氣囊著陸緩沖系統(tǒng)的沖擊動(dòng)力學(xué)多目標(biāo)優(yōu)化

何成陳國平何歡姜金輝

（1機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210016）（2南京航空航天大學(xué)振動(dòng)工程研究所，南京 210016）

1 引言

探測器的著陸過程主要分為著陸下降減速和著陸接地緩沖兩個(gè)階段。在前一個(gè)階段，大多是利用降落傘的氣動(dòng)阻力對登陸系統(tǒng)進(jìn)行減速。然而，在實(shí)際工程中，降落傘降速能力的提高是以總質(zhì)量和總體積為代價(jià)，因此受降落傘系統(tǒng)總質(zhì)量和體積的限制，必須采取進(jìn)一步的接地緩沖措施以確保登陸艙內(nèi)攜帶的精密、貴重儀器設(shè)備等有效負(fù)載的安全。

緩沖氣囊緩沖原理是利用系統(tǒng)著陸時(shí)，氣囊內(nèi)氣體壓縮來吸收著陸沖擊能量，從而達(dá)到緩沖的目的。由于其良好的緩沖性能，并且具有質(zhì)量輕，可折疊等特點(diǎn)，因此在汽車、航空、航天領(lǐng)域都得到了廣泛應(yīng)用[1,2]。近些年隨著深空探測發(fā)展，大量精密探測器的著陸安全對緩沖系統(tǒng)的緩沖特性提出了更高的要求，因此如何合理設(shè)計(jì)緩沖系統(tǒng)，進(jìn)一步提高其緩沖性能就顯得尤為重要。

目前對氣囊緩沖系統(tǒng)的沖擊動(dòng)力學(xué)研究方法主要分為試驗(yàn)分析方法和有限元仿真分析方法兩類。由于試驗(yàn)方法最能直觀反映出緩沖系統(tǒng)的真實(shí)特性，在國內(nèi)外開展了大量研究工作[3-5]。但是受實(shí)際試驗(yàn)場地、試驗(yàn)技術(shù)水平、試驗(yàn)周期以及研究經(jīng)費(fèi)等條件限制，無法開展大量、大規(guī)模驗(yàn)證試驗(yàn)和研究。因此采用有限元仿真分析方法成為近些年進(jìn)行氣囊系統(tǒng)緩沖特性研究的熱點(diǎn)，文獻(xiàn)［6］以“火星探路者”著陸系統(tǒng)的全向式氣囊緩沖裝置為對象，利用有限元分析技術(shù)，實(shí)現(xiàn)氣囊系統(tǒng)的建模與著陸全過程的仿真研究；文獻(xiàn)［7］采用歐拉數(shù)值模型，研究了氣囊初始內(nèi)壓、材料參數(shù)以及地面參數(shù)對著陸系統(tǒng)過載的影響。

雖然在氣囊式著陸緩沖系統(tǒng)方面的研究論文較多，但在氣囊系統(tǒng)著陸緩沖性能優(yōu)化方面的研究開展相對較少。本文基于D最優(yōu)試驗(yàn)設(shè)計(jì)建立的移動(dòng)最小二乘（Moving Least Square，MLS）代理模型對類似于“獵兔犬”式氣囊緩沖系統(tǒng)進(jìn)行沖擊動(dòng)力學(xué)優(yōu)化研究，將首次沖擊最大過載、囊體織物最大應(yīng)力作為優(yōu)化目標(biāo)，以囊內(nèi)初始?xì)鈮?、繩剛度作為設(shè)計(jì)變量，引入理想點(diǎn)法完成了緩沖系統(tǒng)的多目標(biāo)優(yōu)化研究，并給出了多目標(biāo)函數(shù)之間的Pareto前沿，為設(shè)計(jì)者使用封閉氣囊作為緩沖系統(tǒng)提供參考依據(jù)。

