基于響應(yīng)面法的強(qiáng)力甲板結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

黃重陽(yáng) 林 焰，2 于雁云，2

1 大連理工大學(xué)船舶工程學(xué)院船舶CAD 工程中心，遼寧大連116024

2 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧大連116024

0 引 言

當(dāng)散貨船空載航行時(shí)，為保持適當(dāng)?shù)姆€(wěn)心高度、避免產(chǎn)生過(guò)大的船體彎矩、剪切力及振動(dòng)，常要在壓載艙內(nèi)注入壓載水。然而，在壓載工況下，除重壓載艙注滿了壓載水外，其余貨艙均為空，頂邊艙的局部橫向載荷與中拱狀態(tài)下的總縱彎矩便一同作用于船體。因此，船體中部貨艙強(qiáng)力甲板的劇烈彎曲變形便會(huì)導(dǎo)致其總縱強(qiáng)度被削減［1］?？梢?jiàn)，強(qiáng)力甲板的設(shè)計(jì)是否合理直接關(guān)系到船舶營(yíng)運(yùn)的安全性與經(jīng)濟(jì)性。

在船體結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，設(shè)計(jì)變量（結(jié)構(gòu)尺寸）與結(jié)構(gòu)的應(yīng)力等響應(yīng)存在著復(fù)雜的關(guān)系，很難用彈性力學(xué)理論推導(dǎo)出某種顯式函數(shù)，因而使得對(duì)設(shè)計(jì)約束（強(qiáng)度、剛度）或設(shè)計(jì)目標(biāo)的計(jì)算變得困難。雖然運(yùn)用有限元法可解決復(fù)雜結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度計(jì)算問(wèn)題，但是需要耗費(fèi)大量的時(shí)間，在結(jié)構(gòu)優(yōu)化迭代過(guò)程中不斷調(diào)用有限元分析程序，這樣的設(shè)計(jì)計(jì)算既不經(jīng)濟(jì)又不實(shí)用。

本文結(jié)合有限元法與響應(yīng)面法［2］，將首先對(duì)一艘76 000 DWT 散貨船貨艙段的強(qiáng)力甲板（在不同板厚、相同工況下）進(jìn)行靈敏度分析，并選取適合的厚度參數(shù)作為響應(yīng)面函數(shù)的自變量，然后應(yīng)用大型通用有限元軟件計(jì)算出最大相當(dāng)應(yīng)力后，運(yùn)用響應(yīng)面法的均勻設(shè)計(jì)試驗(yàn)方法得出該艙段強(qiáng)力甲板最大應(yīng)力與結(jié)構(gòu)厚度的響應(yīng)面函數(shù)，繼而以結(jié)構(gòu)重量最輕為目標(biāo)函數(shù)，以強(qiáng)度和規(guī)范要求的最小厚度為約束條件，對(duì)該貨艙段的強(qiáng)力甲板結(jié)構(gòu)厚度進(jìn)行優(yōu)化。

1 響應(yīng)面法

響應(yīng)面法（RSM）是試驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)分析相結(jié)合的綜合試驗(yàn)技術(shù)，用于處理幾個(gè)變量對(duì)一個(gè)系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)的影響問(wèn)題，因而被廣泛用于眾多領(lǐng)域。

上世紀(jì)50年代，響應(yīng)面法便被運(yùn)用于化學(xué)工業(yè)，用于確定最優(yōu)的操作過(guò)程［3］。在生物學(xué)上，響應(yīng)面法主要用于研究混合反應(yīng)物中各化學(xué)反應(yīng)成分所占比例與其生物學(xué)活性之間的關(guān)系，以便確定生物材料最優(yōu)的試驗(yàn)條件［4］。在結(jié)構(gòu)工程領(lǐng)域，響應(yīng)面法主要被應(yīng)用于結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)和可靠性分析等方面，其作為一種近似的計(jì)算方法，在過(guò)去的十幾年中得到了迅速的發(fā)展和應(yīng)用［5-6］。目前，我國(guó)已有研究人員將響應(yīng)面法用于大型船舶的中剖面結(jié)構(gòu)優(yōu)化中，但還只是初步嘗試，其中，有的學(xué)者簡(jiǎn)化了船舶有限元模型的橫向構(gòu)件，忽略了縱向骨材，僅考慮純扭轉(zhuǎn)這一種工況而未選取結(jié)構(gòu)最危險(xiǎn)的工況。

