分離式霍普金森壓桿試驗中工程材料端面摩擦模型的確定

盧玉斌，宋丹路，李慶明，孟 輝

（1.西南科技大學 制造過程測試技術(shù)教育部重點實驗室，四川 綿陽 621010；2.曼徹斯特大學 機械、航空與民用工程學院，曼徹斯特 M60 1QD；3.武漢市建筑工程質(zhì)量監(jiān)督站，武漢 430015）

基于分離式霍普金森壓桿（SHPB）技術(shù)的動態(tài)壓縮試驗是目前用于確定工程材料（如金屬、混凝土類材料、塑料）在高應(yīng)變率下動態(tài)壓縮響應(yīng)應(yīng)變率效應(yīng)最流行的試驗手段。SHPB技術(shù)已于2006年被美國ASME（American society of mechanical engineers）協(xié)會命名為工程學上具有歷史意義的里程碑式的技術(shù)。由最廣泛的工程學數(shù)據(jù)庫（Engineering Village）查詢得知自1949年開始已至少發(fā)表了2 500多篇與SHPB試驗相關(guān)的文章，由 Engineering Village和 SCI（Science Citation Index）得知自1980年左右在SHPB試驗方面發(fā)表的文章數(shù)量劇增，如圖1所示。然而值得注意的是可靠的SHPB試驗應(yīng)能給出材料的一維應(yīng)力應(yīng)變曲線，這就要求SHPB試樣內(nèi)應(yīng)滿足一維應(yīng)力傳播和應(yīng)力均勻兩個基本假定。然而，這兩個基本假定在一些SHPB試驗中無法滿足，那么由非應(yīng)變率效應(yīng)引起的動態(tài)壓縮應(yīng)力增強便不能被混為SHPB試驗中的真實應(yīng)變率效應(yīng)（即由應(yīng)變率效應(yīng)本身引起的動態(tài)壓縮應(yīng)力增強）。SHPB試驗中試樣與壓桿接觸界面間的端面摩擦效應(yīng)破壞了SHPB試樣的局部一維應(yīng)力狀態(tài)，導致SHPB試驗結(jié)果不能正確反映材料的一維應(yīng)力本構(gòu)關(guān)系［1－5］。因此，端面摩擦效應(yīng)是SHPB試驗中主要的非應(yīng)變率效應(yīng)之一，建立適當?shù)亩嗣婺Σ聊Ｐ蛯τ跍蚀_確定工程材料的動態(tài)壓縮性能至關(guān)重要。本文建立了能很好地擬合動摩擦試驗結(jié)果的端面動摩擦模型，為基于數(shù)值模擬對SHPB試驗結(jié)果進行評估和修正時考慮端面摩擦效應(yīng)奠定了基礎(chǔ)。

1 實驗部分

SHPB試驗中壓桿與試樣接觸界面間的端面摩擦會限制試樣的側(cè)向流動，因而在SHPB試樣中引起側(cè)向圍壓從而產(chǎn)生一個復雜的三軸應(yīng)力狀態(tài)而偏離一維應(yīng)力狀態(tài)，這將直接影響 SHPB試驗的測量結(jié)果［4］。Bertholf和Karnes［1］發(fā)現(xiàn)由端面摩擦產(chǎn)生的這種誤差常常會被錯誤地歸結(jié)到材料動力學響應(yīng)的應(yīng)變率效應(yīng)中。因此，準確理解端面摩擦效應(yīng)對SHPB試驗得到的工程材料動態(tài)壓縮性能的影響對于準確確定工程材料的動力學特性至關(guān)重要［6－8］。

圖1 自1940年到2009年每10年發(fā)表的與使用SHPB試驗獲得工程材料高應(yīng)變率下力學性能相關(guān)的文章總數(shù)的統(tǒng)計Fig.1 Estimation of the total number of papers published in each decade between 1940 and 2009 where an SHPB test was used to obtain the high strain-rate mechanical properties of engineering materials

在接觸問題的數(shù)值模擬中，庫倫摩擦定律是一種廣泛采用的模型：

其中σt是單位面積上的切向摩擦力；σn是接觸面上的法向壓力；μ為摩擦系數(shù)，在過去許多的SHPB試驗的數(shù)值模擬中（如文獻［1，5］），μ均被取為定值。