2 代理模型的構(gòu)造

2.1 D最優(yōu)試驗(yàn)設(shè)計(jì)

由于實(shí)際試驗(yàn)需要考慮到研究周期以及試驗(yàn)成本等問題，因此在試驗(yàn)前進(jìn)行合理的試驗(yàn)設(shè)計(jì)，可以在取盡可能少的試驗(yàn)樣本點(diǎn)的情況下獲得較好的試驗(yàn)效果，試驗(yàn)設(shè)計(jì)的任務(wù)就是為了解決這一問題。在構(gòu)造全局近似函數(shù)時(shí)通常也借助試驗(yàn)設(shè)計(jì)來減少總的響應(yīng)計(jì)算量。

D最優(yōu)設(shè)計(jì)[8]作為一種試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法在工程界得到了廣泛應(yīng)用，它是基于回歸模型的一類試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，該方法對設(shè)計(jì)點(diǎn)的選擇自由，在樣本空間中無明顯的分布規(guī)律。假設(shè)研究的回歸模型為 ′，即

式中 x為設(shè)計(jì)空間中一點(diǎn)，設(shè)計(jì)空間為m維歐式空間；ε為服從方差為σ2的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的測量噪聲；fi（x）為形式已知的函數(shù)；a為回歸模型系數(shù)。

將式（1）表示為矩陣形式

式中 F為模型的結(jié)構(gòu)矩陣，通過最小二乘法可獲得回歸系數(shù)向量a的估計(jì)值。估計(jì)參數(shù)協(xié)方差矩陣為

通常定義信息矩陣M=FTF，D最優(yōu)設(shè)計(jì)即為使得協(xié)方差矩陣取極小時(shí)所對應(yīng)的設(shè)計(jì)點(diǎn)集，或等價(jià)于使得信息矩陣的行列式取極大。

2.2 移動(dòng)最小二乘法基本格式

MLS法最早是無網(wǎng)格法（SPH）逼近函數(shù)的方法之一，是無網(wǎng)格伽遼金法的核心。隨著學(xué)科間的交叉與滲透，MLS法在圖形處理和數(shù)據(jù)擬合等領(lǐng)域都獲得了較廣泛的研究與應(yīng)用[9]。近些年，在工程界逐漸將MLS法應(yīng)用于代理模型構(gòu)建中[10]，并很快形成了一種新的代理模型構(gòu)造方法。另外由于MLS法采用回歸近似技術(shù)并且系數(shù)具有可變性，從而使得它不僅對工程問題中的數(shù)值噪聲有很好的過濾作用而且在擬合高度非線性模型時(shí)具有良好的精度。

假定真實(shí)響應(yīng)函數(shù)為 ，由MSL法回歸得到的近似值為 ′，MLS法將待求函數(shù)表示為一系列基函數(shù)的線性疊加形式，即

式中 a=[a1（x），a2（x），…，am（x）]T為待定系數(shù)，它是 l維設(shè)計(jì)參數(shù)向量 x=｛x1，x2，…，xl｝的函數(shù)。p=[p1（x），p2（x），…，pm（x）]T為基函數(shù)，它是一個(gè)完備多項(xiàng)式，m為基函數(shù)項(xiàng)數(shù)。二維空間中單項(xiàng)式基函數(shù)為

為度量代理模型對目標(biāo)函數(shù)的逼近程度，定義逼近函數(shù)殘差的離散加權(quán)L2范數(shù)J為：

生態(tài)環(huán)境遭受人為的嚴(yán)重破壞，生態(tài)環(huán)境日益惡化，自然森林植被、灌木、樹少林稀，極大地削弱了植被涵養(yǎng)水源、保持水源、調(diào)節(jié)氣候、減少蒸發(fā)的作用，致使本區(qū)地表、地下水資源短缺，地表河流及山間溪溝水流量逐年減少。該區(qū)內(nèi)許多巖溶泉水正因?yàn)橹苓吷鷳B(tài)環(huán)境遭受破壞，導(dǎo)致流量逐年減少，甚至枯竭斷流。此外，由于生態(tài)環(huán)境的破壞，每逢豐水雨季徑流量大還造成水土流失，直接淤積江河及巖溶地下空間，從而引發(fā)嚴(yán)重的洪澇災(zāi)害。

