解讀崔錫鼎《九數(shù)略》中的九階方陣

李國偉

(中研院數(shù)學研究所)

1 崔錫鼎與《九數(shù)略》

崔錫鼎(1645～1715)是活躍于朝鮮王朝肅宗時期(1674～1720)的文臣，根據(jù)《李朝實錄》中肅宗四十一年(1715)記載:

癸卯，判中樞事崔錫鼎卒。錫鼎字汝和，號明谷，文忠公鳴吉之孫。清明愷悌，敏悟絕人。幼從南九萬、樸世采學，刃解氷釋，十二已通《易》，手畫為圖，世稱神童。九經(jīng)、百家，靡不通涉，如誦己言，既貴且老，猶誦讀不輟，經(jīng)術、文章、言論、風猷，為一代名流之宗。以至算數(shù)、字學，隱曲微密，皆不勞而得妙解，頗以經(jīng)綸自期。十登臺司，以破黨論，收人才為心，以修明《大典》為事。辛巳三箚，受疾于己言人所難拔，趙泰采于枚卜，有大臣風。自在小官，上眷殊異，晩而不衰，黨人甚忌之，始以毀經(jīng)侮圣，誣之，終以侍疾不謹，構之，不得一日安于朝廷，處之晏如，終無幾微見于色，人服其雅度。晩益棲屑，卒于荒野，識者恨之。然文勝且率爾，不能切深，論治似要而實泛，不若南九萬之篤實精確焉。謚文貞，配享太廟庭。［1］

崔錫鼎的《九數(shù)略》［2］成書于肅宗十四年(1688)至肅宗二十一年(1695)之間，全書分4篇:

甲篇內(nèi)容包括:數(shù)原、數(shù)名、數(shù)位、數(shù)象、數(shù)器、數(shù)法;

乙篇內(nèi)容包括:統(tǒng)論四象、四象正數(shù)八法、四象變數(shù)八法;

丙篇內(nèi)容包括:四象變數(shù)四法、九章名義、九章分配四象、四象分配九章、古今算學;

丁篇為附錄，內(nèi)容包括:文算、珠算、籌算、河洛變數(shù)。

對于《九數(shù)略》的總體評價，可用郭世榮的話作為代表:

總之，《九數(shù)略》是一本具有鮮明思想特點的數(shù)學著作，書中內(nèi)容反映出作者崔錫鼎所掌握的數(shù)學知識相當豐富，對數(shù)學認識水平相當高，可以不夸張地說，和同時代的中國數(shù)學家水平不相上下，若是在中國，他也無疑是一位重要數(shù)學家?！保?］

本文關注的對象是《九數(shù)略》的附錄“河洛變數(shù)”。在這篇附錄里除河圖與洛書兩圖之外，依照順序還收集了四四圖(及陰圖)、五五圖(及陰圖)、六六圖(及陰圖)、衍數(shù)圖(及陰圖)、易數(shù)圖(及陰圖)、九數(shù)圖(及陰圖)、百子圖、百子子數(shù)陰圖、百子母數(shù)陰圖、百子生成純數(shù)圖、百子生成交數(shù)圖、百子陰陽子母錯綜圖、天數(shù)用五圖(即河圖五五圖)、地數(shù)用六圖(即河圖六五圖)、河圖四五圖、河圖七五圖、河圖八五圖、河圖九五圖、洛書四九圖、洛書五九圖、洛書六九圖、洛書七九圖、洛書八九圖(即五八井田圖)、洛書九九圖、范數(shù)用五圖、重儀用六圖、章策用七圖、氣策用八圖、重象用九圖、重卦用八圖、候策用九圖、九九母數(shù)變宮陽圖、九九母數(shù)變宮陰圖、九九子數(shù)變宮陽圖、九九子數(shù)變宮陰圖、天數(shù)用五圖、洛書六觚圖。

與宋朝楊輝《緝古摘奇算法》“縱橫圖”一章比較，除了聚六圖外，崔錫鼎引錄了所有其他各圖。其中河圖、洛書、四四圖、五五圖、六六圖、衍數(shù)圖、易數(shù)圖、九數(shù)圖、百子圖名稱均保留，并增補了楊輝未列的九九圖陰圖。此外，首幅天數(shù)五五圖(即河圖五五圖)與楊輝的聚五圖相同，第二幅天數(shù)五五圖則是崔錫鼎自創(chuàng)。氣策用八圖即楊輝的聚八圖、重象用九圖即楊輝的攅九圖、重卦用八圖即楊輝的八陣圖、候策用九圖即楊輝的連環(huán)圖。

