地震資料的Hilbert Huang變換及其應(yīng)用

劉浩杰 （中石化勝利油田分公司物探研究院，山東 東營 257022）

地震資料的Hilbert Huang變換及其應(yīng)用

劉浩杰 （中石化勝利油田分公司物探研究院，山東 東營 257022）

地震信號能量和頻率隨著時間的推移而改變，僅僅從時間域或頻率域來分析信號已不能充分地描述地震信號的特征?；贖ilbert-Huang變換 （HHT），把非穩(wěn)態(tài)的地震信號分解為不同分辨尺度的基本模態(tài)分量，利用不同模態(tài)分量的瞬時時頻特征精細(xì)刻畫地震信號的時間-頻率-能量之間的關(guān)系，探討了HHT在面波壓制方面的應(yīng)用。應(yīng)用結(jié)果表明，HHT在時頻域可以較好地達(dá)到衰減面波的目的。

地震信號；Hilbert-Huang變換 （HHT）；時頻分析；時間分辨率；頻率分辨率

地震信號具有短時、突變等特點，其能量和頻率隨著時間的推移而變化，僅僅從時間域或頻率域來分析信號已不能充分地描述信號的特征。時頻分析技術(shù)將地震數(shù)據(jù)變換到二維時間-頻率域，得到信號的頻譜、能量特征隨時間的變化，在時間－頻率域中研究地震資料的各種特征。時頻分析方法有很多，主要有短時傅里葉變換、小波變換、S變換以及廣義S變換等方法［1～3］。傳統(tǒng)的傅里葉變換建立在穩(wěn)態(tài)信號處理基礎(chǔ)上，分析信號總體所包含的各種頻率成分，但不能給出不同頻率成分的時間局部化信息；短時傅里葉變換以傅里葉變換為基礎(chǔ)，通過窗函數(shù)作用，分析固定分辨率條件下信號的時頻特征；小波變換在時域和頻域都具有很好的局部化性質(zhì)，提高了頻譜分辨率和時間定位精度，但本質(zhì)上仍是一種窗口可調(diào)的傅里葉變換；S變換和廣義S變換改進(jìn)了小波的形式，分辨率與頻率 （尺度）有關(guān)，但本質(zhì)上仍是窗口可調(diào)的傅里葉變換，分辨率受窗口長度的限制。常規(guī)時頻分析方法在分辨率和信號平穩(wěn)性方面的限制影響了對地震信號時頻特征刻畫的精確性。

Hilbert-Huang變換 （HHT）是一種新興的時頻分析方法，被認(rèn)為是近年來對以傅里葉變換為基礎(chǔ)進(jìn)行線性和穩(wěn)態(tài)譜分析的一個重大突破。它最初是由美國國家宇航局的Huang［4］于1998年提出的。該方法不受傅里葉分析的全局性限制，將任意信號依據(jù)信號本身的時間尺度特征，進(jìn)行多尺度時頻特征的刻畫，得到的時頻譜有較高的時間分辨率與頻率分辨率，也使得信號瞬時頻率具有實際的物理意義。HHT已應(yīng)用到地震力學(xué)、地球物理學(xué)等領(lǐng)域，并取得了較好的效果［5～7］。該次研究首先介紹了HHT的原理，研究了HHT頻譜和時頻譜，探討了HHT變換在面波壓制等方面的應(yīng)用。

1 Hilbert-Huang變換 （HHT）

HHT包括兩部分［4］：第1部分是經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解 （empirical mode decomposition，EMD）；第2部分是Hilbert譜分析 （Hilbert spectrum analysis，HSA）。

為了利用HHT來分析非線性和非平穩(wěn)信號以獲得有明確物理意義的瞬時頻率，必須保證信號處理方法的完備性、正交性、局部性和自適應(yīng)性。基于此，Huang提出了本征模態(tài)函數(shù) （intrinsic mode function，IMF）的概念。本征模態(tài)函數(shù)必須滿足2個條件：一是在信號的有限時間內(nèi)，其零交點的數(shù)目與極值點的數(shù)目必須相等或者至多相差一個；二是在任意時刻，由極大值得到的上包絡(luò)線和由極小值得到的下包絡(luò)線的平均值為零。非平穩(wěn)信號并不滿足IMF分量的兩個條件，因此必須先將信號分解成符合上述條件的IMF分量，然后再對各分量進(jìn)行HHT?；贗MF的定義，Huang提出了一種將任意信號分解成IMF分量的方法，即經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解方法。其具體步驟如下：

