移動質(zhì)量作用下軸向運(yùn)動懸臂梁振動特性分析

劉 寧，楊國來

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094)

火炮射擊時，彈丸在膛內(nèi)高壓燃?xì)獾耐苿酉卵厣砉芟蚺诳诟咚龠\(yùn)動，身管在后坐力的作用下沿?fù)u架后坐，同時伴隨著劇烈的振動，火炮在這種強(qiáng)沖擊載荷作用下的振動控制一直是火炮工程界所關(guān)心的問題?，F(xiàn)代火炮普遍采用具有反后坐裝置的彈性炮架，包括搖架在內(nèi)的架體部分在射擊時保持靜止不動，而身管沿著搖架導(dǎo)軌作軸向后坐和復(fù)進(jìn)運(yùn)動，因此可以把搖架考慮為固定基座，身管的后坐運(yùn)動可簡化為軸向運(yùn)動懸臂梁，而彈丸的運(yùn)動影響可處理為移動質(zhì)量作用于身管，這樣火炮射擊過程可簡化為移動質(zhì)量作用下的軸向運(yùn)動懸臂梁系統(tǒng)，研究該時變系統(tǒng)的動態(tài)特性可以對火炮系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)、振動控制和提高射擊精度提供指導(dǎo)，具有重要的理論價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義。目前，移動載荷作用下梁的振動和軸向運(yùn)動梁的振動控制兩類問題已成為國際上的研究熱點(diǎn)。Michaltsos［1］研究了載荷不同運(yùn)動速度下橋梁的動力響應(yīng);李煒明等［2］對移動質(zhì)量在連續(xù)速度變化下的簡支梁動力響應(yīng)進(jìn)行了研究;王穎澤等［3］研究了多移動質(zhì)量作用下身管的振動;劉寧等［4］研究了彈管間隙和彈丸速度對身管振動的影響;陳力群、楊曉東等［5-6］對軸向運(yùn)動梁和弦線的振動進(jìn)行了分析;李山虎等［7］推導(dǎo)了低速伸展懸臂梁振動方程的近似理論解;Zhu等［8］對軸向運(yùn)動懸臂梁的橫向振動控制進(jìn)行了研究。

本文建立了移動載荷作用下軸向運(yùn)動懸臂梁的振動方程，采用修正的Galerkin法離散求解該偏微分方程，得到以模態(tài)坐標(biāo)表示的二階時變微分方程組，通過求解該方程組，研究了梁的動態(tài)響應(yīng)特性。

1 軸向運(yùn)動梁橫向振動方程

將火炮射擊時身管的運(yùn)動簡化為具有軸向運(yùn)動的懸臂梁，將彈丸簡化為作用在該梁上的移動質(zhì)量載荷。采用Euler-Bernoulli梁模型建立軸向運(yùn)動梁的橫向振動方程。設(shè)懸臂梁長l(t)，梁的橫截面積和材料密度為A(x)和ρ，抗彎剛度為EI，梁的橫向位移為y(x，t)，軸向運(yùn)動速度為u，移動質(zhì)量為m，運(yùn)動速度為v，質(zhì)量塊距離固定端的位移為γ，如圖1所示。

圖1 移動質(zhì)量-軸向運(yùn)動梁振動力學(xué)模型Fig.1 Vibration model of moving mass and axially moving beam

從距離懸臂梁固定端x處取一微段dx進(jìn)行受力分析，所受的力包括內(nèi)力、慣性力以及外力，如圖2所示。

圖2 梁微元體受力分析Fig.2 The analysis of force of beam element

根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，微段應(yīng)處于動平衡狀態(tài)，列出微段在豎直方向力的平衡方程，得:

化簡得:

對微段右斷面梁的下表面取矩，得:

化簡得:

其中，

均布外力q可由移動質(zhì)量在豎直方向的受力分析得出:

其中，

2 振動方程的求解

在移動質(zhì)量作用下的軸向運(yùn)動梁振動模型是一個復(fù)雜的時變系統(tǒng)，對于該復(fù)雜模型直接進(jìn)行解析求解或采用積分的方法進(jìn)行數(shù)值求解都是極其困難的。一般靜止梁的偏微分方程可以利用Galerkin法計(jì)算動力響應(yīng)，得到以模態(tài)坐標(biāo)表示的解耦方程，計(jì)算每個模態(tài)響應(yīng)，而后疊加得到總響應(yīng)。但是對于時變系統(tǒng)，梁的固有頻率和振型就失去意義。本文采用修正的Galerkin法近似求解該時變模型，取懸臂梁的瞬時模態(tài)作為試函數(shù)，方程(5)的解可表示為如下形式:

