地下結(jié)構(gòu)波動法與振動法的對比

高 峰，孫常新，2，趙馮兵

(1.重慶交通大學(xué)山區(qū)橋梁與隧道國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室培育基地，重慶 400074;

2.華北水利水電學(xué)院，河南鄭州 450011;3.重慶能源職業(yè)學(xué)院，重慶 400041)

地下結(jié)構(gòu)波動法與振動法的對比

高 峰1，孫常新1，2，趙馮兵3

(1.重慶交通大學(xué)山區(qū)橋梁與隧道國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室培育基地，重慶 400074;

2.華北水利水電學(xué)院，河南鄭州 450011;3.重慶能源職業(yè)學(xué)院，重慶 400041)

介紹了波動法和振動法的計(jì)算原理和使用方法，用這兩種方法計(jì)算人工地震波，分析兩種方法的區(qū)別。結(jié)果表明:波動法和振動法的計(jì)算數(shù)值和變化規(guī)律基本一致;波動法可以反映波動傳播的時(shí)間效應(yīng)，振動法不能反映波動傳播的時(shí)間效應(yīng)，但振動法計(jì)算步驟簡便，精度可以滿足要求;建議在地下結(jié)構(gòu)動力分析中使用振動法。

波動法;振動法;計(jì)算原理;地震波;人工邊界條件

0 引言

近年來，隨著在地震中地下結(jié)構(gòu)的大量損壞和計(jì)算手段的快速發(fā)展，地下結(jié)構(gòu)的地震計(jì)算方法引起了人們的重視并獲得快速發(fā)展。地下結(jié)構(gòu)地震時(shí)程分析的常用方法主要有兩種:一種是以求解波動方程為基礎(chǔ)的波動法，另一種是以求解結(jié)構(gòu)運(yùn)動方程為基礎(chǔ)的振動法。波動法將地下結(jié)構(gòu)與其周圍地層介質(zhì)作為一個整體來進(jìn)行分析，假定地下結(jié)構(gòu)的存在對波動場的影響可以忽略不計(jì)，按波動方程求解地下結(jié)構(gòu)與其周圍介質(zhì)中的波動場和應(yīng)力場;振動法以結(jié)構(gòu)為主體求解其地震運(yùn)動，將地震作用以地震加速度形成的慣性力形式施加到結(jié)構(gòu)上，建立地下結(jié)構(gòu)的地震運(yùn)動方程，按運(yùn)動方程求解地下結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)［1］。

當(dāng)前，使用波動法進(jìn)行地下結(jié)構(gòu)計(jì)算分析主要研究成果有:Pao和Mow［2］采用波函數(shù)展開法開創(chuàng)性地研究了無限空間中單個洞室在彈性波入射下的動應(yīng)力集中問題;20世紀(jì)90年代，Lee和Karl［3］采用大圓弧假定法給出了半空間中單個洞室對P波和SV波的散射解析;梁建文，等［4］用大圓弧假定法分析研究了半空間中雙洞室對P波和SV波的散射并得出解析解;黃艷，等［5］基于波動控制方程研究了以任意方向入射的平面SH波在淺埋多個圓孔處的散射與地震動問題;劉晶波，等［6］應(yīng)用彈性波動理論，發(fā)展了實(shí)現(xiàn)波動直接模擬的三維時(shí)域黏彈性人工邊界，可以方便地應(yīng)用于三維波動問題的模擬分析;潘旦光，等［7］將波動理論和隨機(jī)振動理論結(jié)合起來，提出了P波和SV波作用下層狀土層地震反應(yīng)分析的隨機(jī)波動分析方法;黃勝，等［8］基于無限元人工邊界的合理地震動輸入方法，考慮到地層的輻射阻尼和地震波在地層中的反射和散射，采用波場分解的方法給出地震波從底面垂直入射時(shí)不同邊界面上的等效地震荷載的計(jì)算公式。振動法是動力計(jì)算較常用的方法，近年來的主要研究成果有:李輝，等［9］基于振動法推證出以地表地震動作為輸入的自由地基地震反應(yīng)分析模型;劉如山，等［10］基于振動法從地震時(shí)一維土層反應(yīng)應(yīng)力入手，對有限元反應(yīng)加速度法的地震荷載加載方法進(jìn)行改進(jìn)，提出了有限元反應(yīng)應(yīng)力法;胡世麗，等［11］從概念、建立方程、求解方程和適用范圍多個方面闡述了波動和振動的區(qū)別和聯(lián)系。