1）首先找出原始信號S（t）的所有的極大值點與極小值點，然后分別用三次樣條函數(shù)插值擬合得到原始數(shù)據(jù)序列的上、下包絡(luò)線。計算上、下包絡(luò)線的均值得到平均包絡(luò)線m10（t），用S（t）減去m10（t）后，就得到一個去掉低頻的新序列h10（t），公式表述如下：

一般來說，h10（t）不一定是符合IMF分量的條件，因此需要將其作為原始信號再重復(fù)上述過程。如果h10（t）的平均包絡(luò)線為m11（t），則去除該包絡(luò)線所包含的低頻成分后得到的序列為h11（t）：

重復(fù)上述過程，經(jīng)過k次循環(huán)后，得到平均包絡(luò)線m1k（t）。當(dāng)m1k（t）趨向于零時，此時的h1k（t）滿足IMF分量的條件，h1k（t）即為第1個IMF序列，將其定義為x1（t），它代表的是原始信號S（t）中頻率最高的成分。

2）用S（t）減去x1（t），得到一個去掉高頻成分的新序列r1（t）；對r1（t）進(jìn)行式（1）、（2）中的分解與計算，得到第2個IMF分量x2（t）。重復(fù)上述過程直到最后一個序列rn（t）成為一個單調(diào)函數(shù)不能再分解出IMF分量為止。上述過程可以表述為：

圖1（a）為一個原始理論信號和經(jīng)過EMD分解得到的2個IMF分量信號。原始信號為一個頻率線性增加的正弦信號與單一頻率的余弦信號的疊加，其中正弦信號的頻率為線性的，而余弦信號的頻率為一固定值，公式為：S（t）＝sin［2πt（6＋6t）］＋cos（2πt）；經(jīng)過EMD分解后的信號分別相當(dāng)于原始信號的2個部分。從圖1（a）中可以看出，利用HHT可以準(zhǔn)確地分離變頻信號，表明了HHT對非線性、非穩(wěn)態(tài)信號處理的有效性。

圖1 理論信號的IMF 分解及時間頻率曲線

通過EMD分解得到的線性穩(wěn)態(tài)IMF分量非常適合做HHT，得到瞬時頻譜特征，即HHT譜。HHT是一種線性變換，如果輸入信號是平穩(wěn)的，那么輸出信號也應(yīng)該是平穩(wěn)的，且HHT強(qiáng)調(diào)局部屬性，這避免了傅里葉變換為擬合原序列而產(chǎn)生的許多多余的、事實上并不存在的高、低頻成分，也賦予了信號瞬時頻率分量的具體物理意義。圖1（b）為對圖1（a）中信號的IMF分量作HHT后得到的時間－頻率曲線。從圖1（b）中可以看出，通過HHT能夠得到準(zhǔn)確的瞬時頻率，其中頻率隨時間推移線性增長的是第1個IMF分量 （IMF1）的瞬時頻率，另外一個是第2個IMF分量 （IMF2）的瞬時頻率值。

2 HHT邊際譜和時頻特征分析

得到信號本征模態(tài)函數(shù)之后，就可以利用HHT得到每個本征模態(tài)信號的瞬時頻率。如果忽略HHT的殘余量，信號就可以表示成如下形式：

式中，X（t）為原始信號；a（t）為分解的IMF分量；下標(biāo)j為IMF分量的序號，j＝1，2，…，n；ω（t）為特定頻率，Hz；t為時間，s。

式（4）把信號的幅度和頻率統(tǒng)一表示為時間的函數(shù)。信號的傅里葉變換表達(dá)式為：

式（4）與式（5）比較表明，信號的HHT實質(zhì)上是傅里葉變換的擴(kuò)展。而且，通過HHT能夠很容易地實現(xiàn)信號幅度和頻率的調(diào)整，這種變化的幅度和瞬時頻率不僅極大地改進(jìn)了變換的效率，也使得信號的擴(kuò)展適應(yīng)于非穩(wěn)態(tài)信號。因此，這種擴(kuò)展突破了傅里葉變換固定幅度和固定頻率的限制。

