基于Copula的機(jī)械系統(tǒng)可靠性模型及其應(yīng)用

何成銘，吳緯，孟慶均

(1.裝甲兵工程學(xué)院，北京100072;2.北京特種車輛研究所，北京100072)

0 引言

機(jī)械系統(tǒng)各組成單元及其失效模式之間具有復(fù)雜的相關(guān)性，這是機(jī)械系統(tǒng)區(qū)別于電子系統(tǒng)的顯著標(biāo)志之一，如何精確刻畫這種相關(guān)性是機(jī)械系統(tǒng)可靠性設(shè)計(jì)與分析中亟待解決的關(guān)鍵問(wèn)題之一［1－2］。近年來(lái)，一些學(xué)者在金融、保險(xiǎn)和工程等領(lǐng)域，應(yīng)用連接函數(shù)Copula 探討相關(guān)性，取得了較為滿意的效果［3－5］。文獻(xiàn)［6－9］探討了應(yīng)用Copula 函數(shù)及有關(guān)理論解決機(jī)械系統(tǒng)可靠性中的相關(guān)性問(wèn)題，盡管探討只是初步的，還沒(méi)有達(dá)到實(shí)用的程度，但卻表明Copula 理論在解決機(jī)械系統(tǒng)可靠性相關(guān)性問(wèn)題方面前景十分廣闊。本文在前人工作的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)構(gòu)建了基于Copula 的機(jī)械系統(tǒng)可靠性模型，并將其應(yīng)用于某型裝甲裝備懸掛系統(tǒng)的可靠性預(yù)計(jì)中。

1 理論依據(jù)

Sklar 在1959年指出，可將一個(gè)聯(lián)合分布分解為k 個(gè)邊緣分布和一個(gè)Copula 函數(shù)，這個(gè)Copula 函數(shù)可描述變量之間的相關(guān)性［10］。Copula 函數(shù)實(shí)際上是一類將聯(lián)合分布函數(shù)與它們各自的邊緣分布函數(shù)連接在一起的函數(shù)，因此，也將它稱為連接函數(shù)。

1.1 Copula 函數(shù)的定義與性質(zhì)

用Rn記拓展的n 維空間(n 是任意的正整數(shù))，a=(a1，a2，…，an)表示Rn中的點(diǎn)。對(duì)所有的k，如果都有ak≤bk，就說(shuō)a≤b.對(duì)a≤b，用［a，b］=［a1，b1］×［a2，b2］×…×［an，bn］表示n 維立方體，其體積記為VC(［a，b］).

定義1［11］Copula 函數(shù)是指具有以下性質(zhì)的函數(shù)C(·，…，·):

1)C(·，…，·)的定義域?yàn)镮n，即［0，1］n;

2)對(duì)In中的任意u，若u 中至少一個(gè)分量為0，則C(u)=0，若除uk外，u 中的所有分量都為1，則C(u)=uk;

3)對(duì)In中的a，b(a≤b)，VC(［a，b］)≥0，即C(·，…，·)有基底且是n 增函數(shù)。

定義2［11］若?(u1，u2，…，un)∈In，C1(u1，u2，…，un)≤C2(u1，u2，…，un)，則稱Copula 函數(shù)C1(·，…，·)＜C2(·，…，·)(或C2(·，…，·)＞C1(·，…，·))，記作:C1＜C2(或C2＞C1).

n 維Copula 的Freche－h(huán)oeffding 上、下界分別為

根據(jù)上述定義，可推導(dǎo)出Copula 函數(shù)(簡(jiǎn)記為C)的一些基本性質(zhì)［3］:

1)對(duì)任意變量ui∈［0，1］，i =1，2，…，n，C(u1，u2，…，un)都是非減的;

2)C(u1，u2，…，0，…，un)=0，C(1，…，1，ui，1，…，1)=ui;

3)?ui，vi∈［0，1］，i = 1，2，…，n，均有|C(u1，u2，…，un)－C2(v1，v2，…，vn)|

4)C－＜C ＜C+;

5)若變量ui∈［0，1］，i =1，2，…，n 相互獨(dú)立，則記為C⊥.

1.2 Sklar 定理

定理［10］設(shè)H 是n 維分布函數(shù)，它的邊緣分布為F1(·)，F(xiàn)2(·)，…，F(xiàn)n(·)，那么對(duì)Rn中的所有X，存在一個(gè)n 維Copula C，使得

如果F1(·)，F(xiàn)2(·)，…，F(xiàn)n(·)連續(xù)，則C 是唯一的。否則C 的唯一性在RanF1× RanF2× … ×RanFn上確定。反之，如果C 是n 維Copula，F(xiàn)1(·)，F(xiàn)2(·)，…，F(xiàn)n(·)是分布函數(shù)，那么存在由(1)式定義的n 維分布函數(shù)H，它的邊緣分布為F1(·)，F(xiàn)2(·)，…，F(xiàn)n(·).

