基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的一些過(guò)去和現(xiàn)狀*

文/席南華

中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院 北京 100190

談?wù)撜麄€(gè)數(shù)學(xué)或基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的發(fā)展趨勢(shì)已經(jīng)超出一個(gè)人的能力，龐加萊和希爾伯特被認(rèn)為是數(shù)學(xué)領(lǐng)域最后兩個(gè)全才，后來(lái)還有一些杰出的數(shù)學(xué)家如馮諾依曼、柯?tīng)柲窳_夫和I.M.格爾方德等對(duì)純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)都做出了巨大的貢獻(xiàn)，但現(xiàn)在這樣的數(shù)學(xué)家也很難尋到了。

基礎(chǔ)數(shù)學(xué)大致分為代數(shù)（含數(shù)論）、幾何、分析（基于微積分的數(shù)學(xué)）3部分，但看一看前幾屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的報(bào)告目錄及其分組就知道現(xiàn)代數(shù)學(xué)的分支繁多，各部分間的融合與交叉也是日趨深入。有些方向是非?；钴S的，如代數(shù)幾何、數(shù)論、表示理論、動(dòng)力系統(tǒng)、偏微分方程、幾何分析、調(diào)和分析、微分幾何、復(fù)幾何、拓?fù)洹⒔M合、數(shù)學(xué)物理等等。

數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形的科學(xué)，也研究結(jié)構(gòu)。邏輯支撐著數(shù)學(xué)的大廈，而其本身也是數(shù)學(xué)研究的對(duì)象，與計(jì)算機(jī)科學(xué)密切相關(guān)。

1 數(shù)學(xué)理論的起始

形是容易感知的，我們一睜開(kāi)眼睛就會(huì)看到各種各樣形狀的物體。數(shù)卻是一個(gè)抽象的概念，但其形成也有很長(zhǎng)歷史了。據(jù)考證和研究，人類(lèi)在洞穴時(shí)代就已有數(shù)的概念了，若干動(dòng)物也有數(shù)的概念。剛開(kāi)始時(shí)，實(shí)際的需要產(chǎn)生了加法、減法、乘法、除法等運(yùn)算，長(zhǎng)度、面積等概念。到公元前3000年，數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍就很廣了，如稅收、建筑、天文等。數(shù)學(xué)從理論上系統(tǒng)研究始于古希臘人，在公元前600年至公元前300年期間，代表人物有畢達(dá)哥拉斯、歐幾里得等。歐幾里得的《幾何原理》采用公理化體系系統(tǒng)整理了古希臘人的數(shù)學(xué)成就，2000多年來(lái)一直是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的教科書(shū)，其體系、數(shù)學(xué)理論的表述方式和書(shū)中體現(xiàn)的思維方式對(duì)數(shù)學(xué)乃至科學(xué)的發(fā)展影響深遠(yuǎn)。

2 數(shù)和多項(xiàng)式方程及相關(guān)的數(shù)學(xué)分支

我們認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)基本上都是從數(shù)開(kāi)始的，然后是簡(jiǎn)單的幾何與多項(xiàng)式方程。數(shù)中間有無(wú)窮的魅力、奧秘和神奇，始終吸引著最富智慧的數(shù)學(xué)家和業(yè)余愛(ài)好者。多項(xiàng)式方程是從實(shí)際問(wèn)題和數(shù)的研究中自然產(chǎn)生的。在對(duì)數(shù)和多項(xiàng)式方程的認(rèn)識(shí)和探究過(guò)程中，代數(shù)、數(shù)論、組合、代數(shù)幾何等數(shù)學(xué)分支逐步產(chǎn)生。

2.1 素?cái)?shù)

素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)，在《幾何原理》中有一個(gè)優(yōu)美的證明。素?cái)?shù)是數(shù)學(xué)永恒的研究對(duì)象，而且是最難以琢磨的數(shù)學(xué)研究對(duì)象，很多最為深刻的數(shù)學(xué)都與素?cái)?shù)（或其復(fù)雜的其他形式如素理想等）有關(guān)。我們熟知的孿生素?cái)?shù)猜想和哥德巴赫猜想，到現(xiàn)在仍未解決，目前最好的結(jié)果是陳景潤(rùn)的。但奇數(shù)哥德巴赫猜想由維諾格拉多夫于1937年基本解決。哈代-利特伍德猜想是比孿生素?cái)?shù)猜想更為復(fù)雜的猜想。

對(duì)于素?cái)?shù)在自然數(shù)中的比例，有著名的素?cái)?shù)定理，曾是勒讓德的猜想（1808年），阿達(dá)瑪和德拉瓦勒-普森最先分別證明該定理（1896年）。1949年賽爾伯格和厄爾迪斯分別給出素?cái)?shù)定理的初等證明。這是賽爾伯格獲1950年菲爾茲獎(jiǎng)的重要工作之一。

2004年陶哲軒和本·格林合作證明了存在任意長(zhǎng)的等差素?cái)?shù)數(shù)列。這項(xiàng)工作極大地激發(fā)了人們對(duì)解析數(shù)論的新熱情，也是陶獲2006年菲爾茲獎(jiǎng)的重要工作之一。