實際上，摩擦系數(shù)并非定值，而是依賴于接觸面間的相對滑動速度。動摩擦系數(shù)通常都小于靜摩擦系數(shù)。在SHPB試驗中，當假定試樣具有塑性不可壓縮性，試樣與壓桿端部接觸面間的最大徑向相對滑動速度Vr可按下式估算：

其中d0為試樣初始直徑；和εz為工程軸向應(yīng)變率和應(yīng)變。以d0=74 mm的砂漿試樣為例，圖2給出了在SHPB試驗中的不同應(yīng)變率下Vr隨應(yīng)變的變化關(guān)系。由圖2可知，對于一個通常的砂漿試樣SHPB試驗，當工程應(yīng)變在0.035以下時，Vr的范圍為0.62 m/s到12 m/s。

圖2 Vr隨在砂漿試樣SHPB試驗中不同軸向應(yīng)變率下可達到的工程軸向應(yīng)變間的變化關(guān)系Fig.2 Variation of Vrwith engineering axial strain εzwhich can be attained under various axial strain-rates during an SHPB test on mortar specimens

在這一速度范圍內(nèi)，Stribeck曲線［9］可用于描述摩擦系數(shù)與Vr間的變化關(guān)系。當Vr=0時，摩擦系數(shù)的值最高（此時即為靜摩擦系數(shù)μs），然后隨著Vr的微小增加動摩擦系數(shù)迅速降低到最小值，隨后又隨著Vr的繼續(xù)增加動摩擦系數(shù)開始緩慢提高，這與文獻［10－11］中給出的用一個指數(shù)曲線來描述動摩擦系數(shù)與Vr間的關(guān)系不同（即隨著Vr的增加動摩擦系數(shù)持續(xù)降低）。表面粗糙度以及潤滑方式等均會影響動摩擦系數(shù)與Vr間的關(guān)系，關(guān)于這方面的進一步討論可參考文獻［12－14］。

美國ASLE（American society for lubrication engineers）協(xié)會于20世紀60年代總結(jié)了當時已具備的摩擦試驗測試裝置達200多種，且該數(shù)量仍在繼續(xù)增多。然而，這些摩擦試驗測試裝置所能達到的相對滑動速度僅局限于 2.5 mm/s到 2.54 m/s范圍內(nèi)［15］。SHPB技術(shù)也被用于測試沖擊加載條件下材料間的摩擦系數(shù)［16－22］。然而，利用上述這些裝置獲得一個較寬范圍內(nèi)相對滑動速度對動摩擦系數(shù)的影響關(guān)系卻很困難。因此，我們將測量不同相對滑動速度下動摩擦系數(shù)，用于建構(gòu)端面動摩擦模型。Meng［15］設(shè)計了一套由滑軌、試樣和測試儀器構(gòu)成的簡單裝置（如圖3所示）用于測量相對滑動速度在10 m/s以內(nèi)的動摩擦系數(shù)。嵌有電子設(shè)備的陶瓷基高精度電容式加速計用于測量加速度。接觸面上采用Shell Helix Super潤滑油用于模擬SHPB試驗中試樣與壓桿間的摩擦狀況。試樣由滑軌頂端滑下。

圖4為該裝置中試樣的受力分析，其中f（t）為動摩擦力，F(xiàn)1和F2為重力分量，θ是滑軌的傾角，g是重力加速度，Vr（t）和a（t）分別為試樣與不銹鋼滑軌接觸界面間的最大徑向相對滑動速度與試樣的加速度?；谂ｎD第二定律可得：

即：

因此，動摩擦系數(shù)μd（t）為：

使用加速度歷史數(shù)據(jù)a（t）可得t時刻的Vr（t）為：

2 結(jié)果與討論

我們進行了一系列的試驗用于構(gòu)建工程材料試樣與鋼的接觸界面間的端面動摩擦模型，本文選取了鋁合金（Aluminum alloy）、聚碳酸酯（Polycarbonate，PC）、混凝土（Concrete）以及砂漿（Mortar）等典型工程材料作為代表。結(jié)果如圖5所示，縱軸μd/μs為動摩擦系數(shù)與靜摩擦系數(shù)的比值，橫軸為試樣與砧座接觸界面間的Vr。由于需要建立一個簡單的端面摩擦模型來描述試驗結(jié)果從而可方便地在數(shù)值模擬中考慮端面摩擦效應(yīng)，我們提出下式所述的一個表達式對試驗結(jié)果進行擬合：

