基于F分布的指數(shù)型產(chǎn)品環(huán)境因子計(jì)算方法研究

程紅偉，陶俊勇，張?jiān)瓢玻愌?/p>

(國防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 裝備綜合保障技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長沙410073)

0 引言

在工程實(shí)際中當(dāng)產(chǎn)品的壽命分布服從指數(shù)分布時(shí)常稱其為指數(shù)型產(chǎn)品。研究表明:大部分電子、機(jī)電產(chǎn)品壽命分布均服從指數(shù)分布?，F(xiàn)代產(chǎn)品研制往往面臨產(chǎn)品復(fù)雜度增加、研制成本和可靠性要求高、研制周期短、投入可靠性試驗(yàn)的樣本量小、不同研制階段的試驗(yàn)環(huán)境不同等諸多問題，因此如何有效地解決小子樣、變環(huán)境產(chǎn)品可靠性評估是現(xiàn)階段可靠性工程面臨的難題之一。環(huán)境因子方法屬于多源信息融合方法的一種［1］，其能夠直觀地融合各種試驗(yàn)信息對產(chǎn)品的可靠性進(jìn)行分析與評估，是解決小子樣、變環(huán)境產(chǎn)品可靠性評估的有效途徑之一。文獻(xiàn)［2］詳細(xì)分析了可靠性評估中環(huán)境因子的發(fā)展過程，文獻(xiàn)［3］給出了指數(shù)型產(chǎn)品環(huán)境因子的概念，進(jìn)一步明確了指數(shù)型產(chǎn)品環(huán)境因子的物理意義。文獻(xiàn)［4］給出了指數(shù)型產(chǎn)品環(huán)境因子的信仰分布，進(jìn)而得到了環(huán)境因子的Bayes 算法。文獻(xiàn)［1］給出了指數(shù)型產(chǎn)品環(huán)境因子的區(qū)間估計(jì)，得到了產(chǎn)品可靠性的區(qū)間估計(jì)。文獻(xiàn)［5］給出了一種零故障情況下指數(shù)型數(shù)據(jù)環(huán)境因子的計(jì)算方法。

對于指數(shù)型產(chǎn)品而言，環(huán)境因子的物理意義十分明確，即相同產(chǎn)品在不同環(huán)境下的失效率之比。但環(huán)境因子的準(zhǔn)確計(jì)算一直是指數(shù)型產(chǎn)品可靠性評估的難點(diǎn)。文獻(xiàn)［6］根據(jù)指數(shù)型產(chǎn)品試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量服從χ2分布的特點(diǎn)，以及χ2分布與F 分布之間的關(guān)系給出了環(huán)境因子的算法，并進(jìn)一步分析了小樣本情況下該算法的不足及改進(jìn)思路。在上述研究的基礎(chǔ)上，本文提出了修正因子的概念，并將其引入到環(huán)境因子的計(jì)算公式中，提高了指數(shù)型產(chǎn)品環(huán)境因子的計(jì)算精度。

1 指數(shù)型產(chǎn)品環(huán)境因子算法

1.1 假設(shè)與定義

產(chǎn)品可靠性評估中環(huán)境因子算法是基于以下3個(gè)假設(shè)［3］:

1)在不同的應(yīng)力水平下，產(chǎn)品的失效機(jī)理保持不變;

2)在不同的應(yīng)力水平下，產(chǎn)品的壽命分布形式保持不變;

3)相同產(chǎn)品在不同環(huán)境下工作時(shí)，當(dāng)累積失效概率相同時(shí)，則產(chǎn)品內(nèi)在的累積損傷相同。

基于以上假設(shè)，指數(shù)型產(chǎn)品環(huán)境因子的定義［4］如下:指數(shù)型產(chǎn)品較嚴(yán)酷試驗(yàn)環(huán)境設(shè)為環(huán)境1，產(chǎn)品的失效率為λ1;較良好的試驗(yàn)環(huán)境設(shè)為環(huán)境2，產(chǎn)品的失效率為λ2.環(huán)境2 相對于環(huán)境1 的環(huán)境因子K12(以環(huán)境1 為基準(zhǔn))定義為:環(huán)境1 下產(chǎn)品的失效率與環(huán)境2 下產(chǎn)品的失效率之比，即

同理可得環(huán)境1 相對于環(huán)境2 的環(huán)境因子K21(以環(huán)境2 為基準(zhǔn))為K21=λ2/λ1.