式中i=‖x-xi‖／r，（r是影響半徑）；n是影響區(qū)域內(nèi)設(shè)計(jì)樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)；i是 xi處樣本點(diǎn)處響應(yīng)值，w（i）是樣本點(diǎn)xi的權(quán)函數(shù)，常用的有3次樣條權(quán)函數(shù)與高斯權(quán)函數(shù)，在本文中采用工程中常用的高斯權(quán)函數(shù)：

將式（2）寫成矩陣形式：

式中

由最小二乘法求得系數(shù)

式中

移動(dòng)最小二乘法可以通過取不同階的基函數(shù)獲得不同的擬合精度，取不同的權(quán)函數(shù)以改變擬合曲面光滑度，這是其他擬合方法無法比擬的。需要注意的是，A矩陣可逆影響半徑必須滿足一定的條件：p（x）為二維線性基時(shí)，影響半徑內(nèi)至少包含3個(gè)不共線的樣本點(diǎn)；p（x）為二維二次基時(shí)，影響半徑內(nèi)至少6個(gè)樣本點(diǎn)，且這些點(diǎn)不在任何1條二次曲線上。

2.3 模型誤差評(píng)價(jià)準(zhǔn)則

ANOVA統(tǒng)計(jì)分析技術(shù)不僅可以作為評(píng)價(jià)響應(yīng)面模型適合性的一種方法，并且能夠?qū)υO(shè)計(jì)變量的影響水平進(jìn)行評(píng)價(jià)。本文選取常用與評(píng)價(jià)模型適合性的統(tǒng)計(jì)學(xué)判定系數(shù)R2與均方誤差根（RMSE）作為代理模型精度的評(píng)價(jià)參數(shù)。其中

式中 N為總的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)；i與i′是樣本點(diǎn)空間中各點(diǎn)的響應(yīng)真值和代理模型計(jì)算值；是樣本點(diǎn)空間中各點(diǎn)響應(yīng)真值的均值。RMSE的大小表示代理模型誤差值所占真實(shí)平均值的百分比；R2判定系數(shù)代理模型與真值之間的總體差異程度，取值范圍為0～1之間，一般來說，R2值越大，RMSE值越小，模型的合適性就越高。

3 封閉式氣囊系統(tǒng)的著陸緩沖性能多目標(biāo)優(yōu)化

3.1 有限元模型及其優(yōu)化問題描述

本文以類似于“獵兔犬”緩沖登陸系統(tǒng)為對象，以真實(shí)火星環(huán)境為輸入條件，對該系統(tǒng)進(jìn)行緩沖性能優(yōu)化。有限元模型如圖1所示，該登陸系統(tǒng)由氣囊織物、登陸艙以及收縮繩3部分組成。收縮繩采用MSCDytran所支持的“安全帶”一維單元進(jìn)行模擬，并假設(shè)繩索的力與應(yīng)變呈線性關(guān)系。初始模型織物參數(shù)為，密度875kg/m3，彈性模量6.43GPa，泊松比0.3，阻尼系數(shù)0.1，收縮繩剛度為1.5×104N。

著陸緩沖系統(tǒng)以60°的入射角，著陸速度為18m/s進(jìn)行著陸，接觸分析中采用的靜摩擦系數(shù)和動(dòng)摩擦系數(shù)均取0.3。由于目前尚缺乏一些真實(shí)參數(shù)的數(shù)據(jù)支持，本文所取的分析參數(shù)有可能與真實(shí)情況不符，但并不妨礙所研究方法的普遍性。由于在整個(gè)著陸緩沖過程中，首次著陸沖擊過載遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于后續(xù)彈跳過程中產(chǎn)生的沖擊過載，因此只以首次著陸的一個(gè)完整沖擊過載的峰值作為優(yōu)化目標(biāo)。另外，在著陸沖擊過程中，氣囊織物承受較大的面內(nèi)張力，對系統(tǒng)進(jìn)行合理的設(shè)計(jì)可以防止氣囊因沖擊載荷作用而產(chǎn)生爆破，因此對氣囊織物承受的最大應(yīng)力也需要進(jìn)行優(yōu)化控制。

本文選取初始?xì)鈮篜r與收縮繩剛度k（每單位應(yīng)變所需要的力）作為設(shè)計(jì)變量，以初始模型參數(shù)作為優(yōu)化空間中心，將設(shè)計(jì)變量Pr、k設(shè)計(jì)范圍分別設(shè)定為[3 000,6 000]Pa，[0,3]×104N，則優(yōu)化問題可描述為

