☉安徽省長(zhǎng)豐縣城關(guān)中學(xué) 軒傳利
☉安徽省舒城縣闕店中學(xué) 任保平
談?wù)剟?dòng)態(tài)探究型問(wèn)題
☉安徽省長(zhǎng)豐縣城關(guān)中學(xué) 軒傳利
☉安徽省舒城縣闕店中學(xué) 任保平
探究幾何圖形在運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中與圖形相關(guān)的某些量的變化規(guī)律或其中蘊(yùn)含的結(jié)論,這類題目叫動(dòng)態(tài)探究型問(wèn)題.它主要有以下幾種類型:動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、動(dòng)直線問(wèn)題、圖形變換問(wèn)題等.對(duì)于動(dòng)態(tài)幾何探究型問(wèn)題,要注意用運(yùn)動(dòng)和變化的眼光去觀察和研究幾何圖形,把握?qǐng)D形運(yùn)動(dòng)與變化的全過(guò)程,抓住其中的等量關(guān)系,并特別關(guān)注一些不變量、不變關(guān)系和特殊關(guān)系,善于化“動(dòng)”為“靜”,由特殊情形入手,逐步過(guò)渡到一般情形,綜合運(yùn)用各種相關(guān)知識(shí)及各種數(shù)學(xué)思想方法加以解決.
1.單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題
例1 如圖1,在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A是x軸正半軸上的一個(gè)定點(diǎn),點(diǎn)B是雙曲線y=(x>0)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)逐漸增大時(shí),△OAB的面積將會(huì)( ).
A.逐漸增大 B.不變
C.逐漸減小 D.先增大后減小
解析:本題中的不變量有兩個(gè):△OAB中的底OA和反比例函數(shù)y=中k=3的值不變,其中的變量是點(diǎn)B的橫、縱坐標(biāo),當(dāng)橫坐標(biāo)不斷增大時(shí),縱坐標(biāo)不斷減小,所以相當(dāng)于△OAB的高不斷減小,在底不變時(shí),這個(gè)底邊上的高不斷減小,所以面積也就是不斷減小.
答案:C
點(diǎn)評(píng):對(duì)于動(dòng)態(tài)問(wèn)題,關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)條件中的不變量與變量,抓住反比例函數(shù)中k的值不變這一條件是解決此問(wèn)題的關(guān)鍵.
例2(2012年甘肅蘭州市)如圖2,AB是⊙O的直徑,弦BC=2cm,F(xiàn)是弦BC的中點(diǎn),∠ABC=60°.若動(dòng)點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)沿著A→B→A的方向運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(0≤t<3),連接EF,當(dāng)△BEF是直角三角形時(shí),t的值為( ).
點(diǎn)評(píng):根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得到直角三角形ABC,再根據(jù)30°的直角三角形的性質(zhì),可求出AB的長(zhǎng).△BEF是直角三角形,則有兩種情況:①∠BFE=90°,②∠BEF=90°.在上述兩種情況所得到的直角三角形中,已知BC邊和∠B的度數(shù),即可求得BE的長(zhǎng);由AE=AB-BE即可求出AE的長(zhǎng),也就能得出E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離(有兩種情況),從而求出t的值.此題綜合考查了圓周角定理的推論、垂徑定理以及直角三角形的性質(zhì),是一道動(dòng)態(tài)題,同時(shí)還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想,有一定的難度.
2.雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題
(2)當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí),線段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變(如圖5).理由如下:
所以當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí),線段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變.
點(diǎn)評(píng):本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理、平行四邊形的判定與性質(zhì),根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵.
例5(2012年廣東珠海市)如圖6①,在等腰梯形ABCD中,,對(duì)角線AC、BD交于H,平行于線段BD的兩條直線MN、RQ同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速平移,分別交等腰梯形ABCD的邊于M、N和R、Q,分別交對(duì)角線AC于F、G;當(dāng)直線RQ到達(dá)點(diǎn)C時(shí),兩直線同時(shí)停止移動(dòng).記等腰梯形ABCD被直線MN掃過(guò)的圖形面積為S1、被直線RQ掃過(guò)的圖形面積為S2,若直線MN平移的速度為1單位/秒,直線RQ平移的速度為2單位/秒,設(shè)兩直線移動(dòng)的時(shí)間為x秒.