顯然環(huán)境因子K12越大，表示環(huán)境2 相對于環(huán)境1 而言，其試驗(yàn)條件越良好;反之，則表示環(huán)境2 的試驗(yàn)條件越嚴(yán)酷。此外，對于指數(shù)型產(chǎn)品，基于環(huán)境因子的可靠性評估中對同母體變環(huán)境、變母體同環(huán)境和變母體變環(huán)境3 種類型的試驗(yàn)數(shù)據(jù)都適用，拓展了指數(shù)型產(chǎn)品環(huán)境因子可靠性評估方法［6］。

1.2 基于F 分布的計(jì)算方法

假定某指數(shù)型產(chǎn)品，在環(huán)境1 中投入n1個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)，結(jié)果為(T1，r1);在環(huán)境2中投入n2個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)，結(jié)果為(T2，r2)，Ti為環(huán)境i 產(chǎn)品累積試驗(yàn)時(shí)間，ri為環(huán)境i產(chǎn)品壽命試驗(yàn)的累積失效次數(shù)，i=1，2.

由定理［7］:設(shè)t1≤t2≤…≤tr是來自指數(shù)分布截尾數(shù)為r 的定數(shù)截尾樣本，則總試驗(yàn)時(shí)間T 服從Γ(r，1/θ)分布，其2/θ 倍服從自由度為2r 的χ2分布:

由此可得:2λ1T1～χ2(2r1)，2λ2T2～χ2(2r2).

由χ2分布和F 分布之間的關(guān)系得

在產(chǎn)后42天，順產(chǎn)的女性生殖系統(tǒng)逐漸恢復(fù)到孕前狀態(tài)，而剖宮產(chǎn)的女性可能在產(chǎn)后8周恢復(fù)。不管剖宮產(chǎn)還是自然分娩，喂奶充分的產(chǎn)婦，恢復(fù)排卵的時(shí)間晚，雌激素水平稍低，陰道黏膜層較薄，宮頸分泌的黏液較少，產(chǎn)后第一次性生活時(shí)，有人感覺干澀或者疼痛，以后逐漸恢復(fù)正常，大部分夫妻感覺性生活質(zhì)量與孕前無變化。

同理:

文獻(xiàn)［6］指出該環(huán)境因子算法存在一定的問題，即小樣本情況下以較良好環(huán)境(環(huán)境2)為基準(zhǔn)環(huán)境得到的環(huán)境因子K 精度較高，而以較嚴(yán)酷環(huán)境(環(huán)境1)為基準(zhǔn)環(huán)境得到的環(huán)境因子精度低。

針對以上問題，分析了基于F 分布的環(huán)境因子算法在大樣本和小樣本情況下的差異。

首先，由分布曲線進(jìn)行直觀分析。假設(shè)以較嚴(yán)酷的環(huán)境1 為基準(zhǔn)環(huán)境，如(4)式所示，定義

得a12K12～F(2r1，2r2).

假設(shè)以較良好環(huán)境2 為基準(zhǔn)環(huán)境，如(5)式所示，定義

得a21K21～F(2r2，2r1).

