獨立分量分析在諧波源辨識中的應(yīng)用

鄭東方，陳紅坤，楊志平

（武漢大學(xué)電氣工程學(xué)院，武漢430072）

自從采用交流電作為電能輸送的一種方式起，人們就已經(jīng)意識到電力系統(tǒng)中存在的諧波問題。近年來隨著社會經(jīng)濟的快速發(fā)展，大量的電力電子非線性設(shè)備接入電力系統(tǒng)中，使電力系統(tǒng)受到嚴(yán)重的污染，諧波問題更加突出。另外，隨著低碳經(jīng)濟時代的到來，國家大力開發(fā)風(fēng)能以及太陽能等清潔資源，并將風(fēng)電、光伏發(fā)電與傳統(tǒng)電網(wǎng)并網(wǎng)，使得系統(tǒng)中的諧波情況更加復(fù)雜，這些對電力系統(tǒng)的安全、穩(wěn)定運行造成了極大的危害。如何有效地對諧波進行控制并確定諧波污染責(zé)任和治理責(zé)任，已成為電力系統(tǒng)和用戶共同關(guān)注的問題，而控制和改善諧波的前提就是對諧波源進行準(zhǔn)確辨識[1]。

目前，電力系統(tǒng)中的典型諧波源，就其非線性特性而言有三類[2]：鐵磁飽和型，包括各種鐵芯設(shè)備，如變壓器、電抗器等，其鐵磁飽和特性呈現(xiàn)非線性，這種鐵芯的非線性磁化特性將引起諧波；電子開關(guān)型，主要為各種交直流換流裝置、雙向晶閘管可控開關(guān)設(shè)備以及脈沖寬度調(diào)制PWM（pulse width modulation）變頻器等電力電子設(shè)備；電弧型，交流電弧爐和交流電焊機等。

諧波源辨識最初是作為諧波潮流的逆問題提出的[3]。即通過測量電網(wǎng)中線路的諧波電流和部分節(jié)點的諧波電壓，采用狀態(tài)估計的方法計算負(fù)荷注入電網(wǎng)的諧波功率，當(dāng)注入的諧波功率為正時，則判定該負(fù)荷為諧波源。此外，瞬時功率理論也被運用于諧波源辨識研究當(dāng)中，通過三相系統(tǒng)中特定節(jié)點處的濾波裝置數(shù)據(jù)得到系統(tǒng)諧波的瞬時有功功率，來辨識電網(wǎng)中主要的諧波源。另外，有很多新的算法如線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等被應(yīng)用于諧波狀態(tài)估計中[4]，并在此基礎(chǔ)上開發(fā)了相應(yīng)的程序和裝置用于實際電網(wǎng)中諧波源的辨識。另一類辨識諧波源的方法是通過研究電流波形和電壓波形之間的聯(lián)系，找出相應(yīng)的負(fù)荷參數(shù)作為判定諧波源的指標(biāo)。以上這些研究主要集中在狀態(tài)估計方法的基礎(chǔ)上，目的是利用盡可能少的測量裝置取得令人滿意的辨識效果，對于諧波源辨識的判據(jù)并沒有提出新的觀點。

獨立分量分析ICA（independent component analysis）是近年來發(fā)展起來的一種高效的盲源分離方法，描述了對未知源信號的估計重現(xiàn)過程，也可以作為一種抽取獨立信號源的技術(shù)，已在特征提取、語音識別、生物醫(yī)學(xué)信號處理、通信等領(lǐng)域受到廣泛關(guān)注[5～7]。本文將電力系統(tǒng)諧波辨識的問題抽象為盲源分離問題，從而將獨立分量分析應(yīng)用于諧波辨識。和一般的盲源分離問題不同的是，基于對諧波干擾的先驗知識有一定的了解，因而處理起來比較容易。本文以交流電弧爐和飽和變壓器為例在Matlab軟件中進行仿真。仿真結(jié)果表明，基于獨立分量分析的諧波辨識法具有很高的精度和抗噪性能。

1 獨立分量分析法

1.1 基本原理

獨立分量分析是盲源分離方法的一個重要分支，其主要思想是在對源信號及其傳輸通道均未知的情況下，使分離出來的獨立分量最大程度地逼近各個源信號，即建立目標(biāo)函數(shù)以尋優(yōu)來實現(xiàn)逼近。其簡單原理框圖如圖1所示。

圖1 ICA的簡單框圖說明Fig.1 Simple diagram shows of ICA

其中S ＝[s1，s2，…，sn]T是相互獨立的源信號，X＝[x1，x2，…，xm]T是觀測信號，每個觀測信號均由源信號線性加權(quán)得到，即：

式中A是m×n的混合矩陣，A和S 均未知，利用中心極限定理，即當(dāng)多個相互獨立的隨機變量具有有限的均值和方差時，則不論這些隨機變量服從何種分布，其和形成的隨機變量必近似服從高斯分布。由上式知，xi比si更接近高斯分布，換句話說，si比xi有更強的非高斯性。在分離的過程中通過測量si的非高斯性，當(dāng)si的非高斯性度量達到最大時，則說明源信號從觀測信號中分離。ICA 的方法正是通過對各獨立量進行非高斯性度量，采用某種優(yōu)化方法求解混矩陣B，并令