18世紀(jì)歐拉對(duì)素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)給出了深刻的證明，他用到無(wú)窮級(jí)數(shù)1+2－1+3－1＋…的發(fā)散性。他還對(duì)實(shí)數(shù)s考慮了級(jí)數(shù)1+2－s+3－s＋…。1859年，為研究素?cái)?shù)的分布，黎曼對(duì)復(fù)數(shù)s考慮這個(gè)級(jí)數(shù)，證明了它可以延拓成復(fù)平面上的亞純函數(shù)，現(xiàn)稱(chēng)為黎曼ζ函數(shù)，給出了函數(shù)方程，建立了這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)和素?cái)?shù)分布的聯(lián)系，提出了著名的黎曼猜想。該猜想斷言黎曼ζ函數(shù)的零點(diǎn)除平凡的外實(shí)部均為1/2。黎曼對(duì)素?cái)?shù)和ζ函數(shù)的研究影響深遠(yuǎn)。一般認(rèn)為，黎曼猜想是數(shù)學(xué)中最有名的猜想，也是克雷數(shù)學(xué)研究所懸賞百萬(wàn)美元的千禧年問(wèn)題之一，自它提出之時(shí)起就在數(shù)學(xué)研究中占有突出位置，很多問(wèn)題與它有關(guān)，還與算子代數(shù)、非交換幾何、統(tǒng)計(jì)物理等有深刻的聯(lián)系，在阿達(dá)瑪和德拉瓦勒-普森對(duì)素?cái)?shù)定理的證明中起關(guān)鍵作用。

黎曼的工作對(duì)L函數(shù)和代數(shù)幾何也有巨大的影響。L函數(shù)已是數(shù)論的一個(gè)中心研究對(duì)象，與分析、幾何及表示論的聯(lián)系極深，其在一些特殊點(diǎn)的值含有很多深刻的算術(shù)信息。我們先從狄利赫列的L函數(shù)說(shuō)起。

2.2 L函數(shù)和朗蘭之綱領(lǐng)

對(duì)有限循環(huán)群的特征，狄利赫列構(gòu)造了與黎曼ζ函數(shù)類(lèi)似的函數(shù)，現(xiàn)稱(chēng)為狄利赫列L函數(shù)。利用這些函數(shù)，他證明了一個(gè)有趣的結(jié)論——很多算術(shù)數(shù)列含有無(wú)限多個(gè)素?cái)?shù)。具體說(shuō)來(lái)就是：如果兩個(gè)正整數(shù)a和m互素,那么算術(shù)數(shù)列a+m，a+2m，a+3m...，a+km，...里有無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)。

后來(lái)阿丁對(duì)數(shù)域的有限擴(kuò)張域的伽羅華群的表示，類(lèi)似地也定義了一類(lèi)L級(jí)數(shù)并解析延拓得到一個(gè)L函數(shù),現(xiàn)稱(chēng)為阿丁L函數(shù)。利用這些L函數(shù),他證明了交換類(lèi)域論里面很有名的阿丁互反律。上個(gè)世紀(jì)六七十年代朗蘭之想把阿丁的工作延伸到非交換的類(lèi)域論去。雅各和朗蘭之對(duì)p進(jìn)域上的簡(jiǎn)約代數(shù)群的不可約表示和整體域上的簡(jiǎn)約代數(shù)群的自守表示也定義了L函數(shù)。朗蘭之給出了一系列猜想，這就是現(xiàn)在非常熱鬧的朗蘭之綱領(lǐng)。

這個(gè)綱領(lǐng)的中心是函子性（functoriality）猜想，該猜想描述了不同代數(shù)群的自守表示之間深刻的聯(lián)系。函子性猜想蘊(yùn)涵了很多著名的猜想，如阿丁猜想、拉瑪努金猜想、佐藤-塔特猜想等。函子性猜想的一個(gè)重要特殊情況是朗蘭之互反律，或說(shuō)朗蘭之對(duì)應(yīng)。通過(guò)整體域上簡(jiǎn)約代數(shù)群的自守表示定義的L函數(shù)稱(chēng)為自守L函數(shù)。還有一種L函數(shù)稱(chēng)為模體(motivic)L函數(shù)，是哈塞-韋伊L函數(shù)的推廣，包括阿丁L函數(shù)和哈塞-韋伊L函數(shù)。本質(zhì)上朗蘭之綱領(lǐng)的中心問(wèn)題就是證明所有的模體L函數(shù)均是自守L函數(shù)。

在最簡(jiǎn)單的情形下，函子性猜想就是阿丁互反律，類(lèi)域論的實(shí)質(zhì)。函子性猜想僅在一些很特別的情形得到證明，離完全解決遙遠(yuǎn)得很。但對(duì)函數(shù)域上的一般線性群，拉佛格在2002年證明了朗蘭之的互反律猜想（即建立了朗蘭之對(duì)應(yīng)），并因此獲得當(dāng)年的菲爾茲獎(jiǎng)。2010年發(fā)表的基本引理的證明也是這個(gè)綱領(lǐng)中的一個(gè)巨大進(jìn)展。有意思的是來(lái)自代數(shù)群表示論的仿射斯普林格纖維和因研究可積系統(tǒng)而產(chǎn)生的希欽纖維化之間的聯(lián)系在吳寶珠的證明中起一個(gè)關(guān)鍵的作用。吳寶珠因其對(duì)基本引理的證明獲得2010年的菲爾茲獎(jiǎng)。

研究函子性猜想的重要工具是賽爾伯格-亞瑟跡公式。賽爾伯格跡公式于1956年得出，與黎曼ζ函數(shù)的聯(lián)系導(dǎo)致他引進(jìn)了賽爾伯格ζ函數(shù)。賽爾伯格跡公式后由亞瑟在1974—2003年間做出各種推廣，它在數(shù)學(xué)物理中也有很好的應(yīng)用。

