場(chǎng)和槳葉旋轉(zhuǎn)共同作用下，無數(shù)空泡不斷交替地產(chǎn)生和破滅，故具有準(zhǔn)周期的特點(diǎn)。5種工況下準(zhǔn)周期排列順序?yàn)?T5＞T4＞T3＞T2＞T1。周期小，說明變化快。振幅的排列順序?yàn)锳3＞A1＞A2＞A4＞A5。

圖19～圖28反映了3種不同數(shù)值方法的計(jì)算結(jié)果。從3種算法自身的假定條件來講，球空泡脈動(dòng)體積方法考慮問題最全面，空泡滿足水動(dòng)力學(xué)邊界條件以及空泡動(dòng)力學(xué)條件。單氣泡理論（半徑收縮變化）只是對(duì)噪聲的現(xiàn)象進(jìn)行說明，對(duì)噪聲的數(shù)值進(jìn)行大概的估算，精確度不是很高。FWH方程計(jì)算螺旋槳空泡噪聲時(shí)，沒有考慮流場(chǎng)以及負(fù)荷情況，只是把空泡體積變化代入厚度噪聲項(xiàng)進(jìn)行了計(jì)算。這3種方法中球空泡體積方法計(jì)算結(jié)果最為可信。

5 結(jié)語

螺旋槳空泡噪聲由于空泡的瞬時(shí)性、非線性給數(shù)值計(jì)算帶來很大的難度。結(jié)合模型試驗(yàn)以及空泡形狀的算法，本文將螺旋槳空泡噪聲的計(jì)算分為頻域及時(shí)域方法2類。頻域采用回歸方法進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果同模型試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行比較分析;時(shí)域方法分為2步進(jìn)行求解。首先使用面元法計(jì)算出空泡體積變化規(guī)律，然后通過簡(jiǎn)化的Lighthill方程計(jì)算出螺旋槳空泡噪聲。具體內(nèi)容如下:

1）螺旋槳空泡噪聲頻域計(jì)算采用回歸方法結(jié)合試驗(yàn)研究的方法進(jìn)行。模型試驗(yàn)與實(shí)船航行狀況相對(duì)應(yīng)，分別對(duì)5種工況下的螺旋槳空泡噪聲進(jìn)行了測(cè)量。對(duì)應(yīng)于這5種工況，分別采用了2種回歸方法對(duì)槳模的空泡噪聲進(jìn)行了計(jì)算，計(jì)算的結(jié)果同模型試驗(yàn)的方法進(jìn)行了比較，在20 kHz的范圍以內(nèi)，三者的吻合度很好，超過此范圍，個(gè)別的測(cè)點(diǎn)存在一定的偏差。因此可以說在一定的頻域范圍內(nèi)，三者的結(jié)果吻合較好。

2）對(duì)螺旋槳空泡噪聲進(jìn)行時(shí)域求解時(shí)，首先應(yīng)用面元法計(jì)算出滿足螺旋槳工作條件以及空泡動(dòng)力學(xué)條件的空泡形狀，求解出空泡體積的變化規(guī)律。其次根據(jù)Lighthill的理論，當(dāng)單極子存在時(shí)，單極子對(duì)噪聲的貢獻(xiàn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其他極子，可以將螺旋槳整體作為一個(gè)球來處理，得到聲壓與空泡體積之間的關(guān)系。最后將空泡體積的變化代入簡(jiǎn)化的Lighthill方程，求解出時(shí)域螺旋槳空泡噪聲的變化規(guī)律。

3）根據(jù)模型試驗(yàn)的工況，對(duì)5種航速下，2個(gè)測(cè)點(diǎn)的螺旋槳空泡噪聲進(jìn)行連續(xù)計(jì)算。驗(yàn)證了噪聲隨半徑的衰減規(guī)律，求證了航速對(duì)噪聲的影響。隨著航速的增加，空泡存在周期變小，說明空泡變化劇烈。

4）3 種方法計(jì)算結(jié)果說明，空泡體積脈動(dòng)球方法是可信的。單氣泡理論可以對(duì)聲壓變化做大概估算，精確度不高;FWH方程方法在本文計(jì)算中做了很大的簡(jiǎn)化，準(zhǔn)確度不高。應(yīng)用FWH方程方法計(jì)算螺旋槳空泡噪聲不但要計(jì)算流場(chǎng)分布，同時(shí)計(jì)算結(jié)果也很片面。有待進(jìn)一步深入研究。

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