一般非線性離散系統(tǒng)P－D 型迭代學(xué)習(xí)收斂性研究

劉長良，賈萬根

0 引言

迭代學(xué)習(xí)控制 (Iterative Learning Control，ILC)作為學(xué)習(xí)控制的一個(gè)重要研究方向，是智能系統(tǒng)中具有嚴(yán)格數(shù)學(xué)描述的一個(gè)分支。自Arimoto開創(chuàng)性的提出迭代學(xué)習(xí)控制概念以來，研究人員針對(duì)不同類型的對(duì)象［1～6］，提出了形式多樣的迭代學(xué)習(xí)控制律［7～11］，并在一定的前提假設(shè)條件下，利用微積分不等式、Lyapunov 理論、λ 范數(shù)、2 －D 理論等各種數(shù)學(xué)工具，分析得到了收斂性的條件。雖然迭代學(xué)習(xí)控制一直是控制界的研究熱點(diǎn)領(lǐng)域之一，但大多只是針對(duì)一類特定的系統(tǒng)。對(duì)于一般的非線性系統(tǒng)，由于結(jié)構(gòu)、參數(shù)等很不確定而且非線性環(huán)節(jié)的存在使得系統(tǒng)控制器的研究變得復(fù)雜，所以針對(duì)一般的非線性系統(tǒng)的研究成果相對(duì)較少。文獻(xiàn)［12］給出了一般非線性離散系統(tǒng)開環(huán)PID 的迭代學(xué)習(xí)控制收斂性的充分條件及實(shí)現(xiàn)條件，并做了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。然而，理論研究表明［13］:閉環(huán)迭代律的控制性能比開環(huán)控制性能要好，收斂速度也較快。因此，文獻(xiàn)［14］在文獻(xiàn)［12］的基礎(chǔ)上應(yīng)用范數(shù)和歸納法理論，證明了一般非線性離散系統(tǒng)閉環(huán)P 型迭代學(xué)習(xí)控制的收斂性。為了同時(shí)利用系統(tǒng)當(dāng)前運(yùn)行和前次運(yùn)行的信息，以便進(jìn)一步改善控制性能，本文針對(duì)一般的非線性離散系統(tǒng)給出了P-D 型開閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制收斂性的充分條件。

1 問題描述

考慮一般的非線性離散系統(tǒng)

其中，

x(i)∈Rn×1;u(i)∈Rm×1;y∈Rr×1;f，g 為矩陣函數(shù)。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)未知。所要解決的問題是:要求系統(tǒng)在給定的時(shí)間區(qū)間［0，N ］上跟蹤期望輸出yd(i)。假設(shè)期望控制ud(i)存在，即:在給定狀態(tài)初值x (0)下ud(i)是上述方程組的解，則迭代控制的目的是通過多次重復(fù)的運(yùn)動(dòng)，在一定的學(xué)習(xí)律下使

第k 次運(yùn)行時(shí)離散系統(tǒng)表達(dá)式為

輸出誤差為

2 非線性離散的P-D 型開閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)收斂性

取開閉環(huán)P-D 型控制律，即其開環(huán)采用D 型ILC，閉環(huán)采用P 型ILC。

式中:k 為迭代次數(shù);LP(i)為閉環(huán)迭代系數(shù);LD(i)為開環(huán)迭代系數(shù)。

定義1 定義誤差函數(shù)的λ 范數(shù)為

其中，0 ＜λ ＜1。

定理1 如果系統(tǒng)(1)滿足條件:

(1)f，g 是連續(xù)的函數(shù)矩陣。

(2)f，g 關(guān)于x，u 的偏導(dǎo)數(shù)存在，且滿足Lipschitz 條件。記f，g 在第k 次迭代時(shí)關(guān)于x，u的偏導(dǎo)數(shù)分別為fxk，fuk，gxk，guk。

(3)每次學(xué)習(xí)時(shí)的初始狀態(tài)、初始控制量都相同xk(0)=x0，uk(0)=u0。

(4)矩陣(I + gukLP(i))－1存在 (I 為單位陣)。則非線性離散系統(tǒng) (1)采用學(xué)習(xí)律 (4)進(jìn)行迭代學(xué)習(xí)控制，輸出y (i)以任意精度跟蹤期望輸出yd(i)的充分條件為

證明:取第k+1 次迭代時(shí)的誤差函數(shù)

將開閉環(huán)P-D 型迭代學(xué)習(xí)控制律(4)代入上式得

即

由條件(4)

兩邊同乘λi+1，(0 ＜λ ＜1)

兩邊同取范數(shù)，有

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:

當(dāng)i+1 =0 時(shí)，據(jù)定理1 中條件(3)得

假設(shè)當(dāng)i+1 =n 時(shí)，有

成立，則

當(dāng)i+1 =n+1 時(shí)，

因?yàn)? ＜λ ＜1，故

由定理1 的充分條件式(9)、式(16)及上式，有

所以，式(10)，(11)成立，定理得證。

3 仿真實(shí)例

根據(jù)針對(duì)一般非線性離散系統(tǒng)的開閉環(huán)P-D型迭代學(xué)習(xí)控制算法的收斂性證明，為了表明該算法的有效性，特此考慮如下非線性離散系統(tǒng):

應(yīng)用上述開閉環(huán)P-D 型控制律

設(shè)期望輸出

控制律(4)中LP(i)，LD(i)分別取

滿足條件

在初始狀態(tài)為零的條件下，算法(4)跟蹤期望軌跡的仿真結(jié)果如圖1 和圖2 所示。圖1 是算法(4)在第3 和第5 次時(shí)關(guān)于期望軌跡第一分量的跟蹤情況，而圖2 是算法(4)在第3 和第5次時(shí)關(guān)于期望軌跡第二分量的跟蹤情況。從圖1和圖2 可以看出，當(dāng)?shù)? 次迭代時(shí)算法(4)幾乎已經(jīng)能實(shí)現(xiàn)完全跟蹤。從圖3 和圖4 可以很清楚地看出誤差最大值隨迭代次數(shù)的變化情況。

圖4 跟蹤yd2誤差最大值變化曲線Fig．4 Maximum tracking error curve of yd2

4 結(jié)論

針對(duì)一般非線性離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)等很不確定而且非線性環(huán)節(jié)的存在使得系統(tǒng)控制器的研究變得復(fù)雜的特點(diǎn)，在充分利用系統(tǒng)上次和當(dāng)前運(yùn)行得到的信息及閉環(huán)控制效果要優(yōu)于開環(huán)的結(jié)論的條件下，本文給出了對(duì)于一般非線性離散系統(tǒng)的開閉環(huán)P-D 型迭代學(xué)習(xí)收斂的充分條件，仿真結(jié)果表明了該充分條件的正確性。

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