1.1 響應(yīng)面法的原理

響應(yīng)面法的基本原理是：首先假設(shè)一個(gè)包含未知系數(shù)的、由狀態(tài)變量與基本變量構(gòu)成的解析表達(dá)式，然后用擬合的方法確定未知系數(shù)以表達(dá)隱式函數(shù)或高度非線性函數(shù)。多項(xiàng)式系數(shù)的確定一般以試驗(yàn)設(shè)計(jì)為基礎(chǔ)，應(yīng)用正交設(shè)計(jì)或均勻設(shè)計(jì)回歸得到特定因子的最小二乘估計(jì)。采用此方法時(shí)，隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)越多，試驗(yàn)次數(shù)便越多。

在結(jié)構(gòu)力學(xué)分析領(lǐng)域，響應(yīng)面函數(shù)模型常采用二階多項(xiàng)式形式：

式中，a，bi，ci，di為待定系數(shù)；xi（i＝1，2，…n）為基本變量。為簡(jiǎn)化計(jì)算、節(jié)省時(shí)間、避免限制響應(yīng)面法的應(yīng)用范圍，本文根據(jù)文獻(xiàn)［7］和文獻(xiàn)［8］保留了常數(shù)項(xiàng)、一階項(xiàng)及二階平方項(xiàng)，舍去了二階交叉項(xiàng)，采用以下形式：

響應(yīng)面法用二次多項(xiàng)式代替大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)函數(shù)，并通過(guò)系數(shù)迭代進(jìn)行調(diào)整，一般都能滿足實(shí)際工程的精度要求，具有較高的效率和使用價(jià)值。

1.2 基于響應(yīng)面的結(jié)構(gòu)分析及優(yōu)化

通常的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)主要是著眼于重量最輕等目標(biāo)，并借助基于梯度信息的傳統(tǒng)數(shù)值優(yōu)化方法直接進(jìn)行尋優(yōu)，而高精度結(jié)構(gòu)有限元分析模型的引入則使得計(jì)算時(shí)間變長(zhǎng)，且在約束條件較多的情況下不利于尋優(yōu)，往往容易陷入局部最優(yōu)解。探索型優(yōu)化技術(shù)（如模擬退火算法、蟻群算法、遺傳算法等）在全局搜索中往往要對(duì)目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行大量的計(jì)算評(píng)估，無(wú)法針對(duì)具體工況下的受力特征合理、精確地優(yōu)化具體結(jié)構(gòu)，且計(jì)算規(guī)模也不易控制［9］，這對(duì)于借有限元法計(jì)算的目標(biāo)值（如應(yīng)力響應(yīng)、壽命響應(yīng)）而言，計(jì)算代價(jià)過(guò)大。

為解決上述問(wèn)題，本文借助試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法和響應(yīng)面近似模型技術(shù)建立了結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，其基本思想是：在規(guī)范設(shè)計(jì)方法的指導(dǎo)下選取結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)變量，利用靈敏度分析方法選取對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)影響較大的樣本點(diǎn)［10］，對(duì)艙段結(jié)構(gòu)建立有限元模型并進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析，得到對(duì)應(yīng)各樣本點(diǎn)的響應(yīng)（彎曲應(yīng)力），利用這些樣本點(diǎn)和響應(yīng)值，建立應(yīng)力的響應(yīng)面近似模型，從而避免在尋優(yōu)過(guò)程中進(jìn)行大量耗時(shí)的有限元建模與分析。

1.3 試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法

響應(yīng)面法的計(jì)算成本隨樣本點(diǎn)向量維數(shù)的增加而快速增長(zhǎng)，其擬合能力很大程度上受樣本點(diǎn)試驗(yàn)空間分布的影響。當(dāng)樣本點(diǎn)向量維數(shù)很大時(shí)，首先要進(jìn)行靈敏度分析和試驗(yàn)設(shè)計(jì)，對(duì)樣本點(diǎn)的合理選擇十分重要。目前，用于優(yōu)化領(lǐng)域的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法［11］主要有正交設(shè)計(jì)和均勻設(shè)計(jì)。

為兼顧時(shí)間和擬合精度，本文采用均勻設(shè)計(jì)試驗(yàn)安排響應(yīng)面試驗(yàn)。試驗(yàn)所考察的結(jié)果稱(chēng)為指標(biāo)，如結(jié)構(gòu)的最大剪應(yīng)力、最大相當(dāng)應(yīng)力、最大位移等。對(duì)指標(biāo)可能有影響的參數(shù)稱(chēng)為因素，如結(jié)構(gòu)的幾何尺寸、材質(zhì)等。各因素用于比較的具體條件稱(chēng)為水平，如幾何尺寸的不同取值。