以楊輝“縱橫圖”的內(nèi)容來看，所謂縱橫圖的概念應該意指在規(guī)則的圖形上標以連續(xù)正整數(shù)，使得在特定的區(qū)塊里，標號的總和都是一個定數(shù)。西方所謂的幻方(或稱魔方陣，magic square)便是一類特殊的縱橫圖。將自然數(shù)1，2，3，．．．，n2放入長寬均有n個格子的方陣里，使得每行、每列的和均為某一定數(shù)［不難算出此定數(shù)為n(n2+1)/2］，稱為半幻方;如果兩條主對角線的和也是同一定數(shù)，則稱為幻方。雖然先前研究《九數(shù)略》的人，已注意到崔錫鼎自創(chuàng)的一些圖形，例如孫成功說:“其中若干需要很高的構造技巧，具有組合學意義?！保?］但是整體上，似乎沒有意識到他有超越楊輝縱橫圖的數(shù)學成果。孫成功的結論是:

《九數(shù)略》就數(shù)學內(nèi)容來說，除了其構造的幾個魔方陣之外，并沒有超越作者所處的時代?！毒艛?shù)略》的典型意義在于它代表了“儒家明算者”對數(shù)學的認識和理解。例如崔氏的魔方陣研究跟中國、日本的游戲性研究不同，他研究河洛變數(shù)的目的主要在于借數(shù)的神秘性得到宇宙調(diào)和的法則，體現(xiàn)了象數(shù)神秘主義思想，這在某種程度上被認為阻礙了數(shù)學的發(fā)展。(［4］，28頁)

其實“河洛變數(shù)”里的九階方陣(方陣的階數(shù)就是它的行數(shù)，也就是列數(shù))暗藏了有趣的組合數(shù)學性質(zhì)，這正是本文所準備剖析的焦點。在《九數(shù)略》甲篇的第六章“數(shù)法”，講述了用籌算作加、減、乘、除的四法，從而繪出九九母數(shù)名圖、九九母數(shù)象圖(圖1)、九九子數(shù)名圖、九九子數(shù)象圖(圖2)。“河洛變數(shù)”里的九階方陣都是從這些圖變化而得。九九母數(shù)名圖每一個小方格里，放了一個漢字的二位數(shù)。上面的位置(也就是十位數(shù))稱為綱數(shù)，可以看成表示方陣的列數(shù)。下面的位置(也就是個位數(shù))稱為目數(shù)，可以看成表示方陣的行數(shù)。①本文中“行”是指橫行，“列”是指直列。為符合古漢文的排列習慣，從上向下計數(shù)方陣的行數(shù)，從右向左計數(shù)方陣的列數(shù)。請注意，現(xiàn)代矩陣符號使用法是從左向右計算列數(shù)。九九母數(shù)象圖更可以理解為每個位置里放了左右兩個數(shù)，左數(shù)為綱數(shù)，右數(shù)為目數(shù)，而不是每個位置放了一個二位數(shù)。這種理解九九母數(shù)圖的觀點，比較方便后面的一些有關方陣的結構分析。至于九九子數(shù)名圖其實就是一張九九表，它的第m行與第n列的交叉方格里放的就是乘積mn。該圖下方崔錫鼎的說明文字，已經(jīng)明確地敘述了這些性質(zhì)。

2 九九母數(shù)變宮陽圖

“河洛變數(shù)”里的九階方陣共有6種:九數(shù)圖、九數(shù)陰圖、九九母數(shù)變宮陽圖、九九母數(shù)變宮陰圖、九九子數(shù)變宮陽圖、九九子數(shù)變宮陰圖。其中以九九母數(shù)變宮陽圖的數(shù)學內(nèi)涵最為豐富，圖3的左邊是崔錫鼎的原圖(最后一列跨頁出現(xiàn))，而右邊是用現(xiàn)代數(shù)碼表示出來的方陣，下文里稱此方陣為M，而放在第i行第j列的元素記做mi，j。

圖3 九九母數(shù)變宮陽圖與方陣M

崔錫鼎針對此圖寫的說明如下:

從衡皆得九十數(shù)，總積八百一十母數(shù)。本宮圖即甲編母數(shù)名圖，此圖自本宮圖而一變，橫看從看九數(shù)無一重復者。

如果每個方格里的數(shù)字當作一個二位數(shù)來看，那么每一橫行數(shù)字的總和并不是90。而且原來九九母數(shù)名圖里就沒有重復出現(xiàn)的數(shù)字，此處應不值得特別指出“橫看從看九數(shù)無一重復者”。但是如果把每個二位數(shù)看成左右兩個數(shù)碼，那么每一橫行(或每一直列)左邊十位數(shù)的數(shù)碼是從1到9，右邊的個位數(shù)碼也是從1到9，恰好“橫看從看九數(shù)無一重復者”。1到9的總和是45，所以每行(或每列)18個數(shù)碼總和恰為90，于是九行(或九列)中所有數(shù)碼的總和就剛好是810。崔錫鼎觀察到的“橫看從看九數(shù)無一重復者”的性質(zhì)，是一項中國古代縱橫圖制作中，未曾被人注意到的規(guī)律。這項規(guī)律符合西方數(shù)學所謂“拉丁方陣”(latin square)的特性。

拉丁方陣是一種特殊的n階方陣，它的n2個位置恰由n種不同元素所占據(jù)，并且每種元素在每一行或每一列里都恰好出現(xiàn)一次。通常我們用數(shù)字1，2，3，…，n表示那n種不同的元素。西方最早有系統(tǒng)研究拉丁方陣的數(shù)學家是歐拉(Leonhard Euler，1707～1783)，他在1776發(fā)表了第一篇討論拉丁方陣的短文De quadratismagicis(英譯本On magic squares．http://arxiv．org/abs/math/0408230)，又在1782發(fā)表了篇幅甚長的Recherches sur une nouvelle espèce de quarrésmagiques(英譯本 Investigations on a new type of magic square．http://eulerarchive．maa．org/docs/translations/E530．pdf)。歐拉引進并深入研究拉丁方陣的目的，在于利用拉丁方陣制造幻方。為了達成這項目地，他另外引入了“希臘拉丁方陣”(graeco-latin square)。一個n階希臘拉丁方陣的每個位置上都放了一對元素，它們可區(qū)分為左元素與右元素。所有左元素構成的n階方陣是一個拉丁方陣，所有右元素構成的n階方陣也是一個拉丁方陣。最重要的條件是n2個位置里出現(xiàn)的元素對，沒有兩組是完全相同的［注意(a，b)與(b，a)是相異的元素對］。一般而言，任何兩個拉丁方陣如果滿足這個條件，就稱它們是彼此正交的(orthogonal)。所以一個希臘拉丁方陣恰好可看成是兩個正交拉丁方陣所迭合而成。為了紀念歐拉的重大貢獻，希臘拉丁方陣也稱為“歐拉方陣”。歐拉從一個n階以數(shù)字構成的希臘拉丁方陣導出幻方的方法如下:首先把每一個數(shù)對(a，b)對應到正整數(shù)(a－1)n+b，這個對應在本文中稱為“標準映射”。經(jīng)過標準映射得到的方陣一定是半幻方，但并不必然產(chǎn)生幻方。如果原來的希臘拉丁方陣制作得夠巧妙，使得兩條主對角線經(jīng)過標準映射后也達到定和，那才能造出幻方。

崔錫鼎的方陣M其實可以看成是一個歐拉方陣，它是由左數(shù)碼構成的方陣L與右數(shù)碼構成的方陣R迭合而成。圖4繪出L與R，圖5繪出標準映射把M對應到的幻方。

崔錫鼎在錄用楊輝的縱橫圖時，當然理解幻方的規(guī)律，然而“河洛變數(shù)”通篇未明示可由九九母數(shù)變宮陽圖，經(jīng)過一定的程序得到幻方。韓國學者早在1993年便認為崔錫鼎通過正交拉丁方陣制作了九階的幻方［5］，也注意到方陣M里每一橫行的數(shù)字從左念到右跟從右念到左完全相同，也就是說每行都是回文(palindrome)，所以圖4中L與R為對稱的鏡像［6］。其實比較平實的看法是這些都算是崔錫鼎方陣的現(xiàn)代解讀。崔錫鼎也許未曾意識到自己創(chuàng)作的深層數(shù)學內(nèi)涵，但是在韓國學者的解讀之外，崔錫鼎的方陣還可挖掘出更多有趣的性質(zhì)。