推論［6］設(shè)X1，X2，…，Xn是隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別是FX1(x1)，F(xiàn)X2(x2)，…，F(xiàn)Xn(xn)，聯(lián)合分布函數(shù)為H(x1，x2，…，xn)，則存在一個(gè)n 維Copula C，使得(1)式成立。如果F1(x1)，F(xiàn)2(x2)，…，F(xiàn)n(xn)連續(xù)，C 是唯一的。否則C 的唯一性在RanF1×RanF2×…×RanFn上確定。

通過(guò)Copula 函數(shù)C 的密度函數(shù)c 和邊緣分布函數(shù)F1(x1)，F(xiàn)2(x2)，…，F(xiàn)n(xn)，可以方便地求出n 維分布函數(shù)H(x1，x2，…，xn)的密度函數(shù)

式中:ui= Fi(xi);c (u1，u2，…，un) =是邊緣分布Fi(xi)的密度函數(shù)，i=1，2，…，n.

根據(jù)Sklar 定理，利用Copula 函數(shù)，可將邊緣分布和變量之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)分開研究，且降低多變量概率模型建模和分析的難度。

2 基于Copula 的機(jī)械系統(tǒng)可靠性模型

2.1 基于Copula 的串聯(lián)機(jī)械系統(tǒng)可靠性模型

當(dāng)機(jī)械系統(tǒng)由n 個(gè)單元串聯(lián)而成時(shí)，設(shè)第i 個(gè)單元的壽命為Ti，F(xiàn)i(t)為Ti的分布函數(shù)，可靠度為Ri(t)=P(Ti＞t)=1－Fi(t)，i =1，2，…，n，串聯(lián)系統(tǒng)的壽命為T =min (T1，T2，…，Tn)，T1，T2，…，Tn的聯(lián)合分布函數(shù)為H(t1，t2，…，tn)=P{T1≤t1，T2≤t2，…，Tn≤tn}.

由Sklar 定理，存在一個(gè)n 維Copula C，使得H(t1，t2，…，tn)=Cn(F1(t1)，F(xiàn)2(t2)，…，F(xiàn)n(tn))，式中Cn(·)表示n 維Copula C，因?yàn)镕i(t)連續(xù)，所以Cn(F1(t1)，F(xiàn)2(t2)，…，F(xiàn)n(tn))是唯一的。串聯(lián)系統(tǒng)的可靠度為

式中2≤k≤n.

2.2 基于Copula 的并聯(lián)機(jī)械系統(tǒng)可靠性模型

對(duì)于n 個(gè)單元組成的并聯(lián)機(jī)械系統(tǒng)，設(shè)第i 個(gè)單元的壽命為Ti，F(xiàn)i(t)為Ti的分布函數(shù)，可靠度為Ri(t)=P(Ti＞t)=1－Fi(t)，i =1，2，…，n，并聯(lián)系統(tǒng)的壽命為T =max (T1，T2，…，Tn)，T1，T2，…，Tn的聯(lián)合分布函數(shù)為H(t1，t2，…，tn)=P{T1≤t1，T2≤t2，…，Tn≤tn}.

由Sklar 定理知，存在一個(gè)n 維Copula C，使得H(t1，t2，…，tn)=Cn(F1(t1)，F(xiàn)2(t2)，…，F(xiàn)n(tn)).

并聯(lián)系統(tǒng)的可靠度為

當(dāng)各單元之間相互獨(dú)立時(shí)，由

至此，本文就建立了基于Copula 的機(jī)械系統(tǒng)可靠性模型，這樣就可在不研究多維隨機(jī)變量聯(lián)合分布函數(shù)的前提下，通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)腃opula 函數(shù)，來(lái)求解考慮相關(guān)性時(shí)機(jī)械系統(tǒng)的可靠性量值，從而有效解決機(jī)械系統(tǒng)可靠性建模難的問(wèn)題。