式中f1為最大過載；f2為氣囊織物最大應(yīng)力；Φ為多目標(biāo)優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)。

3.2 樣本點(diǎn)的確定及其對應(yīng)的響應(yīng)

采用D最優(yōu)試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，選取樣本點(diǎn)數(shù)目為22個(gè)。通過樣本點(diǎn)對應(yīng)的樣本值，采用非線性瞬態(tài)有限元分析程序MSC.Dytran作為核心求解器，計(jì)算得到在樣本點(diǎn)處的最大過載與最大應(yīng)力。由于計(jì)算得到的加速度信號(hào)中含有大量的高頻成分，掩蓋了對登陸艙設(shè)備過載起決定作用的低頻脈沖，故采用文獻(xiàn)[11]的方法對過載信號(hào)進(jìn)行濾波，本文選取的濾波截止頻率為60Hz。表1給出了樣本點(diǎn)的空間位置及其對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值。

表1 樣本點(diǎn)及對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值Tab.1 Design matrix and values of objective functions

3.3 優(yōu)化分析

利用MSL構(gòu)造設(shè)計(jì)變量與各個(gè)目標(biāo)函數(shù)之間的映射關(guān)系，其對應(yīng)的響應(yīng)面如圖2、3所示。對每個(gè)目標(biāo)函數(shù)的代理模型適合性進(jìn)行評(píng)價(jià)，計(jì)算發(fā)現(xiàn)：最大過載的響應(yīng)面RMSE值僅為0.001 8，判定系數(shù)R2最小值為0.980 7，最大應(yīng)力的響應(yīng)面RMSE值僅為0.006 3，判定系數(shù)R2最小值為0.967 2，可見每個(gè)模型完全滿足精度要求，可以進(jìn)行后續(xù)優(yōu)化工作。

從圖2、3中可以看到，在設(shè)計(jì)空間內(nèi)最大過載極大值為78.2gn，而最大過載極大值與極小值之間相差18.5gn，接近極大值的24%。同樣的最大應(yīng)力極大值為310MPa,極大值與極小值之間相差154MPa，占到極大值的49%，可見各個(gè)目標(biāo)函數(shù)都具有較大的可優(yōu)化空間；設(shè)計(jì)變量對目標(biāo)函數(shù)的影響程度有差別，目標(biāo)函數(shù)對收縮繩剛度的變化更為敏感，而隨初始?xì)鈮旱淖兓鄬ζ骄彛幌到y(tǒng)的最大過載隨囊內(nèi)部初始?xì)鈮汉褪湛s繩剛度增大而增大，在低壓力區(qū)收縮繩剛度影響較為復(fù)雜；總體而言最大應(yīng)力呈現(xiàn)出隨收縮繩剛度增加而增大的趨勢，但是在設(shè)計(jì)空間的頂點(diǎn)處最大應(yīng)力有不同程度的升高。

引入理想點(diǎn)法，通過構(gòu)造統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)使多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問題進(jìn)行優(yōu)化。令各分目標(biāo)的理想最優(yōu)值為（i=1，2），定義

式中 q為目標(biāo)函數(shù)個(gè)數(shù)；wi是第i個(gè)目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的加權(quán)因子，文中采用歸一權(quán)處理。由于響應(yīng)面表現(xiàn)出的非線性程度不同，特別是針對響應(yīng)面是多峰函數(shù)的情況，因此采用全局尋優(yōu)能力較強(qiáng)的遺傳算法進(jìn)行尋優(yōu)。

通過變化不同的權(quán)系數(shù)可以得到側(cè)重不同目標(biāo)分量的Pareto解集。解集是一個(gè)全局的相對最優(yōu)解，設(shè)計(jì)者可以在解集中根據(jù)不同的優(yōu)化要求與側(cè)重點(diǎn)進(jìn)行選取。本文采用Monte-Carlo模擬結(jié)合MSL代理模型，計(jì)算獲得了目標(biāo)函數(shù)的Pareto前沿，如圖4和圖5所示。為便于區(qū)分，在圖中進(jìn)行了編號(hào)處理。