首先觀察L與R的中心數(shù)字都是5，而且以中心點對稱的兩個位置上的數(shù)字總和均為10。所以回到M里，以中心點對稱的兩個位置上的數(shù)字總和均為110，包括中心數(shù)字55的兩倍也是110。

其次，對于任何i(1 ≤i≤4)，假如同時把{mi，i，m10－i，10－i}，{mi，5，m10－i，5}，{m5，i，m5，10－i}，{mi，10－i，m10－i，i}這四組內(nèi)的一對元素對調(diào)位置，就可得一個新的歐拉方陣(稱之為Mi)，而且每個Mi可經(jīng)由標準映射對應到一個幻方。圖6以M1與M2為例，顯示對角對邊交換后的結果。

圖6 M經(jīng)對角對邊交換后的M1與M2

九九母數(shù)變宮陽圖最出人意表的性質(zhì)如下:把方陣M由上而下從正中剖開為左右兩個方陣，也就是把第五列的各個元素的十位數(shù)歸入左邊方陣，而個位數(shù)歸入右邊方陣。左右方陣分別稱為L'與R'(圖7)，把它們迭合到一起，居然成為圖8里的歐拉方陣M'，也就是說L'與R'是相互正交的拉丁方陣。M'沒有M那么完美之處，是在標準映射之后，它并不能得到幻方。這種從正中剖開為左右兩個正交拉丁方陣的性質(zhì)，也適用于前一段所引進的方陣Mi(1≤i≤4)，它們同樣不能在標準映射下得到幻方。

圖7 把方陣M從正中剖開為左右兩個方陣L'與R'

崔錫鼎在“河洛變數(shù)”里并沒有說明如何造出九九母數(shù)變宮陽圖。使用現(xiàn)代矩陣論的符號與觀念，我們曾經(jīng)提出一種以洛書為基礎的構造法［7］。現(xiàn)在我們可以用更為符合洛書精神的方式來解釋M的構造法。圖9左邊是1到9按照從上到下由右至左的排列，右邊的洛書可看成是左邊按照數(shù)字的大小依箭頭順序排出。這個順序在道士步罡踏斗時稱為“禹步”［8］，在縱橫圖的研究上有稱之為“洛書范型”［9］，本文中就稱之為“洛書順序”。

圖1右邊的九九母數(shù)方陣可以劃分成九宮，使得每宮里是一個九階小方陣。然后把這些小方陣按照洛書順序排列，圖10左邊只顯示出頭三個小九階方陣在洛書順序下所占的位置。之后，把每個九階小方陣再按洛書順序排列它的九個元素，就會得到方陣M，圖10右邊也只顯示左邊三個小方陣的排列結果。我們稱這種構造的方法為“整塊雙重洛書順序移動法”，簡稱“塊洛書法”。利用塊洛書法雖然很快造出九九母數(shù)變宮陽圖，但是用矩陣方法卻順便可證明新觀察出來方陣M所滿足的一些特性。①Swetz在(［10］，圖7．25)中使用“塊洛書法”造出本文圖5的幻方，不過Swetz對于崔錫鼎的工作并無所悉。

圖10 部分顯示整塊雙重洛書順序移動法的兩個步驟

3 九九母數(shù)變宮陰圖

在九九母數(shù)變宮陽圖之后，崔錫鼎緊接著給出九九母圖變宮陰圖(圖11左圖)。他的說明是:

共積上同。從衡及九宮皆得九十數(shù)。九宮之內(nèi)，每行三子皆得三十數(shù)。陽圖則九宮數(shù)多少不齊，此圖視陽圖尤妙，允符洛書之數(shù)。

我們首先注意到，如果把九九母數(shù)變宮陰圖的十位數(shù)與個位數(shù)分別放入九階方陣，兩個方陣都沒有滿足拉丁方陣的要求。而且此圖經(jīng)過標準映射后，并不會得到幻方。九九母數(shù)變宮陰圖可以畫為九宮，每宮內(nèi)每行六個數(shù)碼和是30。九九母數(shù)變宮陽圖第i行的數(shù)字，都出現(xiàn)在圖11右圖所示九宮的標號i位置。圖11右圖其實是在洛書里，以中心對稱的各對數(shù)字交換所得。除了第3、7、9宮外，其他各宮依數(shù)字大小走出的順序，若不是洛書順序，就是洛書順序左右交換后的順序。上述總和30之數(shù)，恰為洛書每行總和15的倍數(shù)，崔錫鼎也許因而認為“此圖視陽圖尤妙，允符洛書之數(shù)?！贝掊a鼎在建造這個九階方陣時，沒有嚴謹?shù)刈袷芈鍟樞颍苍S因此他錯失了原本可以更好的構造。