2.3 一元高次方程和群論

人們很早就會(huì)解一元一次和一元二次方程，一元三次和四次方程的公式解在16世紀(jì)被找到。在嘗試得到更高次方程的根式解時(shí)，數(shù)學(xué)家的探索失敗了，其中包括18世紀(jì)一流數(shù)學(xué)家拉格朗日。答案原來(lái)是否定：1824年挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾證明了五次及更高次的方程一般沒(méi)有根式解。稍后法國(guó)數(shù)學(xué)家伽羅華給出的證明影響深遠(yuǎn)，一個(gè)重要的數(shù)學(xué)分支——群論因此而誕生。我們可以簡(jiǎn)單說(shuō)一下伽羅華的證明。5個(gè)人排隊(duì)的排法有120種，一種排法按另一種方法重排就會(huì)產(chǎn)生第三種排法，于是這120種排法成為一個(gè)群，而且是不可解的，所以五次及更高次的方程一般沒(méi)有根式解。

群論的影響幾乎遍及整個(gè)數(shù)學(xué)，在物理、化學(xué)及材料科學(xué)中有很多應(yīng)用，是研究對(duì)稱(chēng)的基本工具。1872年克萊因提出著名的埃爾朗根綱領(lǐng)，用群來(lái)分類(lèi)和刻畫(huà)幾何，對(duì)幾何發(fā)展影響巨大。拓?fù)鋵W(xué)中同調(diào)群和同倫群是極重要的研究工具和研究對(duì)象。代數(shù)幾何中阿貝爾簇是一類(lèi)特別重要的幾何對(duì)象。很多空間具有一些自然的群作用，從而可以作相應(yīng)的商空間。這些商空間在幾何、數(shù)論和表示論中極其重要。齊性空間和志村簇是其中兩類(lèi)例子，幾何不變量則是一個(gè)有關(guān)的重要數(shù)學(xué)分支。

群論自身的研究同樣是非常深刻的。上世紀(jì)一項(xiàng)偉大的數(shù)學(xué)成就是對(duì)有限單群的分類(lèi)。這是一項(xiàng)龐大的工作，第一個(gè)證明主要的工作發(fā)表于1960—1983年期間，前后有100多位數(shù)學(xué)家參與，發(fā)表了數(shù)百篇論文，總長(zhǎng)度超過(guò)10000頁(yè)。到2004年，群論專(zhuān)家完成第二個(gè)證明，總長(zhǎng)度也達(dá)到5000頁(yè)?，F(xiàn)在，他們正試圖進(jìn)一步簡(jiǎn)化。湯普森因其在單群分類(lèi)中的杰出工作于1974年獲菲爾茲獎(jiǎng)，他最出名的工作是與費(fèi)特合作證明了伯恩賽德猜想：非交換的有限單群的階是偶數(shù)，論文發(fā)表于1963年，占了《太平洋數(shù)學(xué)雜志》整個(gè)一期。阿西巴赫因其在有限單群分類(lèi)的杰出工作獲2012年沃爾夫獎(jiǎng)。在有限單群中有一個(gè)非常大的單群，稱(chēng)為魔群，其中元素的個(gè)數(shù)大約是8×1053，與數(shù)學(xué)中的月光猜想密切相關(guān)。1992年波謝茲證明了這個(gè)猜想，為此他引進(jìn)了廣義卡茨-穆迪代數(shù)，與他人一起引進(jìn)了頂點(diǎn)算子代數(shù)。現(xiàn)在，這些代數(shù)都是重要的研究對(duì)象。主要因?yàn)檫@項(xiàng)工作，波謝茲于1998年獲菲爾茲獎(jiǎng)。

如果把所有整系數(shù)的一元多項(xiàng)式方程的根放在一起，我們得到一個(gè)數(shù)的集合，比有理數(shù)全體大，稱(chēng)為有理數(shù)域的代數(shù)閉包。有理數(shù)域的代數(shù)閉包的絕對(duì)伽羅華群及其表示的研究是現(xiàn)代數(shù)學(xué)尤其是數(shù)論中極其重要的研究課題。

如果一個(gè)數(shù)不是任何整系數(shù)一元多項(xiàng)式的根，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)是超越數(shù)，π就是一個(gè)超越數(shù)。超越數(shù)的研究也是數(shù)論的重要組成部分，貝克爾曾因?qū)Τ綌?shù)的研究獲得1970年的菲爾茲獎(jiǎng)。一些自然產(chǎn)生的數(shù)如某些無(wú)窮級(jí)數(shù)的和與某些函數(shù)的值等是否為超越數(shù)是人們特別感興趣的。

在群論中，李群和代數(shù)群的理論與其他數(shù)學(xué)分支的聯(lián)系十分廣泛和深刻。群表示論，尤其是李群和代數(shù)群的表示論是現(xiàn)在非?；钴S的分支。李群和代數(shù)群的離散子群特別有意思，與數(shù)論和遍歷論等分支的聯(lián)系極為密切，馬古利斯因其在半單李群的離散子群上的深刻工作獲1978年的菲爾茲獎(jiǎng)。