點(diǎn)評(píng):本題綜合性很強(qiáng),難度較大,注意數(shù)形結(jié)合、分類討論思想與函數(shù)思想的應(yīng)用.解答問(wèn)題時(shí),要求對(duì)幾何元素的運(yùn)動(dòng)過(guò)程有一個(gè)完整、清晰的認(rèn)識(shí),不管點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)還是形動(dòng),要善于借助動(dòng)態(tài)思維的觀點(diǎn)來(lái)分析,不被“動(dòng)”所迷惑,從特殊情形入手,變中求不變,動(dòng)中求靜,抓住靜的瞬間,以靜制動(dòng),把動(dòng)態(tài)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)的問(wèn)題來(lái)解決,從而找到“動(dòng)”與“靜”的聯(lián)系,揭示問(wèn)題的本質(zhì),發(fā)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)中的各個(gè)變量之間互相依存的函數(shù)關(guān)系,從而找到解決問(wèn)題的突破口,也就找到了解決這類問(wèn)題的途徑.
例6 (2012年四川南充市)如圖7,在Rt△POQ中,OP=OQ=4,M是PQ中點(diǎn),把一三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)M處,以M為旋轉(zhuǎn)中心,旋轉(zhuǎn)三角尺,三角尺的兩直角邊與△POQ的兩直角邊分別交于點(diǎn)A、B.
(1)求證:MA=MB.
(2)連接AB,探究:在旋轉(zhuǎn)三角尺的過(guò)程中,△AOB的周長(zhǎng)是否存在最小值.若存在,求出最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)連接OM.證明△AMO S△AMO即可.(2)在Rt△AOB中,運(yùn)用勾股定理求得AB的長(zhǎng),轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的問(wèn)題,運(yùn)用二次函數(shù)的最值求解.
解:(1)如圖8,連接OM.
點(diǎn)評(píng):本題以直角三角形為基本圖形,綜合考查全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理和二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題的能力.對(duì)于幾何知識(shí)與二次函數(shù)的綜合,是學(xué)生解題的難點(diǎn)之一.
例7 如圖9,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D,AF平分∠CAB,交CD于點(diǎn)E,交CB于點(diǎn)F.
(1)求證:CE=CF.
(2)將圖9中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置,使點(diǎn)E′落在BC邊上,其他條件不變,如圖10所示,試猜:BE′與CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)證明你的結(jié)論.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查全等三角形的性質(zhì)和判定,角平分線的性質(zhì)等.證線段相等常用的方法:①全等三角形對(duì)應(yīng)線段相等;②等量代換相等.
例8(2012年貴州省畢節(jié)市)如圖11①,有一張矩形紙片,將它沿對(duì)角線AC剪開(kāi),得到△ACD和△A′BC′.
(1)如圖11②,將△ACD沿A′C′邊向上平移,使點(diǎn)A與點(diǎn)C′重合,連接A′D和BC,四邊形A′BCD是______形.
(2)如圖11③,將△ACD的頂點(diǎn)A與A′點(diǎn)重合,然后繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),使點(diǎn)D、A、B在同一直線上,則旋轉(zhuǎn)角為_(kāi)_____度;連接CC′,則四邊形CDBC′是______形.
(3)如圖11④,將AC邊與A′C′邊重合,并使頂點(diǎn)B和D在AC邊的同一側(cè),設(shè)AB、CD相交于E,連接BD,四邊形ADBC是什么特殊四邊形?請(qǐng)說(shuō)明你的理由.
分析:(1)利用平行四邊形的判定,對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形得出即可.(2)利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)以及直角梯形判定得出即可.(3)利用等腰梯形的判定方法得出BD∥AC,AD=CB,即可得出答案.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查圖形的剪拼與平行四邊形的判定和等腰梯形的判定、直角梯形的判定方法等知識(shí),熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵.
*本文系2011年安徽省六安市教育科學(xué)規(guī)劃重點(diǎn)課題(LM11038)“與新課程相適應(yīng)的學(xué)生作業(yè)設(shè)計(jì)研究”的部分研究成果.