圖3 動摩擦試驗測試裝置Fig.3 Test apparatus

其中P1－P4為從試驗結(jié)果中擬合得到的常數(shù)，如表1所示；當Vr=0時μd/μs=1。由圖5可知，本文提出的式（4）與Meng［15］中給出的雙線性表達式相比能夠更好地擬合試驗數(shù)據(jù)。而且式（4）在數(shù)值模擬中也可方便地實現(xiàn)。

本文的動摩擦試驗達到的最大徑向相對滑動速度為4.6 m/s，這可涵蓋典型工程材料試樣SHPB試驗中所能達到的徑向相對滑動速度的范圍。因為式（2）是基于SHPB試樣的塑性不可壓縮性假設(shè)以及忽略了壓桿材料的泊松效應(yīng)而得到的，當考慮SHPB試樣的彈性變形以及壓桿的側(cè)向位移時，SHPB試樣與壓桿接觸界面間的徑向相對滑動速度將比由式（2）估算得到的值要低。此外，有學者針對橡膠［23－24］、紙［25］、巖石［26］、冰［27］等材料的摩擦系數(shù)研究指出除了滑動速度之外法向壓力也會影響滑動摩擦系數(shù)，然而他們所采用的摩擦試驗裝置與本文完全不同。而且基于式（5）和圖5的結(jié)果可知，雖然在我們的試驗中法向壓力的量值均在既是幾十kPa與SHPB試驗中試樣與壓桿間的正壓力在幾十到幾百MPa相差甚遠，但法向壓力對本文所研究的滑動摩擦系數(shù)的影響可以忽略。

圖4 試樣的受力分析Fig.4 The force analysis of the specimen

表1 式（7）中的常數(shù)［15］Tab.1 Constants in Eq.（7）

3 結(jié)論

（1）本文利用Meng［15］設(shè)計的動摩擦試驗裝置得到的鋁合金、PC、混凝土及砂漿材料與不銹鋼滑軌之間的動摩擦系數(shù)測試結(jié)果有一定的分散性，動摩擦系數(shù)與最大徑向相對滑動速度間的關(guān)系曲線存在抖動，但均可由本文提出的端面動摩擦模型式（4）很好地擬合。

圖5 基于（a）和（b）鋁合金試樣（如 A1－#和A2－#，其中#（1，2，3）、（c）和（d）PC 試樣（如P1－#和 P2－#，其中#（1，2，3）、（e）和（f）混凝土試樣（如C1－#和C2－#，其中#（1，2，3）以及（g）和（h）砂漿試樣（如M1－#和M2－#，其中#（1，2，3）在不同的法向應(yīng)力和傾角下的重復動摩擦試驗得到的μd/μs隨Vr變化的試驗曲線以及由這些試驗曲線擬合得到的曲線Fig.5 Variations of μd/μswith Vrbased on repeat kinetic friction tests for（a）and（b）aluminium － alloy specimens（i.e.A1 － #and A2－#where#（1，2，3），for（c）and（d）PC specimens（i.e.P1－#and P2－#where#（1，2，3），for（e）and（f）concrete specimens（i.e.C1－#and C2 －#where#（1，2，3），and for（g）and（h）mortar specimens（i.e.M1 －#and M2 －#where#（1，2，3），under different normal stresses and slope angles，and fitted curves of these variations

（2）SHPB試樣與壓桿接觸界面間的端面摩擦效應(yīng)是SHPB試驗結(jié)果產(chǎn)生誤差的影響因素之一，因此通過數(shù)值模擬對SHPB試驗結(jié)果進行評估和修正時應(yīng)考慮端面摩擦效應(yīng)的影響。在以往的數(shù)值模擬中，定摩擦系數(shù)模型因其形式簡單而被廣泛采用。本文基于端面動摩擦試驗得到了一個可容易納入SHPB試驗數(shù)值模擬的端面動摩擦模型。因此，有必要基于本文的研究成果對更多工程材料開展動摩擦試驗，從而在這些工程材料的SHPB試驗結(jié)果的評估和修正程序中采用它們的端面動摩擦模型。

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