2.4 不定方程和數(shù)論

不定方程是數(shù)論研究的中心對(duì)象之一。直角三角形三邊的關(guān)系X2+Y2=Z2就是一個(gè)不定方程，它與圓方程類(lèi)似。它有很多的整數(shù)解，勾三股四弦五就給出一組。一般的解很容易給出：X=a2-b2,Y=2ab,Z=a2+b2，其中a,b是任意整數(shù)。高次的情形就是方程Xn+Yn=Zn，其中n是大于2的整數(shù)。1637年，費(fèi)馬在一本書(shū)內(nèi)的邊頁(yè)寫(xiě)道他有一個(gè)此方程無(wú)非平凡整數(shù)解的證明，但太長(zhǎng)，邊頁(yè)空白處寫(xiě)不下。人們?cè)趺匆矝](méi)找出費(fèi)馬說(shuō)的那個(gè)證明，一般認(rèn)為費(fèi)馬在書(shū)中注記說(shuō)的證明可能有問(wèn)題，于是此方程無(wú)非平凡整數(shù)解成為一個(gè)猜想，稱(chēng)為費(fèi)馬大定理問(wèn)題。這個(gè)猜想一直吸引著數(shù)學(xué)家的強(qiáng)烈興趣，費(fèi)馬本人對(duì)4次的情形的證明流傳下來(lái)，3次的情形是歐拉在1770年證明的，5次的情形于1825年由勒讓德和狄利赫列獨(dú)立證明，等等。19世紀(jì)庫(kù)莫對(duì)這個(gè)問(wèn)題的研究導(dǎo)致了代數(shù)數(shù)論的誕生。1920年，莫德?tīng)柼岢鲆粋€(gè)猜想：有理數(shù)域上虧格大于1的代數(shù)曲線的有理點(diǎn)只有有限多個(gè)。這個(gè)猜想被法爾廷斯于1983年證明，它蘊(yùn)含了費(fèi)馬的方程在n比2大時(shí)至多存在有限多個(gè)本原整數(shù)解。法爾廷斯主要因此獲得1986年的菲爾茲獎(jiǎng)。費(fèi)馬大定理最后在1995年被外爾斯證明，這是上個(gè)世紀(jì)一項(xiàng)偉大的數(shù)學(xué)成就。代數(shù)數(shù)論現(xiàn)在是非常有活力的數(shù)學(xué)分支。

在外爾斯對(duì)費(fèi)馬大定理的證明中，橢圓曲線起了關(guān)鍵的作用。橢圓曲線的方程其實(shí)很簡(jiǎn)單：Y2=X3+aX+b，其中a,b是常數(shù)，如1，2等等。它們有群結(jié)構(gòu)，在射影空間中的幾何圖形就是環(huán)面，與汽車(chē)輪胎一個(gè)形狀。對(duì)橢圓曲線也能定義L函數(shù)。BSD猜想斷言這個(gè)L函數(shù)在一處的值與橢圓曲線的群結(jié)構(gòu)密切相關(guān)。這個(gè)猜想是克雷數(shù)學(xué)研究所懸賞百萬(wàn)美元的千禧年問(wèn)題之一，自然是數(shù)學(xué)的研究熱點(diǎn)之一。

BSD猜想還和一個(gè)古老的問(wèn)題有關(guān)。如果考慮方程X2+Y2=Z2的正數(shù)解，那么解是一個(gè)直角三角形的3個(gè)邊長(zhǎng)。有一個(gè)古老的問(wèn)題：什么時(shí)候這個(gè)三角形的面積XY/2是整數(shù)，而且X,Y,Z都是有理數(shù)。這樣的整數(shù)稱(chēng)為和諧數(shù)（congruent number）。數(shù)組（3,4,5）和（3/2,20/3,41/6）是方程的解，所以6和5都是和諧數(shù)。塔奈爾1983年的一個(gè)結(jié)果告訴我們，如果BSD猜想成立，有可行的計(jì)算辦法判定一個(gè)整數(shù)是否為和諧數(shù)。

2.5 多項(xiàng)式方程和代數(shù)幾何

我們已經(jīng)看到解方程，哪怕是一個(gè)一元的或簡(jiǎn)單的二元方程，都不是容易的事情，其研究給數(shù)學(xué)已經(jīng)而且還要帶來(lái)巨大的發(fā)展。多項(xiàng)式方程組的求解顯然更為困難，甚至一般說(shuō)來(lái)是毫無(wú)希望的。我們需要換一個(gè)角度，把一組多項(xiàng)式方程的零點(diǎn)集看作一個(gè)整體，就會(huì)得到一個(gè)幾何空間，稱(chēng)為簇。研究簇的數(shù)學(xué)分支就是代數(shù)幾何，一個(gè)龐大深刻又極富活力的分支。我們讀中學(xué)時(shí)就知道，一個(gè)二元一次方程和直線是一回事，X2+Y2=1則是單位元圓周的方程。代數(shù)幾何的蹤跡可以追溯到公元前，17世紀(jì)笛卡爾建立的解析幾何可以看作是代數(shù)幾何的先聲。

代數(shù)幾何的中心問(wèn)題是對(duì)代數(shù)簇分類(lèi)。但這個(gè)問(wèn)題太大太難，現(xiàn)階段尚無(wú)希望完全解決，人們只能從不同的角度考慮更弱的問(wèn)題。一維的情形是代數(shù)曲線，其分類(lèi)很容易，在19世紀(jì)就知道光滑的射影曲線可以用它們的虧格來(lái)分類(lèi)，這時(shí)還有著名的黎曼-洛赫定理。大約在1885—1935年期間，代數(shù)幾何史上著名的意大利學(xué)派對(duì)二維的情形研究了分類(lèi)，也得到了二維情形的黎曼-洛赫定理。意大利學(xué)派的特點(diǎn)是幾何直觀思想豐富深刻，后期的工作嚴(yán)格性不足。后來(lái)，上個(gè)世紀(jì)四五十年代韋伊和查里斯基用新的語(yǔ)言嚴(yán)格表述代數(shù)幾何的基礎(chǔ)。小平邦彥和沙法列維奇及其學(xué)生在上個(gè)世紀(jì)60年代重新整理了代數(shù)曲面的分類(lèi)。小平在代數(shù)幾何和復(fù)流形上的工作十分有影響，早在1954年，他就獲得菲爾茲獎(jiǎng)，沙法列維奇在代數(shù)數(shù)論和代數(shù)幾何上都做出重要的貢獻(xiàn)，有著名的沙法列維奇猜想，至今未解決。