3 基于Copula 的機(jī)械系統(tǒng)可靠性模型在可靠性預(yù)計(jì)中的應(yīng)用舉例

利用基于Copula 的機(jī)械系統(tǒng)可靠性模型，通過(guò)構(gòu)造能反映機(jī)械系統(tǒng)各組成單元相關(guān)結(jié)構(gòu)特征的Copula 函數(shù)，以單元壽命為基本輸入(假定各單元壽命分布規(guī)律已知)，可估計(jì)出Copula 模型的參數(shù)，從而預(yù)計(jì)機(jī)械系統(tǒng)的可靠性。下面以某型裝甲車輛懸掛系統(tǒng)為例說(shuō)明基于Copula 的機(jī)械系統(tǒng)可靠性模型在可靠性預(yù)計(jì)中的應(yīng)用。

3.1 問(wèn)題描述

由n 個(gè)單元組成的串聯(lián)機(jī)械系統(tǒng)，第i 單元的壽命為Ti，其分布函數(shù)(故障概率)記為Fi(ti)，可靠度Ri(ti)=1－Fi(ti).已知各單元壽命的一組觀測(cè)值(t1j，t2j，…，tnj)，j=1，2，…，w.試估計(jì)系統(tǒng)可靠度。

由(3)式，有

(5)式中，F(xiàn)i(t)可通過(guò)確定分布類型并估計(jì)其分布參數(shù)得到;先選擇合適的Copula 模型，由Copula 函數(shù)的性質(zhì)，估計(jì)出Cn(F1(t)，F(xiàn)2(t)，…，F(xiàn)n(t))的參數(shù)，令Fj(t)=1，j =ik+1，ik+2，…，n，就可以得到C(Fi1(t)，F(xiàn)i2(t)，…，F(xiàn)ik(t))，1≤i1＜i2＜…＜ik≤n，2≤k≤n.

因而利用基于Copula 的機(jī)械系統(tǒng)模型預(yù)計(jì)系統(tǒng)可靠度的基本步驟為:

1)確定邊緣分布，即單元壽命的分布類型Fi(t)，并估計(jì)其分布參數(shù);

2)選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)腃opula 函數(shù)，使之能夠很好地描述各單元壽命之間的相關(guān)特征;

3)估計(jì)Copula 模型的參數(shù);

4)計(jì)算系統(tǒng)可靠度。

下面對(duì)上述各步驟分別進(jìn)行闡述。

3.2 單元壽命分布類型的確定及其參數(shù)估計(jì)

機(jī)械產(chǎn)品的壽命比較適宜于用威布爾分布來(lái)描述，威布爾分布具有較強(qiáng)的適應(yīng)性，用三參數(shù)威布爾分布擬合機(jī)械產(chǎn)品壽命分布，更加符合實(shí)際，具有顯著的優(yōu)勢(shì)。因此，本文采用三參數(shù)威布爾分布來(lái)描述單元壽命。第i 單元的壽命分布函數(shù)(故障概率)和可靠度分別為

式中γi、mi、ηi分別為第i 單元壽命威布爾分布的位置參數(shù)、形狀參數(shù)和尺度參數(shù)。文獻(xiàn)［12－13］對(duì)三參數(shù)威布爾分布提出了較為實(shí)用的參數(shù)估計(jì)方法。利用該方法可方便地求出3 個(gè)參數(shù)的估計(jì)值

3.3 Copula 模型的構(gòu)建

文獻(xiàn)［14］介紹了常用的Copula 函數(shù)，可根據(jù)需要選擇。鑒于機(jī)械零部件壽命之間的相關(guān)性通常表現(xiàn)為正相關(guān)，同時(shí)考慮到模型參數(shù)估計(jì)和計(jì)算簡(jiǎn)便的要求，本文選用阿基米德Copula 函數(shù)族中的多元Gumbel Copula 函數(shù)。文獻(xiàn)［8］指出Gumbel Copula函數(shù)能夠比較準(zhǔn)確地刻畫機(jī)械系統(tǒng)的相關(guān)性。多元Gumbel Copula 函數(shù)的分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為

式中θ∈(0，1］為相關(guān)系數(shù)，θ=1 表示隨機(jī)變量u1，u2，…，un獨(dú)立，θ→0 表示隨機(jī)變量u1，u2，…，un趨向于完全相關(guān)。

令ui=Fi(ti)=1－e－(ti－γi)mi/ηmi，由(8)式有

再根據(jù)(5)式，系統(tǒng)可靠度為

需要先估計(jì)出(10)式所示Copula 函數(shù)中參數(shù)θ 的值而后令Fj(t)=1，j =ik+1，ik+2，…，n，將和各單元威布爾分布參數(shù)估計(jì)值代入(11)式，即可求解系統(tǒng)可靠度。

3.4 Copula 模型的參數(shù)估計(jì)

本文采用NLP－MLE 方法［12－13］對(duì)(10)式所建立的模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。這里以某型裝甲車輛懸掛系統(tǒng)為例，闡述上述Copula 模型參數(shù)估計(jì)方法。