圖11 九九母圖變宮陰圖

假如我們把九九母數(shù)變宮陽圖第i列的數(shù)字，放入洛書九宮里標號i的位置，并且再按洛書順序排成一個小九宮，整個合并起來就成為一個九階方陣(圖12)。我們稱這種構造的方法為“整列雙重洛書順序移動法”，簡稱“列洛書法”。每個小九宮里的三階方陣，它的每行、每列、兩主對角在線的數(shù)碼和都是30。我們造的這個改良的九九母數(shù)變宮陰圖，經(jīng)過標準映射之后會得到幻方。崔錫鼎沒有作出這個性質(zhì)更好的方陣，一個可能是他并沒有系統(tǒng)地應用雙重洛書順序法，另一個可能是他并沒有從九九母數(shù)變宮陽圖體會出所對應的幻方，所以他在作陰圖時也就沒有計較所得的方陣能否變換成幻方了。

假如我們拿九九母數(shù)變宮陽圖的各行仿照上法去作，也會得到一個九階方陣。我們稱這種構造的方法為“整行雙重洛書順序移動法”，簡稱“行洛書法”。構造出的九宮中，各小方陣的諸行諸列數(shù)碼和也是30，但是對角在線的數(shù)碼和不盡然是30。這個九階方陣在標準映射下仍然會得到幻方。

圖12 改良的九九母數(shù)變宮陰圖

4 九九子數(shù)變宮陽圖與陰圖

在九九母數(shù)變宮陰圖之后，就是九九子數(shù)變宮陽圖(圖13)。此圖是從九九子數(shù)圖(圖2)按照行(或列)洛書法得來，因此劃分為九宮之后，每個小宮都是洛書的倍數(shù)。依崔錫鼎的話來說:

從衡二百二十五。共積二千二十五，經(jīng)緯錯綜之妙不可其述。此圖分為九宮，即是洛

書之數(shù)。

從這樣的造法可推論出九九子數(shù)變宮陽圖是一個廣義幻方，也就是它的每行、每列、兩主對角在線數(shù)字的和都相等。本來九九子數(shù)圖是一個乘法表，經(jīng)過這種變換后，成為一個滿足加法上定和性質(zhì)的廣義幻方，像這種連結乘法性質(zhì)與加法性質(zhì)的構型，在古代數(shù)學里十分罕見，因而也特別有趣。

圖13 九九子數(shù)變宮陽圖

緊接著九九子數(shù)變宮陽圖是九九子數(shù)變宮陰圖(圖14)。此圖如果以右上到左下的對角線作為軸線，則方陣的上左半與下右半是對稱的。此圖也是一個半幻方，每行每列的數(shù)字和都是225。崔錫鼎對此圖說明如下:共積上同。從衡皆得二百二十五數(shù)。右四圖九九變數(shù)以上即倍加通乘之數(shù)。此圖即自本宮而一變者，自一至八十一為脊，左右分排，井井不紊。

圖14 九九子數(shù)變宮陰圖

因為在九九子數(shù)圖中，如果i≠j，則ij與ji各出現(xiàn)一次，所以在滿足對稱的要求下，只有完全平方數(shù)會出現(xiàn)在右上到左下的對角在線。1到81共有九個完全平方數(shù)，不過它們并沒有按順序由小排到大。其實九九子數(shù)變宮陰圖的行與列加以重排，可以得到圖15里更加整齊的形式，使得所有完全平方數(shù)都依順序出現(xiàn)在對角在線。崔錫鼎是依照什么樣的法則構造出九九子數(shù)變宮陰圖，仍有待研究。

圖15 重排的九九子數(shù)變宮陰圖

5 九數(shù)圖及其陰圖

崔錫鼎在“河洛變數(shù)”里的九數(shù)圖(圖16右圖)，就是楊輝《緝古摘奇算法》“縱橫圖”里的九數(shù)圖。它不僅本身是一個幻方，它的九宮也都是廣義幻方。九數(shù)圖的作法可由圖16左圖出發(fā)，然后用行洛書法就能完成。我們也可以從圖1的九九母數(shù)圖出發(fā)，用行洛書法得出一個方陣，然后施以標準映射，結果同樣是九數(shù)圖。