曼福德和龐比利在上個(gè)世紀(jì)六七十年代把意大利學(xué)派對(duì)曲面的分類(lèi)工作做到了特征p域上。曼福德在代數(shù)幾何方面的貢獻(xiàn)是多方面的，構(gòu)造了給定虧格的曲線的?？臻g、幾何不變量的研究等，因?yàn)檫@些貢獻(xiàn)，他于1974年獲菲爾茲獎(jiǎng)。龐比利則因其在解析數(shù)論、代數(shù)幾何和分析數(shù)學(xué)上的杰出工作于1974年獲菲爾茲獎(jiǎng)。

三維情形的分類(lèi)直到上個(gè)世紀(jì)80年代才由日本數(shù)學(xué)家森重文完成，他因此于1990年獲菲爾茲獎(jiǎng)。如何把這些分類(lèi)的工作推廣到高維的情形是非?；钴S的研究方向。

前面提到的黎曼-洛赫定理是極其重要的定理，它計(jì)算了某些函數(shù)空間的維數(shù)。1954年希茨布茹赫把它推廣到高維，現(xiàn)稱(chēng)為希茨布茹赫-黎曼-洛赫定理。這是他最為人知的工作，其實(shí)他對(duì)拓?fù)?、?fù)分析和代數(shù)幾何都做出過(guò)重要的貢獻(xiàn)，1988年獲沃爾夫獎(jiǎng)。希茨布茹赫-黎曼-洛赫定理很快被格羅登迪克進(jìn)一步推廣成格羅登迪克-希茨布茹赫-黎曼-洛赫定理。為此，格羅登迪克定義了K群，這是K理論的開(kāi)始。后來(lái)阿梯亞和希茨布茹赫發(fā)展了拓?fù)銴理論，它被阿梯亞和辛格用于證明阿梯亞-辛格指標(biāo)定理。希茨布茹赫-黎曼-洛赫定理也是1963年出現(xiàn)的阿梯亞-辛格指標(biāo)定理的先聲。阿梯亞于1966年獲菲爾茲獎(jiǎng)，這個(gè)指標(biāo)定理是他最為有名的結(jié)果。K理論已成為代數(shù)、數(shù)論、幾何、拓?fù)涞确种У闹匾ぞ撸庖驗(yàn)樵谏蟼€(gè)世紀(jì)70年代建立了高階K理論而于1978年獲菲爾茲獎(jiǎng)，沃爾沃茲基因其對(duì)米爾諾關(guān)于K群的一個(gè)猜想的證明和相關(guān)的工作獲得2002年菲爾茲獎(jiǎng)。

對(duì)有限域上的代數(shù)簇，韋伊1949年提出了一個(gè)猜想，其中一部分可以看做黎曼猜想在有限域上的形式，對(duì)以后代數(shù)幾何的發(fā)展影響巨大，包括塞爾和格羅登迪克在代數(shù)幾何上的工作。上世紀(jì)五六十年代格羅登迪克用概型的語(yǔ)言改寫(xiě)了代數(shù)幾何，在此基礎(chǔ)上極大地發(fā)展了代數(shù)幾何，包括為證明韋伊猜想而建立的l進(jìn)制上同調(diào)理論。他于1966年獲菲爾茲獎(jiǎng)。其思想和工作對(duì)代數(shù)幾何與數(shù)學(xué)的發(fā)展影響深遠(yuǎn)。1974年格羅登迪克的學(xué)生德林用l進(jìn)制上同調(diào)證明了韋伊猜想中的黎曼假設(shè)部分并主要因此于1978年獲菲爾茲獎(jiǎng)。

如果一個(gè)代數(shù)簇有奇點(diǎn)，那么很多對(duì)研究無(wú)奇點(diǎn)代數(shù)簇有效的工具就失效了。1964年広中平祐找到一個(gè)辦法解消奇點(diǎn)，為此于1970年獲得菲爾茲獎(jiǎng)。幾何中的奇點(diǎn)很有意思，常常蘊(yùn)含豐富的信息，與其他的分支有出人意料的聯(lián)系，如舒伯特簇的奇點(diǎn)和李代數(shù)的表示的聯(lián)系就是一個(gè)例子。

2.6 群和李代數(shù)的表示理論

前面我們看到因?yàn)橐辉叽畏匠痰难芯慨a(chǎn)生了群論，它的應(yīng)用很廣泛。很多時(shí)候，群是通過(guò)它的表示從而應(yīng)用到其他分支和領(lǐng)域。表示在數(shù)學(xué)中間是隨處可見(jiàn)的，比如說(shuō)我們熟悉的多項(xiàng)式環(huán)，分析里面的平方可積函數(shù)空間，拓?fù)淅锩娴纳贤{(diào)群和K-群等等，就有豐富的表示結(jié)構(gòu)。在物理和化學(xué)中也很常見(jiàn)，例如在單粒子模型中，單電子的軌道波函數(shù)生成三階正交群的表示，自旋波函數(shù)生成二階酉群的表示。上個(gè)世紀(jì)60年代吉爾-曼用三階酉群的十維表示預(yù)言了Ω粒子的存在，后來(lái)很快被實(shí)驗(yàn)證實(shí)。