使Y 盡可能的逼近S。有時解混過程又可以分為兩步—— 球化W 和正交變換U，球化的目的是使輸出Z的各分量的方差為1，而且互不相關(guān)；正交變換的目的是使輸出Y 的各分量的方差保持為1，同時使其各分量盡可能獨立。由于Z中的各分量已經(jīng)滿足獨立性對二階統(tǒng)計量的要求，因此正交變換時只需考慮三階以上的統(tǒng)計量，使算法得到很好的簡化。

對于式（1），通常有以下3點約束：（1）源信號S 是統(tǒng)計獨立的；（2）源信號S 中至多有一個是服從高斯分布的；（3）觀測信號的個數(shù)不小于源信號的個數(shù)。

由上述分析可知，ICA 的主要任務(wù)是：首先建立以分離信號的獨立性為量度的目標(biāo)函數(shù)，目前常用的目標(biāo)函數(shù)有互信息、負(fù)熵、似然函數(shù)等[7]；其次是尋找優(yōu)化算法使目標(biāo)函數(shù)取得極值，常用的算法有極大峰度法、自適應(yīng)算法、探查性投影追蹤法等[8]。本文將采用基于負(fù)熵的ICA 固定點算法：FastICA 算法。

隨機向量y 的負(fù)熵定義為

式中yG為與y 具有相同的均值及方差的高斯分布的隨機向量；H（y）為概率密度為p（y）的向量y的信息熵：

由信息論的知識可知，在同方差的情況下，高斯信號具有最大的信息熵，所以負(fù)熵的值總是非負(fù)的，可以用來作為隨機向量非高斯量的度量。由于p（y）很難求出，所以無法計算出式（1.3）中的負(fù)熵J（y），從而無法判斷信號的非高斯性。負(fù)熵可以近似表示成下式[9]：

式中：k是正的常量；E（·）為均值運算；v是一個與y 具有同均值同方差的高斯隨機向量。G（y）通?？扇∫韵滦问降暮瘮?shù)：

以式（5）為目標(biāo)函數(shù)，應(yīng)用FastICA 算法，通過迭代過程來調(diào)整B，使J（y）達到最大，收斂后可使Y 盡可能的逼近S。

1.2 Fast ICA算法的步驟

采用負(fù)熵作為判據(jù)時，由式（5）及yi＝Z得：

穩(wěn)態(tài)時Δui＝0，由此得到固定點迭代的兩步算式[10]：

由于第二步中有歸一運算，所以第一步中的系數(shù)可以省略。為了改進該算法的收斂性能，用牛頓迭代算法，并將上式等效地表示為[11]：

用牛頓迭代法求解，得：

由于Z是球化數(shù)據(jù)，再對上式進行通分簡化整理得：

總而言之，采用負(fù)熵的固定點算法的步驟可總結(jié)如下：

（1）將X 去均值，然后通過球化得到Z；

（2）任 意 選 擇ui的 初 值ui（0）， 滿 足‖ui（0）‖2＝1；

（3）令

（5）如不收斂，回到步驟（3）。

采用本算法的優(yōu)點是：由于采用牛頓法，使得收斂較有保證，可以證明它具有三階的收斂速度[10]；迭代過程中不需要引入調(diào)節(jié)步長等人為設(shè)置的參數(shù)，因而更簡單方便。

2 仿真

為了驗證本文算法的有效性，這里令si（t）為源信號中的一路單位信號，yj（t）為對應(yīng)的單位分離信號，殘差r（t）＝si（t）－yj（t），分離結(jié)果的優(yōu)劣用如下的誤差函數(shù)來評估：

單位最大絕對誤差：

單位平均絕對誤差：

單位均方誤差：

誤差越小，說明算法越有效。

2.1 諧波源信號仿真

對于交流電弧爐系統(tǒng)，由于其在煉鋼過程中的一些固有特點：電弧延遲發(fā)弧、電弧電阻的非線性、電弧游動、冶煉過程中電極同爐料的接觸性短路、爐料的崩塌、爐料成分的氣化、氧化期內(nèi)被熔金屬的劇烈沸騰等原因，使得電弧爐的電弧電壓和電弧電流的變化很不規(guī)則，在此簡化處理并由文獻[12]得到交流電弧爐的電壓變化曲線如圖2中U21所示；由文獻[13]得到飽和變壓器的電壓變化曲線如圖2中U22所示，縱坐標(biāo)為電壓信號，橫坐標(biāo)為時間。