圖16 用行洛書法可將左圖轉(zhuǎn)換為右方九數(shù)圖

崔錫鼎的九數(shù)陰圖(圖17右圖，崔錫鼎原圖中5與37應對調(diào))是另外一個幻方，他說:

從衡三百六十九數(shù)。分為九宮，每宮亦得右數(shù)。每宮一行三子各得一百二十三，從衡皆然，此非九九合數(shù)，乃一至八十一數(shù)。楊輝有陽圖而無陰圖，故新定，此圖條理齊整，視輝尤妙。

不僅每行每列與兩條主對角在線數(shù)字和為369，每小宮均為半幻方，而每小宮里九個數(shù)字和也剛好是369，因此崔錫鼎自認此圖的巧妙更勝過楊輝的九數(shù)圖。崔錫鼎并沒有講他如何得到這個更高明的圖，但是如果我們把此圖當作是某個方陣經(jīng)過標準映射得來，也就是把標準映射的逆映射作用在此圖上，便可得到圖17左圖。此圖與九九母數(shù)變宮陰圖相當類似，它的每個小宮都可從圖11左圖對應的小宮，經(jīng)過對稱或旋轉(zhuǎn)得到。

圖17 左圖經(jīng)標準映射得右方九數(shù)陰圖

6 結語

從以上的解讀里，我們可以看出崔錫鼎“河洛變數(shù)”里的各種方陣，以九階中除九數(shù)圖之外的各圖最有原創(chuàng)性，也蘊藏了最豐富的數(shù)學內(nèi)涵。也許崔錫鼎本人并未理解到這些較深刻的意義，但是在我們適當?shù)慕庾x后，甚至可以促進發(fā)展新的問題與新的研究。例如:(1)除了九九變宮陽圖外，一般而言有哪些奇數(shù)階歐拉方陣可以從正中剖開，分成左右兩個相互正交的拉丁方陣?(2)嘗試把九九子數(shù)陰圖推廣到一般的n階乘法表，也就是說給定一個n階方陣，它的第一行與第一列依序放入1，2，…，n，而方陣的(i，j)位置放入乘積ij，這樣一個n階乘法表可否加以重新排列，使得排列后以主對角線對稱，并且每行每列數(shù)字的和都是定數(shù)?這是一個很有意思的“古為今用”的組合數(shù)學問題，之前似乎未見有人提出。①當n=4k+2的形式時，這種方陣是不存在的。當n是4的整倍數(shù)時，李渭天證明這種方陣肯定存在。并且在不要求以主對角線為對稱的情形下，甚至可造出廣義幻方。當n=5，7，8時，李國偉、李渭天、劉德芬都構造出這種方陣，而且主對角在線的數(shù)字是依序排列。至于在最一般的情形下，此問題尚未完全解決。

1 肅宗實錄補闕正誤．41年(1715年)11月11日．卷56［DB/OL］．［2011-10-23］．http://sillok．history．go．kr/inspection/inspection．jsp?mTree=0＆id=ksb．

2 崔錫鼎．九數(shù)略［M］//金容云．韓國科學技術史資料大系．第1冊．漢城:驪江出版社，1985．

3 郭世榮．中國數(shù)學典籍在朝鮮半島的流傳與影響［M］．濟南:山東教育出版社，2009．35．

4 孫成功．朝鮮數(shù)學的儒學化傾向——《九數(shù)略》研究［D］．天津:天津師范大學，2003．23．

5 Hahn SG，Oh Y Y．Choi Seok-Jeong and hismagic squares［J］．Journal of KSESM，1993，(32):205～219．

6 Song H Y．Choi'sorthogonal latin squares isat least67yearsearlier than Euler's［OL］．［2009-2-6］．http://coding．yonsei．a(chǎn)c．kr．

7 Lih KW．A remarkable Euler square before Euler［J］．Mathematics Magazine，2010，(83):163 ～167．

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9 侯剛，劉鈍．宋代的洛書縱橫圖［R］//前現(xiàn)代與非西方科學技術之視覺表現(xiàn)國際學術研討會(2009年12月13日)．新竹:臺灣清華大學，2009．

10 Swetz F J．Legacy of the Luoshu:The4，000yearssearch for themeaning of themagic squareof order three［M］．Wellesley:A．K．Peters．2008．