群表示理論是一個(gè)龐大而且非?；钴S的研究領(lǐng)域，在數(shù)學(xué)和物理中應(yīng)用廣泛。李群和代數(shù)群在單位遠(yuǎn)處的切空間是李代數(shù)，可以看做李群和代數(shù)群的線性化。李代數(shù)和相關(guān)的代數(shù)如頂點(diǎn)算子代數(shù)等及其表示同樣在數(shù)學(xué)和物理中應(yīng)用廣泛。有限群的表示可以通過(guò)其群代數(shù)的模來(lái)研究。過(guò)去幾十年，代數(shù)的表示論有很大的發(fā)展，尤其是林格爾發(fā)現(xiàn)代數(shù)表示論與量子群的聯(lián)系之后。I.M.格爾方德似乎對(duì)這個(gè)領(lǐng)域有獨(dú)特的感受，曾經(jīng)說(shuō)“所有的數(shù)學(xué)就是某類(lèi)表示論”(All of mathematics is some kind of representation theory)。他是偉大的數(shù)學(xué)家，從研究的廣度和深度來(lái)說(shuō)，上個(gè)世紀(jì)后半葉能和他相提并論的數(shù)學(xué)家是非常少的，他對(duì)表示論做出的貢獻(xiàn)廣泛深刻。

表示論的基本的思想有兩點(diǎn)：一是對(duì)稱(chēng)，二是線性化。這個(gè)領(lǐng)域關(guān)心的主要問(wèn)題有：最基本的表示的性質(zhì)，如分類(lèi)、維數(shù)、特征標(biāo)等；一般的表示如何從最基本的表示構(gòu)建；如何構(gòu)造最基本的表示；一些自然得到的表示的性質(zhì)；等等。大致說(shuō)來(lái)表示論就是要弄清楚這些事情。

表示論一直吸引著最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家，早期如索菲斯·李、E.嘉當(dāng)（陳省身先生的老師），外爾，后來(lái)有I.M.格爾方德、哈里西-錢(qián)德拉、賽爾伯格等，現(xiàn)在有朗蘭之、卡茲但、俊菲爾德、拉佛格、路茲梯格、吳寶珠，等等。奧昆寇夫的工作揭示了概率論、表示論和代數(shù)幾何之間的一些深刻聯(lián)系，并因此獲2006年菲爾茲獎(jiǎng)。

表示論過(guò)去幾十年的發(fā)展可能給人印象最深的是幾何方法在代數(shù)群和量子群表示理論中的運(yùn)用并由此產(chǎn)生的幾何表示論、用表示論研究數(shù)論的朗蘭之綱領(lǐng)和一個(gè)平行的幾何朗蘭之綱領(lǐng)、李（超）代數(shù)及其表示的發(fā)展與在理論物理和數(shù)學(xué)物理中的應(yīng)用（包括標(biāo)準(zhǔn)模型），還有近20年的一股范疇化潮流。另外，傳統(tǒng)的李群表示理論、代數(shù)表示論和有限群的模表示理論也是很活躍的。這些依然是表示論的主要研究方向。幾何中的相交上同調(diào)、反常層理論和K理論在表示論中的運(yùn)用給表示論帶來(lái)巨大的進(jìn)展，很多困難的問(wèn)題得到解決，也帶來(lái)了很多新的研究課題。這個(gè)方向的一個(gè)代表性人物是路茲梯格。正是用幾何的方法，他建立了有限李型群的特征標(biāo)理論，或許這是目前有限群表示理論中最為深入的部分。

2.7 計(jì)數(shù)、集合論和數(shù)理邏輯

計(jì)算物品的數(shù)量是我們?nèi)粘Ｉ罱?jīng)常要做的事情。對(duì)有限集合，確定其中元素的個(gè)數(shù)理論上不是問(wèn)題，一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)就行了。組合論的一部分就是研究計(jì)數(shù)，和數(shù)論密切相關(guān)。但對(duì)無(wú)限集合，事情顯然并不簡(jiǎn)單。例如某人有個(gè)面積無(wú)窮的王國(guó)，國(guó)土增加一兩平方公里對(duì)他顯然沒(méi)意義。無(wú)限集合的計(jì)數(shù)理論是德國(guó)人康托在19世紀(jì)后半葉建立的，稱(chēng)為集合論。其中一個(gè)核心的概念是等勢(shì)：如果兩個(gè)集合之間能一一對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)為等勢(shì)。有意思的是，自然數(shù)集合和有理數(shù)集合等勢(shì)，但與實(shí)數(shù)集合不等勢(shì)。1874年，康托提出有名的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)：實(shí)數(shù)集合的任何無(wú)窮子集要么與實(shí)數(shù)集合等勢(shì)，要么與自然數(shù)集合等勢(shì)。1940年哥德?tīng)栕C明了這個(gè)假設(shè)與現(xiàn)有的公理體系不矛盾。上世紀(jì)60年代，科恩建立了強(qiáng)有力的力迫法，證明了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)之否與現(xiàn)有的公理體系不矛盾，他因此獲得了1966年的菲爾茲獎(jiǎng)。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)是建立在集合論上的，集合論也是數(shù)理邏輯的重要組成部分。連續(xù)統(tǒng)假設(shè)表明，我們的邏輯體系并不能對(duì)每個(gè)陳述斷定真?zhèn)?。事?shí)上更早以前就有各種各樣的悖論和哥德?tīng)柕牟煌耆ɡ肀砻鲾?shù)學(xué)邏輯體系的危機(jī)。數(shù)學(xué)家為補(bǔ)救這些缺陷做了巨大的努力，這包括羅素和懷特海德的3大卷《數(shù)學(xué)原理》等。羅素獲得1950年的諾貝爾文學(xué)獎(jiǎng)。與數(shù)理邏輯密切相關(guān)的一個(gè)問(wèn)題是P和NP問(wèn)題，這是克雷數(shù)學(xué)研究所的千禧年問(wèn)題之一，也是理論計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域最有名的問(wèn)題。簡(jiǎn)單說(shuō)，P和NP本質(zhì)上問(wèn)的是如下事情：給了一些整數(shù)，能否有很快捷的方法（即多項(xiàng)式時(shí)間算法）判斷這些整數(shù)的某一部分的和為零。