其中，λi為超越方程1+ch(λ)·cos(λ)=0的根。將式(7)寫成向量的形式:

將式(8)帶入方程(5)，兩邊同乘φ(ξ)，并對梁全長l(t)積分。為方便求積，將對x積分轉(zhuǎn)化為對ξ積分，最后按η整理得:

式中，M為質(zhì)量矩陣，C為阻尼矩陣，K為剛度矩陣，P為載荷向量，各系數(shù)矩陣表達(dá)式為:

由方程(9)可知，與固定懸臂梁相比，軸向運(yùn)動梁的伸縮運(yùn)動和移動質(zhì)量載荷的作用將使得梁的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣都隨時間不斷變化，因此方程表示的是二階時變系統(tǒng)，梁長度的變化和移動質(zhì)量的運(yùn)動是產(chǎn)生系統(tǒng)時變特性的主要因素。通過求解出方程(9)的η值后，將其帶回式(8)便可得到y(tǒng)(x，t)的時空分布規(guī)律。

直接積分求解方程(9)的數(shù)值方法主要有:Runge-Kutta法，有限差分法、Newmark-β法，Wilson-θ 法、增量法等，其中Newmark-β法實(shí)質(zhì)是線性加速度法的推廣，求解精度較高，應(yīng)用廣泛，本文采用該方法計(jì)算軸向運(yùn)動梁的動力響應(yīng)。

3 數(shù)值仿真

固定懸臂梁在移動質(zhì)量載荷作用下的動態(tài)響應(yīng)實(shí)驗(yàn)已經(jīng)完成，而軸向運(yùn)動梁的動態(tài)響應(yīng)實(shí)驗(yàn)尚在準(zhǔn)備之中，為了驗(yàn)證振動方程求解方法及程序的可靠性，用兩種算例進(jìn)行檢驗(yàn)，即不考慮移動載荷作用下的軸向運(yùn)動梁動態(tài)響應(yīng)和不考慮軸向運(yùn)動的固定梁在移動載荷作用下的動態(tài)響應(yīng)。

首先選擇文獻(xiàn)［7］的算例進(jìn)行驗(yàn)證，考慮一軸向水平伸展懸臂梁，梁的初始長度為0.4 m，以0.1 m/s的速度勻速伸出，展開后梁的總長度為2.4 m，梁的厚度為0.001 m，寬度為0.1 m，質(zhì)量密度為2 700 kg/m3，彈性模量為 7.1 ×1010，初始條件為η(0)=［0.01，0，…，0］T，計(jì)算懸臂梁的動力響應(yīng)。圖3為梁自由振動時端部位移響應(yīng)，可以看出本文得到的結(jié)果與文獻(xiàn)［7］是相同的。在懸臂梁伸展過程中，隨著梁長度的增加，振幅逐漸增大，而瞬時振動頻率逐漸下降。

圖3 無外載荷時端部橫向位移響應(yīng)Fig.3 Transverse displacement of the beam’s top without external load

其次，作者進(jìn)行了移動載荷作用下固定梁的動態(tài)響應(yīng)實(shí)驗(yàn)，用以對上述模型和程序進(jìn)行驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)參數(shù)為:梁長L0=1.5 m，截面積A=0.004 55 m2，截面慣性矩I=1.65 ×10-6m4，彈性模量E=210 GPa，ρ=7 800 kg/m3，滑塊質(zhì)量m=17.96 kg，用高壓氮?dú)鉀_擊沖桿，沖桿撞擊滑塊并賦予滑塊初速vg=5 m/s，不計(jì)滑塊與梁之間的摩擦力，滑塊在梁上勻速運(yùn)動。計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)曲線的對比如圖4所示，由圖可見，計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值吻合較好，說明本文給出的方法和計(jì)算程序是正確的。在移動載荷作用下梁的振動主要是一階模態(tài)受到激發(fā)，位移響應(yīng)單調(diào)變化。移動質(zhì)量的大小決定了梁受到的激勵載荷的大小，移動質(zhì)量越大，梁的振動位移越大。