當(dāng)前，波動法和振動法應(yīng)用于地下結(jié)構(gòu)地震分析已比較成熟，并取得了不少成果。但是兩種方法有何區(qū)別，至今未見到相關(guān)文獻(xiàn)。筆者將兩種方法進(jìn)行了對比研究，得出了具有一定應(yīng)用價(jià)值的結(jié)論。

1 計(jì)算原理與方法

波動法和振動法用于地下結(jié)構(gòu)地震時(shí)程分析時(shí)的出發(fā)點(diǎn)不同，兩者的計(jì)算原理和使用方法有所不同，各具特點(diǎn)。

1.1 波動法計(jì)算原理

20世紀(jì)70年代，前蘇聯(lián)的烏茲別克、格魯吉亞等對深埋隧道采用了彈性波動理論擬靜力法進(jìn)行計(jì)算，出現(xiàn)了連續(xù)介質(zhì)彈性力學(xué)法［12］，現(xiàn)行的波動法正是在此基礎(chǔ)上發(fā)展而來的。

波動法中波動輸入方式主要有兩種:①直接在人工邊界上實(shí)現(xiàn)波動輸入，通過對人工邊界和內(nèi)結(jié)點(diǎn)波動的反復(fù)疊加或減去已知的自由波場的方法完成波動輸入［13］，主要在解析計(jì)算中使用，稱之為波動(解析)法;②將人工邊界上的自由場位移作為時(shí)變外荷載輸入，主要在數(shù)值計(jì)算中使用，稱之為波動(數(shù)值)法。自由場位移可以由初始數(shù)據(jù)得到，相當(dāng)于將波動輸入問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)源問題進(jìn)行求解分析。

1.1.1 波動(解析)法

波動(解析)法是對波動物理過程的模擬［14］。為說明問題，針對圖1的簡單人工地震波動(波速為c)進(jìn)行計(jì)算分析。

圖1 人工地震波v(t)時(shí)程Fig.1 Artificial seismic wave schedule of v(t)

圖2 波動法計(jì)算示意(P波)Fig.2 Calculation of wave method(P wave)

對圖2中的矩形計(jì)算區(qū)域(高H)，設(shè)v(t)于t=0時(shí)刻由底部輸入向上傳播，在時(shí)刻t=H/c時(shí)上行波到達(dá)自由頂面，由此產(chǎn)生一個反射波，此下行波為上行入射波的鏡面映像。當(dāng)下行波在t=2H/c時(shí)刻到達(dá)基底時(shí)，完成了波動過程的第一個循環(huán)。然后，由于基底采用的是黏彈性邊界，到達(dá)基底的下行波將被完全吸收，波動循環(huán)完成。設(shè)波動在傳播過程中沒有能量損失，則在波動循環(huán)中陸續(xù)增加的反射波動如式(1):

式中:z為計(jì)算點(diǎn)到基底的豎直距離，m。

由式(1)即可求得計(jì)算區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的波動位移，從而可以得到計(jì)算區(qū)域內(nèi)的波動場。由位移公式求導(dǎo)可得到速度場，由速度公式求導(dǎo)可得到加速度場，即可對波動場中的地下結(jié)構(gòu)進(jìn)行波動求解。

圖3為由波動法計(jì)算得到的計(jì)算區(qū)域內(nèi)的波動場。

圖3 不同深度處v(t)時(shí)程曲線Fig.3 Different depths schedule curve of v(t)

由圖3可知:上行波傳到頂面時(shí)v(t)變?yōu)樵鹊膬杀?不同深度處的v(t)不僅振幅不同，在相位上也有所區(qū)別。這些情況與波動理論相符。波動(解析)法是基于波動基本理論的通用方法，計(jì)算結(jié)果精確可信，但在有限元計(jì)算分析中使用不方便，具體有限元計(jì)算中常采用波動(數(shù)值)法。