2 構(gòu)造結(jié)構(gòu)響應(yīng)面模型

2.1 艙段有限元模型的建立

以一艘76 000 DWT 散貨船為例，其總共有9個(gè)貨艙，總長(zhǎng)243.80 m，兩柱間長(zhǎng)235.00 m，型寬32.20 m，型深19.50 m，設(shè)計(jì)吃水12.50 m，結(jié)構(gòu)吃水14.00 m，方型系數(shù)0.887，航速約為14.20 kn。

按照中國(guó)船級(jí)社的相關(guān)規(guī)范［12］，建立船體中部6 號(hào)貨艙（125～153 號(hào)肋位）的艙段模型，并施加相應(yīng)的邊界條件及載荷，如圖1 所示。為了盡量消除邊界條件的影響，本文僅以模型中部整艙段的強(qiáng)力甲板（AH32 高強(qiáng)度鋼）作為研究對(duì)象。該艙強(qiáng)力甲板的最大受力情況出現(xiàn)在輕壓載工況，相當(dāng)應(yīng)力云圖如圖2 所示。由圖可見(jiàn)，強(qiáng)力甲板的應(yīng)力分布是不均勻的。在壓載工況下，貨艙范圍內(nèi)靠近橫艙壁上方的強(qiáng)力甲板的受力顯著大于其他區(qū)域。根據(jù)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度計(jì)算對(duì)甲板厚度進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，不僅能提高船舶安全性，而且還可降低船舶的結(jié)構(gòu)重量。

圖1 艙段有限元模型Fig.1 Finite element model of cargo holds

圖2 強(qiáng)力甲板應(yīng)力云圖Fig.2 Stress contours of strength deck

2.2 均勻試驗(yàn)分析

船體結(jié)構(gòu)復(fù)雜，影響構(gòu)件強(qiáng)度的參數(shù)眾多，為能更合理地構(gòu)造響應(yīng)面函數(shù)，本文針對(duì)該艙段強(qiáng)力甲板應(yīng)力最大的壓載工況，對(duì)不同受力區(qū)域、不同厚度的強(qiáng)力甲板進(jìn)行了敏感度分析。對(duì)于大型散貨船，強(qiáng)力甲板的板厚主要取決于壓載工況。甲板初始設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)圖如圖3 所示。本著基于母型、不增加焊縫的原則，確定設(shè)計(jì)參數(shù)，各參數(shù)所代表的區(qū)域如表1 所示。選取對(duì)強(qiáng)度影響較大的參數(shù)作為響應(yīng)面函數(shù)中的自變量。分析方法是，保持其他參數(shù)不變，只變化其中某一參數(shù)，然后利用有限元軟件計(jì)算、分析此參數(shù)的變化對(duì)最大相當(dāng)應(yīng)力的影響。

圖3 甲板結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Structural plan of deck

表1 設(shè)計(jì)變量及所代表的區(qū)域Tab.1 Design variables and their representative areas

通過(guò)參數(shù)化建模、變換板厚尺寸并進(jìn)行試驗(yàn)后，對(duì)參數(shù)進(jìn)行敏感度分析，選擇敏感度較大的AH6-8 號(hào)甲板板厚x6、AH6-11號(hào)甲板板厚x7、AH6-13 號(hào)甲板板厚x9、AH6-16 號(hào)甲板板厚x10和AH6-18 號(hào)甲板板厚x12作為自變量。

以減少試驗(yàn)次數(shù)為原則［13］，采用均勻設(shè)計(jì)試驗(yàn)法安排響應(yīng)面試驗(yàn)。本文選用不含交叉項(xiàng)的二次多項(xiàng)式作為響應(yīng)面方程，其中參數(shù)為5 個(gè)，方程的未知數(shù)為11 個(gè)（方程未知數(shù)個(gè)數(shù)等于2n＋1），16 水平5 參數(shù)的正交試驗(yàn)需進(jìn)行16 次。試驗(yàn)結(jié)果如表2 所示。

利用最小二乘法擬合響應(yīng)面函數(shù)：

表2 均勻試驗(yàn)表Tab．2 Experimental data table of uniform design

式中，ye為最大相當(dāng)應(yīng)力的響應(yīng)值。

根據(jù)復(fù)相關(guān)系數(shù)評(píng)估公式

進(jìn)行擬合度評(píng)估，得出各響應(yīng)面函數(shù)的R2為0.991 825。

由擬合度評(píng)價(jià)指標(biāo)可看出，本文中通過(guò)試驗(yàn)擬合的強(qiáng)力甲板強(qiáng)度響應(yīng)面的擬合度高，即響應(yīng)面相對(duì)于實(shí)際模擬得比較好，為下一步進(jìn)行優(yōu)化提供了良好的基礎(chǔ)。