模型論是數(shù)理邏輯的一個(gè)分支，在代數(shù)和代數(shù)幾何有深刻的應(yīng)用，有些代數(shù)幾何結(jié)果是最先用模型論發(fā)現(xiàn)并證明的。1996年赫魯曉夫斯基用模型論證明了函數(shù)域上的莫德?tīng)?朗猜想，名噪一時(shí)。

3 形與幾何、拓?fù)?/h2>

最簡(jiǎn)單的形無(wú)疑是線段、直線、多邊形、多面體、圓、球、橢圓、拋物線、雙曲線等，它們也是幾何與拓?fù)涞钠瘘c(diǎn)，人類(lèi)很早就研究它們了。我們做一個(gè)簡(jiǎn)單的游戲：多邊形的頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于邊的個(gè)數(shù)，多面體的面的個(gè)數(shù)加上頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于棱的個(gè)數(shù)加2。后一個(gè)等式稱(chēng)為歐拉公式，雖然并不是歐拉最早發(fā)現(xiàn)的。這些公式被認(rèn)為是拓?fù)鋵W(xué)的起源。拓?fù)鋵W(xué)研究幾何空間的整體性質(zhì)，就是說(shuō)那些在連續(xù)變形下不變的性質(zhì)，是數(shù)學(xué)的主流分支，在數(shù)學(xué)的其他分支和物理中的應(yīng)用極其廣泛，有時(shí)是研究一些問(wèn)題必不可少的工具，如廣義相對(duì)論中的一般性的時(shí)空奇點(diǎn)定理就是彭羅斯把拓?fù)鋵W(xué)引入廣義相對(duì)論而證明的。

如果把多面體的棱角磨平，再整理一下，我們就得到球了。歐拉公式本質(zhì)上是說(shuō)球面的歐拉示性數(shù)等于2。一個(gè)幾何空間的歐拉示性數(shù)是通過(guò)空間的同調(diào)群定義的。球面當(dāng)然是一個(gè)光滑的曲面。對(duì)于一般的光滑曲面，有高斯-伯內(nèi)特公式，它把歐拉示性數(shù)和曲面的曲率聯(lián)系起來(lái)，從而把微分幾何與拓?fù)渎?lián)系起來(lái)，非常深刻，對(duì)以后數(shù)學(xué)的發(fā)展影響很大。上世紀(jì)40年代，阿冷多爾費(fèi)爾和韋伊把它推廣到高維的情形。陳省身對(duì)高維情形的高斯-伯內(nèi)特公式的證明則是整體微分幾何的一個(gè)開(kāi)端，影響深遠(yuǎn)。

上面提到同調(diào)群，它們是研究拓?fù)涞闹饕侄沃?，也是代?shù)拓?fù)溲芯康闹饕獙?duì)象之一?；诓煌哪康?，人們定義了各種各樣的同調(diào)群和上同調(diào)群。在好的空間如流形上，這些（上）同調(diào)群都是一樣，而且有著名的龐加萊對(duì)偶。但對(duì)有奇點(diǎn)的空間，如何定義好的（上）同調(diào)群，花了人們很長(zhǎng)的時(shí)間。直到上個(gè)世紀(jì)80年代，高熱斯基和曼可菲森才找到對(duì)空間奇點(diǎn)研究很有意義的一種上同調(diào)，稱(chēng)為相交上同調(diào)。后來(lái)伯恩斯坦、貝林森和德林3人用層的語(yǔ)言處理相交上同調(diào)，形成了反常層理論。很快相交上同調(diào)和反常層理論成為研究代數(shù)幾何、拓?fù)浜捅硎菊摰膹?qiáng)有力工具。夫洛爾同調(diào)在低維拓?fù)浜托翈缀沃惺怯辛Φ难芯抗ぞ撸欠蚵鍫枮檠芯啃翈缀沃械陌⒅Z德猜想而引進(jìn)的。

同調(diào)群中有一些特別的元素對(duì)研究認(rèn)識(shí)空間的幾何結(jié)構(gòu)非常重要，這些元素就是示性類(lèi)。最著名的示性類(lèi)有陳類(lèi)、史提芬-惠特尼類(lèi)、龐特列亞金類(lèi)等。對(duì)光滑的復(fù)代數(shù)簇的德拉姆上同調(diào)，其中一些元素稱(chēng)為霍奇類(lèi)。代數(shù)幾何中一個(gè)未解決的主要問(wèn)題是霍奇猜想，它斷言霍奇類(lèi)都是一些代數(shù)圈類(lèi)的有理線性組合，這也是克雷數(shù)學(xué)研究所的千禧年問(wèn)題之一。