1.1.2 波動(數(shù)值)法

波動(數(shù)值)法是依據(jù)波動場，將輸入波動轉(zhuǎn)化為直接作用在人工邊界上的等效荷載來實(shí)現(xiàn)波動輸入，即把波動作用轉(zhuǎn)換成人工邊界節(jié)點(diǎn)作用力來實(shí)現(xiàn)波動的模擬。波動(數(shù)值)法方便地運(yùn)用于有限元數(shù)值計(jì)算分析中。有限元分析必定是針對有限范圍計(jì)算區(qū)域的計(jì)算，這就需要在半無限地下空間中截取有限的計(jì)算區(qū)域出來，截取的邊界上要采用人工邊界以模擬無限邊界條件，目前常用的是黏彈性人工邊界。

對于平面內(nèi)的柱面波(以P波為例)，其波動方程可以表示為:

式中:g為任意函數(shù)。

經(jīng)推導(dǎo)，可得任一半徑rb處的應(yīng)力，可用該處的速度和位移表示:

為實(shí)現(xiàn)波動輸入，在人工邊界上施加總應(yīng)力σZ，采用力學(xué)中分離隔離體概念［15］，將人工邊界與附加其上的物理元件脫離，則總應(yīng)力σZ包括對邊界施加的應(yīng)力σ0，使人工邊界上的節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生位移為v0的運(yùn)動，和對物理元件上施加應(yīng)力σ1(σ1=-σ)，使物理元件上的節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生位移為v0的運(yùn)動，即:

由式(8)可推導(dǎo)出需要在人工邊界節(jié)點(diǎn)處施加的等效節(jié)點(diǎn)荷載的計(jì)算公式，進(jìn)而可以在地下結(jié)構(gòu)上施加等效節(jié)點(diǎn)荷載進(jìn)行有限元計(jì)算，完成地下結(jié)構(gòu)在地震荷載作用下的動力時(shí)程分析。

1.2 振動法計(jì)算原理

振動法是當(dāng)前地下結(jié)構(gòu)動力時(shí)程分析的通用方法，1900年日本大森房吉教授提出了計(jì)算地震荷載的靜力理論［16］，假定地震時(shí)結(jié)構(gòu)各部分都有一個與地震加速度大小相同的加速度，作用于結(jié)構(gòu)上的水平地震力等于結(jié)構(gòu)自重乘以某一地震系數(shù)來計(jì)算結(jié)構(gòu)的變形與內(nèi)力(地震系數(shù)法)。該方法簡單方便，且經(jīng)受過一般地震的考驗(yàn)，許多國家的抗震設(shè)計(jì)規(guī)范都采用過。我國地下結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計(jì)20世紀(jì)60年代以來沿用地震系數(shù)法，至今仍為隧道設(shè)計(jì)規(guī)程所采用。現(xiàn)行的振動法正是在此基礎(chǔ)上發(fā)展而來的。

結(jié)構(gòu)體系承受相同的平動運(yùn)動的地震反應(yīng)體系的運(yùn)動方程為［17］:

式中:上標(biāo)t表示總位移。

式(9)表示，引起體系動力反應(yīng)的有效地震力依賴于總運(yùn)動慣性力，而阻尼力和彈性力只依賴于相對運(yùn)動。

若阻尼力和彈性力用總運(yùn)動與地面運(yùn)動的差來表示，則式(9)可寫成:

式(10)、式(11)即振動法的基本原理公式。原則上，地震反應(yīng)問題可用式(10)和式(11)來求解，實(shí)際上，因?yàn)槭?11)的地震應(yīng)力的表達(dá)式較復(fù)雜，同時(shí)由于地震運(yùn)動通常以地面加速度來表示，故式(10)較常用。

常用振動法的基本原理，即式(10)可用矩陣的形式表示如下:

式中:［M］為計(jì)算結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣;［C］和［K］分別為ti時(shí)刻計(jì)算結(jié)構(gòu)阻尼矩陣和剛度矩陣;ag(t)為第i+1時(shí)段內(nèi)(ti到ti+1)輸入的波動加速度增量，{Δ¨x}、{Δ˙x}和{Δx}為第i+1時(shí)段內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)相對加速度、相對速度和相對位移的增量所組成的列向量。

式(12)常采用數(shù)值解法，主要有線性加速度法、威爾遜θ法、中點(diǎn)加速度法、紐馬克β法和龍格-庫塔法等，其通用計(jì)算步驟如下［18］:

1)將整個波動時(shí)段劃分為一系列的微小時(shí)段Δt，通常取(0.01 ～0.02)s;

2)對實(shí)際波動加速度記錄，經(jīng)過零線調(diào)整等一些必要的處理后，按時(shí)段Δt進(jìn)行數(shù)值化;

3)在每一個微小時(shí)段 Δt內(nèi)，把 M、C、K及ag(t)均視為常數(shù);

4)利用第i+1時(shí)段(ti到ti+1)的前端值{xi}、{˙xi}、{¨xi}來求該時(shí)段的末端值{xi+1}、{˙xi+1}、{¨xi+1}。循序漸進(jìn)地對每一時(shí)段重復(fù)上述步驟，即得整個時(shí)程的結(jié)構(gòu)波動反應(yīng)。

式(12)中方程左端的加速度、速度、位移為相對數(shù)值，使用式(12)算出來的結(jié)果也應(yīng)該是相對值。這種方法存在的缺陷是，采用統(tǒng)一的加速度輸入不能考慮波動傳播的時(shí)間效應(yīng);計(jì)算出的結(jié)果是相對值，還需要和輸入值進(jìn)行疊加換算后得到絕對值。但該方法計(jì)算簡便，在當(dāng)前的地下結(jié)構(gòu)地震分析中被大量地采用。

圖4為振動法計(jì)算示意，其中計(jì)算模型底部設(shè)置成固定約束以反映底層基巖較堅(jiān)硬的性質(zhì)(具體對比中發(fā)現(xiàn)此種邊界條件較合理，此處不再詳述)，這是對通常振動法中采用3側(cè)黏彈性邊界條件的一種修正。加速度場可由現(xiàn)場實(shí)測或人工合成得到。

圖4 振動法計(jì)算示意Fig.4 Calculation of vibration method

2 計(jì)算結(jié)果對比

波動法和振動法的計(jì)算原理和使用方法有所區(qū)別，筆者采用這兩種方法針對人工地震波(圖1)進(jìn)行了計(jì)算，并對兩者的位移和應(yīng)力計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對比分析。

具體的計(jì)算參數(shù)為［15］:地層的剪切模量 G=5.292 MPa，彈性模量 E=13.23 MPa，泊松比 ν=0.25，密度為 ρ=2.7 kg/m3，計(jì)算模型 381 m ×762 m的長方形，采用有限元軟件ANSYS進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算模型如圖5。

圖5 有限元計(jì)算模型Fig.5 The finite element calculation model

計(jì)算中輸入波動采用周期性的人工地震波，其振幅為1 m，周期為0.5 s(圖1)。

對計(jì)算模型中計(jì)算點(diǎn)B(頂面以下57.15 m)處的計(jì)算結(jié)果對比分析如圖6。

圖6 波動法與振動法計(jì)算結(jié)果對比Fig.6 Contrast of calculation results of wave and vibration method

2.1 豎向位移對比

由圖6(a)可以看出:①波動(數(shù)值)法的計(jì)算結(jié)果和波動(解析)法基本一致，鑒于波動(數(shù)值)法便于實(shí)現(xiàn)，可直接運(yùn)用波動(數(shù)值)法來代表波動法;②波動法所得的y方向位移值和振動法相比相差不大，變化規(guī)律基本相同;③波動法所得的y方向位移值和振動法相比在時(shí)間上有所滯后，說明兩種方法所反映的時(shí)間效應(yīng)不同;④當(dāng)時(shí)間t較大時(shí)(波動從底面兩次向上反射傳播到計(jì)算點(diǎn)以后)，振動法的計(jì)算結(jié)果明顯增大，這是因?yàn)檎駝臃ú捎玫氖枪潭ǖ走吔缍皇遣捎镁哂形üδ艿酿椥赃吔纭?/p>