以下通過實(shí)例數(shù)據(jù)對此進(jìn)一步分析。如圖1和圖2所示，分別給出了大樣本情況下和小樣本情況下aK 的概率密度曲線。比較圖1和圖2可知:在大樣本情況下，將a12K12的分布概率密度曲線，通過坐標(biāo)變換和歸一化處理后與a21K21的分布概率密度曲線接近程度較高;而在小樣本情況下二者卻存在很大差異。進(jìn)而直觀地說明了小樣本情況下，直接應(yīng)用基于F 分布的方法所求得的和并非近似互為倒數(shù)的原因。

圖1 大樣本數(shù)情況下a21K21概率密度曲線Fig.1 The probability density curves in the case of large-scale samples

當(dāng)隨機(jī)變量X 服從非中心參數(shù)δ=0，自由度為(m，n)的F 分布，其概率密度函數(shù)［8］為

圖2 小樣本情況下a21K21概率密度曲線Fig.2 The probability density curves in the case of small-scale samples

其均值［9］為

將指數(shù)型產(chǎn)品壽命試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量a12K12和a21K21分別帶入(6)式得

由(11)式得出，在大樣本(r1?1，r2?1)情況下，×≈1;但在小樣本情況下明顯有×＞1.由此，進(jìn)一步從理論上說明了基于F 分布的環(huán)境因子算法存在的問題。

1.3 計(jì)算方法修正

根據(jù)指數(shù)型產(chǎn)品環(huán)境因子的定義有:K12≥1，K21≤1，以下分析了估計(jì)值和的可信度，假設(shè)成立，則

通過分析，如果T2r1≥T1(r2- 1)成立，則T2(r1-1)≥T1r2不一定成立;反之，如果T2(r1-1)≥T1r2成立，則T2r1≥T1(r2-1)必然成立。

根據(jù)指數(shù)型產(chǎn)品環(huán)境因子的定義可知

但由1.2 節(jié)可知，在小樣本情況下(13)式并不成立，且二者之間存在較大的差值，且由前可知可信程度高于因此，在進(jìn)行兩個(gè)估計(jì)量調(diào)整時(shí)，要根據(jù)二者的可信程度按權(quán)值進(jìn)行相應(yīng)調(diào)整。小樣本情況下，有二者的差值為

2 算例

假設(shè)某指數(shù)型產(chǎn)品分別在較嚴(yán)酷的環(huán)境1 和較良好的環(huán)境2 下進(jìn)行定數(shù)截尾試驗(yàn)，所得試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 某產(chǎn)品定數(shù)截尾試驗(yàn)數(shù)據(jù)Tab.1 Fixed number truncated test of a product

由表1可知T1=1 504 h，r1=8;T2=1 867 h，r2=4.將數(shù)據(jù)帶入(9)式得

將數(shù)據(jù)帶入(10)式，得

由K12和K21互為倒數(shù)，得

表1中的試驗(yàn)數(shù)據(jù)由Matlab 產(chǎn)生，且環(huán)境2 相對于環(huán)境1 的環(huán)境因子理論值為2.5.由此發(fā)現(xiàn)根據(jù)(9)式、(10)式計(jì)算得到的環(huán)境因子誤差較大，且的計(jì)算誤差為32.4%計(jì)算誤差為13.2%，需進(jìn)行進(jìn)一步的修正，同時(shí)也將驗(yàn)證了比可信度高這一結(jié)論。

將修正因子代入(15)式和(16)式中得到修正后的環(huán)境因子估計(jì)值:

3 結(jié)論

本文根據(jù)指數(shù)型產(chǎn)品環(huán)境因子的定義和物理意義，指出基于環(huán)境因子的可靠性數(shù)據(jù)融合方法同樣適用于變母體試驗(yàn)數(shù)據(jù)，從而簡化了變母體試驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理過程，拓展了指數(shù)型產(chǎn)品環(huán)境因子的適用范圍。

在理論分析和仿真結(jié)果的基礎(chǔ)上，指出現(xiàn)有指數(shù)環(huán)境因子計(jì)算方法在處理小樣本數(shù)據(jù)時(shí)存在的缺陷，并給出了修正算法。通過仿真算例驗(yàn)證了修正方法的有效性。該方法彌補(bǔ)了傳統(tǒng)方法在處理小樣本數(shù)據(jù)時(shí)的不足，為解決指數(shù)型產(chǎn)品小樣本、變母體、變環(huán)境可靠性評估問題提供了有效的方法。

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