圖4 緩沖系統(tǒng)設(shè)計(jì)參數(shù)Pareto前沿Fig.4 The Pareto front of design parameters

圖5 緩沖系統(tǒng)優(yōu)化目標(biāo)的Pareto前沿Fig.5 The Pareto front of objective functions

從圖中可以看出：1）Pareto解集多集中于特定域內(nèi)，且多分布于設(shè)計(jì)空間的邊界，呈現(xiàn)出聚類分布特征。2）在設(shè)計(jì)空間頂點(diǎn)“1”區(qū)域，可以獲得設(shè)計(jì)域內(nèi)最大過載的極小值，若決策者更加注重對登陸艙過載的控制，可以選擇該區(qū)域內(nèi)的設(shè)計(jì)點(diǎn)。3）當(dāng)初始?xì)鈮禾幱? 000Pa附近的低壓力區(qū)時(shí)（對應(yīng)圖4與圖5中“1”-“3”區(qū)域），收縮繩的剛度是對目標(biāo)函數(shù)起主要作用的因素，最大過載與最大應(yīng)力表現(xiàn)出相反的變化趨勢，即織物最大應(yīng)力隨著首次最大過載的增大而減小。4）當(dāng)系統(tǒng)初始?xì)鈮涸诟邏毫^(qū)時(shí)（對應(yīng)圖4與圖5中“4”區(qū)域），可以得到設(shè)計(jì)域內(nèi)織物最大應(yīng)力的全局最優(yōu)值。若決策者較為關(guān)注氣囊織物強(qiáng)度，可以選擇該區(qū)域內(nèi)的設(shè)計(jì)點(diǎn)。

分別從“1”和“4”區(qū)域內(nèi)選出優(yōu)化解分別定義為“優(yōu)化系統(tǒng)1”與“優(yōu)化系統(tǒng)2”，圖6和圖7分別給出了優(yōu)化后系統(tǒng)的變形和首次沖擊過載的時(shí)域曲線。圖7結(jié)合表2可以看出優(yōu)化系統(tǒng)不僅最大程度的優(yōu)化了重點(diǎn)關(guān)注的單個(gè)目標(biāo)函數(shù)，而且其他優(yōu)化目標(biāo)性能也獲得了不同程度的提高，采用此種優(yōu)化方法達(dá)到了預(yù)期效果。

圖6 優(yōu)化系統(tǒng)2的應(yīng)力與變形圖Fig.6 The stress of second landing system after optimization

圖7 優(yōu)化前后系統(tǒng)沖擊過載時(shí)域曲線Fig.7 Time history of overloading before and after optimization

表2 優(yōu)化前后系統(tǒng)緩沖性能比較Tab.2 Cushioning performance of landing system before and after optimization

4 結(jié)束語

本文研究了基于D最優(yōu)試驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)合MLS法的氣囊著陸緩沖動(dòng)力學(xué)多目標(biāo)優(yōu)化問題。優(yōu)化結(jié)果表明，利用MSL構(gòu)造的代理模型能夠非常好的逼近強(qiáng)沖擊載荷下的沖擊響應(yīng)響應(yīng)面，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行優(yōu)化分析能夠給出合理的優(yōu)化分析結(jié)果。

文章針對氣囊著陸緩沖系統(tǒng)的囊內(nèi)部初始?xì)鈮汉褪湛s繩剛度進(jìn)行了優(yōu)化分析，有效的降低了氣囊著陸沖擊最大過載和織物上承受的最大應(yīng)力，證明了所提出的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的有效性。研究結(jié)果還表明，收縮繩的引入使得初始?xì)鈮簩δ繕?biāo)函數(shù)影響規(guī)律更加復(fù)雜，最大過載和最大應(yīng)力呈現(xiàn)出較高的非線性特征?？傮w而言最大過載表現(xiàn)為隨囊內(nèi)部初始?xì)鈮汉褪湛s繩剛度增大而增大的趨勢，最大應(yīng)力隨收縮繩剛度增大而增大，且收縮繩剛度對最大過載和織物最大應(yīng)力的影響更加顯著。

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