2.2 豎向應(yīng)力對比

由圖6(b)可以看出:①由波動法和振動法計(jì)算所得的豎向應(yīng)力的數(shù)值和變化規(guī)律基本相同;②兩者的計(jì)算結(jié)果在時(shí)間上稍有差別，當(dāng)t較大時(shí)兩者出現(xiàn)較大差異，這是由于兩者的底部邊界條件有所不同造成的;③波動法的計(jì)算結(jié)果隨時(shí)間衰減稍快，這主要是因?yàn)椴▌臃ㄖ性O(shè)置的底部黏彈性邊界具有吸波效應(yīng)。

2.3 最大主應(yīng)力對比

由圖6(c)可以看出:①由波動法和振動法計(jì)算所得的最大主應(yīng)力的數(shù)值和變化規(guī)律基本相同;②波動法和振動法計(jì)算所得的最大主應(yīng)力的極值時(shí)刻基本相同;③波動法的計(jì)算結(jié)果隨時(shí)間衰減稍快。

3 結(jié)論

將振動法和波動法這兩種常用的動力分析方法分別針人工地震波進(jìn)行了對比計(jì)算分析，得到如下結(jié)論:

1)采用波動法和振動法進(jìn)行動力分析所得的計(jì)算結(jié)果基本一致，振動法可以滿足精度要求。

2)波動法采用3側(cè)黏彈性邊界，而使用振動法時(shí)一般要在計(jì)算模型底部采用固定邊界，兩者一般取不同的邊界條件。

3)振動法和波動法所得的位移和應(yīng)力計(jì)算結(jié)果數(shù)值和變化規(guī)律基本一致。

4)波動法反映了動力計(jì)算的實(shí)質(zhì)，可以體現(xiàn)出波的傳播時(shí)間效應(yīng)，但是計(jì)算較為繁瑣，振動法不能反映波動的時(shí)間效應(yīng)，但是計(jì)算簡便，計(jì)算結(jié)果與波動法基本一致，實(shí)用性較強(qiáng)。建議在地下結(jié)構(gòu)動力分析中使用振動法。

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Contrast of Wave and Vibration Methods for Underground Structure

Gao Feng1，Sun Changxin1，2，Zhao Fengbing3
(1.State Key Laboratory Cultivation Base for Bridge and Tunnel Engineering，Chongqing Jiaotong University，Chongqing 400074，China;2.North China University of Water Resources and Electric Power，Zhengzhou 450011，Henan，China;3.Chongqing Energy College，Chongqing 400041，China)

Calculation theories and methods are introduced respectively in this paper;artificial seismic wave was calculated by wave method and vibration method respectively and the difference of these two methods has been analyzed.The analytical results indicate that:the calculating values and changing rules of wave method and vibration method are almost accordant;the wave method can reflect the time effects for the transition of wave while the vibration method cannot;the vibration method has the following advantages:its calculating steps are simple;its calculating precision can meet the needs.Therefore，vibration method is suggested to be used for the dynamical analysis of underground structure.

wave method;vibration method;calculation theories;seismic wave;artificial boundary condition

U451

A

1674-0696(2012)04-0764-05

10.3969/j.issn.1674-0696.2012.04.07

2011-11-16;

2012-01-15

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51178490);中鐵二院工程集團(tuán)有限責(zé)任公司科研項(xiàng)目(科2009-31);重慶市教委科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(KJ090403);華北水利水電學(xué)院2009年度青年科研基金項(xiàng)目(HSQJ2009013);山區(qū)橋梁與隧道工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金項(xiàng)目(CQSLBFY12-2);重慶交通大學(xué)(橋梁)結(jié)構(gòu)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金項(xiàng)目(CQSLBF-Y10-8)

高 峰(1964—)，男，浙江云和人，教授，博士生導(dǎo)師，博士，主要從事地下結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與施工方面的教學(xué)研究工作。E-mail:gaofeng1964@163.com。