2.1 HHT邊際譜分析

HHT能夠以三維圖的形式表示幅度、瞬時頻率和時間的關(guān)系。這種幅度的頻率－時間分布稱之為Hilbert譜，幅度的頻率分布定義為HHT邊際譜：

式中，h（ω）為HHT邊際譜；H（ω，t）為Hilbert譜；T為信號持續(xù)時間。

這種HHT邊際譜所表示的意義與傅里葉譜 （FFT振幅譜）不完全一樣。對于FFT振幅譜，特定頻率ω處的能量是表示該頻率的正弦或余弦波在整個信號持續(xù)時間范圍內(nèi)的貢獻(xiàn)；而對于HHT邊際譜，特定頻率ω處的能量是表示該頻率的振動在整個信號持續(xù)時間范圍內(nèi)的貢獻(xiàn)。也就是說，F(xiàn)FT振幅譜是把信號分解為不同分量的正弦或余弦信號后進(jìn)行能量分布的分析，而HHT邊際譜是直接分析信號瞬時頻率的能量分布。因此，通過瞬時頻率的引入，使得HHT邊際譜有明確的物理意義，而且也去除了常規(guī)FFT振幅譜為擬合原始信號而引入的不存在的諧波成分。

圖2為圖1中信號HHT邊際譜與FFT振幅譜的比較。從圖2中可以看出，由于原始信號是正、余弦信號的疊加，所以HHT邊際譜和FFT振幅譜基本一致，只存在一些細(xì)微的差別。

圖3（a）為實際地震道，采樣間隔為2ms；圖3（b）為其對應(yīng)的HHT邊際譜和FFT振幅譜。從對比中可以看出，實際地震信號的HHT邊際譜與FFT振幅譜存在較大差別。從物理意義上，HHT邊際譜更準(zhǔn)確地表明了不同頻率分量在信號持續(xù)時間內(nèi)的作用。

圖2 HHT邊際譜與FFT振幅譜比較

圖3 實際地震道及HHT邊際譜和FFT振幅譜的比較

2.2 HHT時頻特征分析

如式 （4）所述，HHT可得到能量關(guān)于時間、頻率的函數(shù)，即進(jìn)行時頻特征分析。HHT作為一種新興的時頻分析技術(shù)，已經(jīng)在許多領(lǐng)域得到了應(yīng)用。為了說明HHT時頻分析技術(shù)的特征，將其與幾種常規(guī)時頻分析方法進(jìn)行了對比。

選取圖3所示的實際地震道作為試驗數(shù)據(jù)，對該道數(shù)據(jù)分別做短時傅里葉變換 （STFT）、連續(xù)小波變換 （CWT）、廣義S變換 （GST）和HHT，得到其時頻譜圖 （圖4）。比較而言，3種常規(guī)時頻分析方法在地震頻帶范圍內(nèi)的效果相似，盡管能表示出不同頻率分量能量隨時間的變化趨勢，但其時頻分辨率仍然比較低。與常規(guī)時頻分析相比，HHT時頻分析的時間分辨率還是頻率分辨率都有較大的提高，能夠很清楚地刻畫不同頻率分量能量的時間－頻率分布。

圖4 實際地震道的常規(guī)時頻分析和HHT時頻分析比較

3 HHT應(yīng)用探討

在地震勘探中，作為一種規(guī)則干擾波，面波視速度較低且存在頻散現(xiàn)象，具有能量強(qiáng)、頻率低、振動延續(xù)時間長等特點，在炮集上呈線性分布，降低了地震資料的信噪比。如何有效去除面波一直是地震勘探領(lǐng)域的難點。