圖2 交流電弧爐和飽和變壓器的電壓信號Fig.2 Voltage signals of AC－EAF and saturation transformer

為了模擬測量的電壓信號，在此用一個隨機產(chǎn)生的2×2矩陣對上述兩個電壓信號進行線性疊加，得到測量的電壓信號如圖3U31、U32所示。

圖3 測量的電壓信號（Ⅰ）Fig.3 Measured signals of voltage（Ⅰ）

由圖3可知測量的電壓信號已完全失去諧波源信號的電壓特性，用ICA 的方法可以分離出諧波源信號，仿真參數(shù)G 采用式（6）的表達式，應(yīng)用本文算法得到分離后的電壓信號如圖4U41、U42所示。

圖4 分離的電壓信號（Ⅰ）Fig.4 Separated signals of voltage（Ⅰ）

由于在ICA 算法中，分離后的電壓信號與諧波源信號沒有固定的對應(yīng)關(guān)系[7]，所以要確定分離后得到的電壓信號所對應(yīng)的諧波源信號。為此構(gòu)造一個相關(guān)系數(shù)矩陣[14]：

式中相關(guān)系數(shù)

由于越相似的電壓信號其相關(guān)系數(shù)越大，故由c1j可確定分離后的電壓信號中與第一個諧波源信號相對應(yīng)的電壓信號，c2j可確定分離后的電壓信號中與第二個諧波源信號相對應(yīng)的電壓信號，以此類推可將諧波源信號中各電壓信號辨別出來。應(yīng)用式（17）對上面分離后得到的電壓信號進行計算得到相關(guān)系數(shù)矩陣為

由此可知分離后的電壓信號U41對應(yīng)的是飽和變壓器的電壓信號U22，U42對應(yīng)的是交流電弧爐的電壓信號U21，由式（14）～（16）計算得到分離信號與源信號的誤差如表1所示。

表1 分離后電壓信號與諧波源信號的誤差Tab.1 Errors between the separated voltage signal and signal of harmonic source

由表1可知，該算法的單位最大絕對誤差依次為0.0101、0.0251，單位均方誤差更小，數(shù)量級為10－5，各相關(guān)系數(shù)接近1，說明該算法能夠很好地完成諧波源的辨識。

2.2 帶有噪聲的諧波源信號仿真

為了說明該算法在更復(fù)雜情況下的有效性，在2.1中兩個諧波源的基礎(chǔ)上再加上一個模擬諧波源的電壓信號，其表達式為

另外為了檢驗該算法的抗噪性能，用一零均值的隨機信號來模擬系統(tǒng)中的噪聲，在此也將其看作一個諧波源信號，如圖5所示，U51～U54依次為交流電弧爐的電壓信號，飽和變壓器的電壓信號，及噪聲。用4×4的隨機矩陣對諧波源信號進行線性疊加，得到測量的電壓信號如圖6U61～U64所示。

再用本文算法對測量的電壓信號進行計算，得到分離后的電壓信號如圖7所示。

圖5 諧波源電壓信號（Ⅱ）Fig.5 Voltage signals of harmonic sources（Ⅱ）

圖6 測量的電壓信號（Ⅱ）Fig.6 Measured signals of voltage（Ⅱ）

圖7 分離的電壓信號（Ⅱ）Fig.7 Separated signals of voltage（Ⅱ）

應(yīng)用式（17）對分離后的電壓信號進行計算得到相關(guān)系數(shù)矩陣為

由相關(guān)系數(shù)矩陣可知分離后的電壓信號中U71與飽和變壓器的電壓信號對應(yīng)，U72與交流電弧爐的電壓信號對應(yīng)，U73與模擬諧波源的電壓信號對應(yīng)，U74與噪聲信號對應(yīng)。由式（14）～（16）計算得到分離信號與源信號的誤差如表2所示。

表2 有噪聲時分離后電壓信號與諧波源信號的誤差Tab.2 Errors between the separated voltage signal and signal of harmonic source with a noise

由表2可知，相對于2.1的仿真結(jié)果，有噪聲時分離后的電壓信號與諧波源信號的誤差增大，相關(guān)系數(shù)減小。但單位均方誤差仍能保持10－2的數(shù)量級，各相關(guān)系數(shù)也在0.95以上，誤差仍在可以接受的范圍內(nèi)。說明本文算法具有很好的魯棒性。

3 結(jié)語

本文將諧波源辨識問題抽象為盲源分離問題，并運用該領(lǐng)域流行的獨立分量分析法進行分析，通過仿真研究表明ICA 方法能夠分離多種不同類型的諧波源信號，可以準(zhǔn)確地對諧波源進行辨識；即使是在有噪聲的條件下也能取得較好的抗噪效果，說明該方法具有很強的魯棒性。本文算法在電力系統(tǒng)應(yīng)用處于初級階段，在對具有復(fù)雜諧波源的網(wǎng)絡(luò)，還需要做更進一步的研究。

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