已知某型裝甲車輛懸掛系統(tǒng)由平衡肘、扭力軸和液壓減振器組成(每臺(tái)裝備上各有10 件)。對(duì)5 臺(tái)裝備進(jìn)行了壽命試驗(yàn)，記錄了各單元的壽命數(shù)據(jù)，如表1～3 所示。

設(shè)扭力軸、平衡肘和液壓減振器的壽命分別為T1、T2、T3，均服從三參數(shù)威布爾分布，分布函數(shù)分別為F1(t1)、F2(t2)、F3(t3)，由(8)式有

由(9)式，可得到三元Gumbel Copula 函數(shù)的密度函數(shù)為

表1 某型裝甲車輛平衡肘的壽命數(shù)據(jù)Tab.1 Elbow balancer’s life data for some type of armored vehicle km

表2 某型裝甲車輛扭力軸的壽命數(shù)據(jù)Tab.2 Torsion bar’s life data for some type of armored vehicle km

表3 某型裝甲車輛液壓減振器的壽命數(shù)據(jù)Tab.3 Hydraulic shock absorber’s life data for some type of armored vehicle km

由(13)式可得到似然函數(shù)為

按照NLP－MLE 方法進(jìn)行Copula 模型參數(shù)估計(jì)，需要先估計(jì)邊緣分布的分布參數(shù)，用NLP－MLE方法，可得到扭力軸、平衡肘和液壓減振器壽命威布爾分布的3 個(gè)參數(shù)，如表4所示。

表4 某型裝甲車輛懸掛系統(tǒng)部件壽命威布爾分布參數(shù)估計(jì)值Tab.4 Weibull distribution parameters estimating result of suspension system for some type of armored vehicle

將表4中的數(shù)值代入(14)式。估計(jì)參數(shù)θ 的實(shí)質(zhì)是尋找使(14)式取得最大值的，即將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如下的非線性規(guī)劃問(wèn)題:Excel的規(guī)劃求解功能，可求得=0.234.

以表1～3 中的數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，利用Microsoft

3.5 預(yù)計(jì)系統(tǒng)可靠度

若要預(yù)計(jì)該懸掛系統(tǒng)在車輛行駛6 000 km 時(shí)的可靠度，將t=6 000 代入(16)式，得R(6 000)=0.532.

若不考慮單元之間的相關(guān)性，懸掛系統(tǒng)在車輛行駛6 000 km 時(shí)的可靠度

液壓減振器是懸掛系統(tǒng)中可靠性最低的單元，其在車輛行駛6 000 km 時(shí)的可靠度

記基于Copula 的系統(tǒng)可靠度為RC(t)，假設(shè)各單元相互獨(dú)立時(shí)的系統(tǒng)可靠度為RI(t)，薄弱環(huán)節(jié)理論對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)可靠度為RW(t)，由上面實(shí)例的計(jì)算結(jié)果，RC(t)= 0.532，RI(t)= 0.425，RW(t)=0.535，則顯然有

這與可靠性界限模型的結(jié)論是一致的，從而也驗(yàn)證了基于Copula 的機(jī)械系統(tǒng)可靠性模型的合理性。

部隊(duì)多年實(shí)際使用數(shù)據(jù)表明，該型裝備懸掛系統(tǒng)行駛6 000 km 的損壞率為48%，相當(dāng)于使用到6 000 km時(shí)懸掛系統(tǒng)的可靠度為0.520，略低于預(yù)計(jì)值0.532，剔除由于人為操作失誤和維修不當(dāng)?shù)纫蛩匾鸬膿p壞，可以認(rèn)為該模型與實(shí)際情況是基本吻合的。這就從理論和實(shí)踐2 個(gè)方面證實(shí)了模型的正確性與合理性。

4 結(jié)論

應(yīng)用Copula 理論進(jìn)行機(jī)械系統(tǒng)可靠性建模及其預(yù)計(jì)，將機(jī)械產(chǎn)品壽命隨機(jī)變量的分布(邊緣分布)和變量的相關(guān)結(jié)構(gòu)分開來(lái)研究，減小了多變量概率模型建模和分析的難度，并使建模和分析過(guò)程更加清晰。機(jī)械系統(tǒng)可靠性中的相關(guān)性問(wèn)題是普遍存在、不能回避的，基于Copula 的機(jī)械系統(tǒng)可靠性模型的提出，為解決機(jī)械系統(tǒng)可靠性建模與預(yù)計(jì)難題提供了科學(xué)實(shí)用的方法。

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