圖4 固定懸臂梁端部位移響應(yīng)Fig.4 Transverse displacement of the fixed beam’s top

在上述實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上研究移動載荷作用下軸向伸縮運(yùn)動梁的動態(tài)特性。先假設(shè)梁作軸向勻速收縮運(yùn)動，速度為u=-1 m/s，運(yùn)動終了時梁長l=1 m，由式(8)可得梁端部的位移響應(yīng)如圖5所示，通過位移響應(yīng)對時間求導(dǎo)可得梁端部速度響應(yīng)如圖6所示。由圖可知，梁的運(yùn)動過程可分為兩個階段，在移動質(zhì)量作用時期，由于梁的收縮運(yùn)動，端部位移響應(yīng)比固定梁要小。移動質(zhì)量在0.25 s以后脫離懸臂梁，梁處于軸向運(yùn)動的自由振動時期，端部位移振幅逐漸衰減，而速度振動幅值卻逐漸增大。為了觀察梁的運(yùn)動穩(wěn)定性，通過對梁長進(jìn)行積分，計(jì)算了梁的橫向振動總機(jī)械能，如圖7所示，由圖可見，移動質(zhì)量的作用使得梁的振動機(jī)械能迅速增大，梁的運(yùn)動變得不穩(wěn)定，而在自由振動時期雖然梁的端部位移振幅逐漸減小，但其總機(jī)械能卻不斷增大，因此在收縮運(yùn)動時梁的自由振動處于不穩(wěn)定狀態(tài)，這也驗(yàn)證了文獻(xiàn)［7］近似理論分析結(jié)果的正確性。

進(jìn)一步研究梁作伸展運(yùn)動時的響應(yīng)特性，設(shè)梁伸展速度為u=1 m/s，其端部位移響應(yīng)和速度響應(yīng)曲線分別如圖8和圖9所示。由圖可見，由于梁的伸展運(yùn)動，其振幅在整個運(yùn)動過程中都比收縮運(yùn)動時要大很多，移動質(zhì)量脫離懸臂梁后，梁的端部位移響應(yīng)逐漸增大，而振動速度幅值卻逐漸減小，運(yùn)動規(guī)律與梁收縮運(yùn)動時恰好相反。由圖10所示的梁伸展運(yùn)動時總機(jī)械能可見，移動質(zhì)量的作用仍然使得梁的運(yùn)動變得不穩(wěn)定，但在梁伸展運(yùn)動的自由振動時期，其總機(jī)械能逐漸減小，因此梁的自由振動處于穩(wěn)定狀態(tài)。

4 結(jié)論

移動質(zhì)量載荷作用下的軸向運(yùn)動梁是一類時變結(jié)構(gòu)的非線性系統(tǒng)，移動質(zhì)量載荷和梁的軸向運(yùn)動是引起系統(tǒng)時變特性的因素，采用修正的Galerkin法能夠?qū)崿F(xiàn)對振動方程的離散求解。移動質(zhì)量載荷使得梁的一階模態(tài)受到激勵，梁的位移響應(yīng)曲線單調(diào)變化，移動質(zhì)量越大、運(yùn)動速度越小，梁的振動位移越大，在移動質(zhì)量作用下梁的伸縮運(yùn)動都處于不穩(wěn)定狀態(tài)。梁在軸向收縮和伸展時的自由振動規(guī)律相反:在收縮運(yùn)動時梁的瞬時振動頻率不斷減小，振動位移逐漸衰減，而振動速度逐漸增大，梁的運(yùn)動處于不穩(wěn)定狀態(tài);在伸展運(yùn)動時梁的瞬時振動頻率不斷增大，振動位移逐漸增大，而振動速度逐漸減小，梁的運(yùn)動處于穩(wěn)定狀態(tài)。本文得到了移動質(zhì)量載荷作用下軸向運(yùn)動懸臂梁的基本振動規(guī)律，為研究火炮射擊過程中的振動特性提供了另一條理論途徑。在實(shí)際工程中為了減小火炮射擊過程的振動響應(yīng)，提高火炮射擊精度，需要進(jìn)一步研究和明確彈炮系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)匹配、火炮后坐復(fù)進(jìn)運(yùn)動規(guī)律和后坐阻力等對火炮振動的影響規(guī)律。

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