3 優(yōu)化設(shè)計(jì)

強(qiáng)力甲板為AH32 高強(qiáng)度鋼，許用應(yīng)力為282 MPa。為了消除結(jié)構(gòu)強(qiáng)度冗余，本文引入值為1.2的安全系數(shù)，使得最大相當(dāng)應(yīng)力響應(yīng)面函數(shù)可起到約束目標(biāo)函數(shù)的作用，并保證結(jié)構(gòu)優(yōu)化后的結(jié)果偏于安全。根據(jù)回歸方程的二次多項(xiàng)式及相關(guān)規(guī)范［14］要求，以強(qiáng)力甲板結(jié)構(gòu)質(zhì)量最輕為目標(biāo)，可建立如下優(yōu)化模型：

式中，xi為板厚，mm；Ai為表面積，m2；P 為密度，t/m3；[σ ]為許用應(yīng)力，N/mm2。

使用非線性整數(shù)優(yōu)化的分支定界法對(duì)優(yōu)化模型進(jìn)行求解，將各區(qū)域的強(qiáng)力甲板厚度作為離散變量進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化結(jié)果如表3 及圖4 所示。

表3 強(qiáng)力甲板設(shè)計(jì)變量?jī)?yōu)化結(jié)果Tab．3 Optimization results of strength deck

圖4 優(yōu)化后的甲板厚度Fig.4 Thickness of optimized deck

原始重量為39.071 2 t，優(yōu)化重量為34.858 0 t，優(yōu)化后，重量較實(shí)際設(shè)計(jì)減小了10.78%。

使用優(yōu)化后的板厚對(duì)模型重新建模，計(jì)算得到最大相當(dāng)應(yīng)力245 MPa（圖5），滿足規(guī)范要求。

圖5 優(yōu)化后的應(yīng)力云圖Fig.5 Stress contours of optimized strength deck

通過(guò)優(yōu)化結(jié)果及驗(yàn)證結(jié)果可以看出，利用大型通用有限元軟件和響應(yīng)面法探討散貨船艙段強(qiáng)力甲板的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題，其計(jì)算結(jié)果合理可信，說(shuō)明該方法是可行的。

4 結(jié) 論

1）提出了一種基于響應(yīng)面的船體結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法，首次將響應(yīng)面法和有限元法應(yīng)用到散貨船強(qiáng)力甲板結(jié)構(gòu)優(yōu)化計(jì)算中，并針對(duì)不同受力區(qū)域的甲板板厚進(jìn)行優(yōu)化，驗(yàn)證了該方法的實(shí)用性，開(kāi)拓了船舶結(jié)構(gòu)強(qiáng)度分析以及結(jié)構(gòu)優(yōu)化的新思路。

2）首先對(duì)不同受力區(qū)域的甲板厚度參數(shù)進(jìn)行敏感性分析，合理選擇構(gòu)造響應(yīng)面函數(shù)的自變量，而后運(yùn)用均勻試驗(yàn)的方法設(shè)計(jì)試驗(yàn)，最后通過(guò)最小二乘法擬合成響應(yīng)面函數(shù)。該函數(shù)能夠模擬散貨船強(qiáng)力甲板在壓載工況下的應(yīng)力狀態(tài)，為進(jìn)一步構(gòu)造船體響應(yīng)面提供了參考。

3）構(gòu)建了散貨船整艙段的強(qiáng)力甲板結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型。該優(yōu)化模型以該貨艙段強(qiáng)力甲板的重量最輕為設(shè)計(jì)目標(biāo)，以不同區(qū)域的甲板厚度為設(shè)計(jì)變量，以總縱彎曲產(chǎn)生的最大彎曲應(yīng)力及相關(guān)規(guī)范要求為約束條件。優(yōu)化結(jié)果顯示，該優(yōu)化設(shè)計(jì)方法減輕了強(qiáng)力甲板的重量，說(shuō)明其在實(shí)際工程中具有一定的應(yīng)用價(jià)值。

4）該方法具有一定的通用性，響應(yīng)面函數(shù)的擬合與結(jié)構(gòu)具體形式無(wú)關(guān)，因而可以應(yīng)用于大多數(shù)散貨船的典型結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中。

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