對疊前炮集記錄的HHT分析表明，信號不同模態(tài)的分量能夠精細(xì)刻畫某一時段和頻段的不同信號分量，即能夠清晰地反映有效信號和干擾信號的能量以及頻率隨時間的變化。因此，可以在HHT基礎(chǔ)上設(shè)計時頻濾波器達(dá)到壓制面波的目的。首先，對原始炮集地震記錄進(jìn)行EMD分解，得到不同模態(tài)信號的IMF分量；然后對所有分量分別作HHT，得到時頻譜圖，確定面波所在頻段；結(jié)合常規(guī)面波消除方法，設(shè)計時頻濾波器對包含面波頻率成分的分量作處理或直接去除，得到新的IMF分量；最后將所有新得到的IMF分量相加得到去除面波的地震記錄。

圖5為面波壓制前、后的效果圖，經(jīng)過對比可以看到，壓制面波后的剖面基本不存在面波成分，而且有效波也得到了保留；有效反射波同相軸的連續(xù)性增強(qiáng)，信噪比提高。因此，HHT在時頻域壓制面波方面可以較好地達(dá)到衰減面波的目的，并有很好的效果。

圖5 疊前炮集數(shù)據(jù)壓制面波前 （a）、后 （b）的對比圖

4 結(jié) 論

在HHT理論分析的基礎(chǔ)上，利用理論信號和實際地震資料，研究了HHT邊際譜和時頻譜的特點，證實了HHT理論的完備性以及物理意義的明確性，探討了HHT在地震勘探領(lǐng)域的應(yīng)用，得到了以下認(rèn)識：

1）地震信號的HHT通過對非平穩(wěn)地震信號的線性化，建立了以瞬時頻率為表征信號變化的基本量，以固有模態(tài)信號為基本時域信號的新時頻分析方法體系，實現(xiàn)了具有物理意義的地震信號的線性瞬時時頻分析，更加精細(xì)刻畫了地震信號的時間-頻率-能量之間的關(guān)系。這對于從地震資料中提取反映地層特征信息的高精度和高分辨屬性參數(shù)具有重要的意義。

2）HHT邊際譜與FFT振幅譜所表示的意義不完全一樣。對于傅里葉譜，特定頻率處的能量是表示該頻率的正弦或余弦波在整個信號持續(xù)時間范圍內(nèi)的貢獻(xiàn)；而對于HHT邊際譜，特定頻率處的能量是表示該頻率的振動在整個信號持續(xù)時間范圍內(nèi)的貢獻(xiàn)。也就是說，通過瞬時頻率的引入，使得HHT邊際譜有明確的物理意義，也去除了常規(guī)傅里葉譜為擬合原始信號而引入的不存在的諧波成分。

3）HHT的多尺度和高分辨特性使得該變換在地震勘探領(lǐng)域有潛在的重要應(yīng)用價值。

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［編輯］ 龍 舟

Hilbert-Huang Transform for Seismic Data and Its Application

LIU Hao-jie （Author' s Address：Geophysical Research Institute，Shengli Oilfield Company，SINOPEC，dong，China）

The energy and the frequency of seismic signal were varied with time，so it was difficult to characterize seismic signal accurately and subtly only in the field of time or frequency.Based on Hilbert-Huang transform，the non-stationary seismic signal could be decomposed into a finite and small number of intrinsic mode functions and the relation between time-frequency-energy of seismic signal could then be identified accurately by using the instantaneous time-frequency analysis of different model signal.The application of Hilbert-Huang transform in compressing wave is studied.The result shows that Hilbert-Huang transform can attenuate surface wave accurately in time-frequency field.

seismic signal；Hilbert-Huang transform；time-frequency analysis；time resolution；frequency resolution

P631.44

A

1000-9752（2012）12-0076-05

2012-08-11

國家 “863”計劃項目 （2011AA060302）。

劉浩杰 （1976-），男，1998年江漢石油學(xué)院畢業(yè)，博士，研究員，現(xiàn)主要從事油藏綜合地球物理研究。