圓和球是我們熟悉的基本形狀，在數(shù)學(xué)上的意義非凡。圓周在三維空間的嵌入稱(chēng)為紐結(jié)。通俗說(shuō)來(lái)紐結(jié)就是一根首尾相連的柔軟繩子，在不弄斷繩子，也不打結(jié)的情況下，它在三維空間中的各種樣子。紐結(jié)理論是拓?fù)鋵W(xué)中非?；钴S的分支，一個(gè)重要的問(wèn)題是尋找紐結(jié)不變量。20年代發(fā)現(xiàn)的亞歷山大多項(xiàng)式是紐結(jié)不變量，紐結(jié)補(bǔ)的基本群是紐結(jié)不變量，稱(chēng)為紐結(jié)群。70年代，瑟斯頓把雙曲幾何引入紐結(jié)的研究中，從而定義了新的有力的不變量。80年代瓊斯發(fā)現(xiàn)了新的多項(xiàng)式不變量——瓊斯多項(xiàng)式。威騰和孔策維奇等人一系列的后續(xù)工作則揭示了紐結(jié)和統(tǒng)計(jì)力學(xué)、量子場(chǎng)論之間的深刻聯(lián)系。瓊斯多項(xiàng)式是瓊斯1990年獲菲爾茲獎(jiǎng)的重要工作之一。圖拉耶夫等人用量子群研究紐結(jié)，得到新的不變量，很有影響。以上是圓周給我們帶來(lái)的深刻數(shù)學(xué)的一部分。下面我們看一下高維的情形——球面。

關(guān)于球面，最有名的應(yīng)該是龐加萊1904年提出的猜想，它斷言一個(gè)單連通的閉三維流形與球面同胚。在2003年被解決前，這個(gè)猜想是拓?fù)鋵W(xué)中的一個(gè)中心問(wèn)題。在此之前，數(shù)學(xué)家做過(guò)很多的努力。既然三維的情形證明不了，人們就對(duì)高維的情形考慮類(lèi)似的問(wèn)題。1961年，斯梅爾證明了當(dāng)維數(shù)大于4時(shí)，高維的龐加萊猜想成立，他因此獲得1966年的菲爾茲獎(jiǎng)。1982年弗里德曼對(duì)四維的情形證明了龐加萊猜想，于是他獲得1986年的菲爾茲獎(jiǎng)。龐加萊猜想最后在2003年被佩雷曼證明，這是轟動(dòng)一時(shí)的結(jié)果，標(biāo)志著數(shù)學(xué)中一個(gè)大問(wèn)題的終結(jié)，也是克雷數(shù)學(xué)研究所7個(gè)千禧年問(wèn)題中到目前為止唯一被證明的。佩雷曼證明這個(gè)猜想所用的工具是非常有意思的，那就是幾何分析。幾何分析是微分幾何與微分方程的交叉學(xué)科，丘成桐、哈密頓等人在其中的建立和發(fā)展起了突出的作用，是一個(gè)有力的工具，也是非?；钴S的研究方向。2007年布仁德?tīng)柡蜕岫饔脦缀畏治龅姆椒ㄗC明了微分球定理，是流形理論中一個(gè)重要結(jié)論。

球面帶來(lái)的深刻數(shù)學(xué)還很多。1956年，米爾諾發(fā)現(xiàn)七維球面上有非標(biāo)準(zhǔn)的微分結(jié)構(gòu)。這一發(fā)現(xiàn)對(duì)拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展影響很大，是米爾諾最有名的工作，也是他1962年獲菲爾茲獎(jiǎng)的主要工作之一。六維球面是否有復(fù)結(jié)構(gòu)則是困擾數(shù)學(xué)家很多年的一個(gè)問(wèn)題，至今未解決。球面的同倫群也是拓?fù)鋵W(xué)研究的重要問(wèn)題，至今未完全解決。上世紀(jì)50年代初，塞爾成功計(jì)算了球面的很多同倫群，這是他獲1954年菲爾茲獎(jiǎng)的重要工作之一。同倫群現(xiàn)在仍是拓?fù)鋵W(xué)研究的一個(gè)主要方向。

在幾何與拓?fù)渲?，一個(gè)基本問(wèn)題是對(duì)流形分類(lèi)。流形有各種各樣的，如拓?fù)淞餍?、微分流形、?fù)流形、黎曼流形、辛流形、無(wú)窮維流形，等等，這里面的問(wèn)題和結(jié)果都是非常豐富的。閉二維拓?fù)淞餍问乔?，其分?lèi)很早就知道，結(jié)果很漂亮：同構(gòu)類(lèi)由曲面的虧格完全確定。曲面的虧格就是曲面所圍的空洞的個(gè)數(shù)，如汽車(chē)輪胎是虧格為一的曲面，它只圍了一個(gè)空洞。三維流形的研究中，瑟斯頓的工作非常重要，他發(fā)現(xiàn)雙曲幾何在三維流形的研究中起突出的作用。瑟斯頓提出的幾何化猜想是比龐加萊三維球面猜想更廣泛的猜想，后與龐加萊猜想一起得到證明。瑟斯頓因其在三維流形上的開(kāi)創(chuàng)性工作獲得1982年的菲爾茲獎(jiǎng)。

4 切線、面積、速度、加速度等和微積分、分析數(shù)學(xué)

我們會(huì)求一些簡(jiǎn)單圖形如多邊形、圓等的面積，也會(huì)求圓的切線，但對(duì)更復(fù)雜的圖形，這就不是一件容易的事情了。在物理中，對(duì)于非勻速運(yùn)動(dòng)，求加速度和路程同樣不是一件容易的事情。對(duì)這些問(wèn)題的探索最后導(dǎo)致牛頓和萊布尼茲在17世紀(jì)分別獨(dú)立建立了微積分。用微積分我們能輕易求出一些復(fù)雜圖形的面積、體積，確定物體的加速度、路程，π的精確值等等。微積分及在其上發(fā)展起來(lái)的分析數(shù)學(xué)成為認(rèn)識(shí)和探索世界奧秘最有力的數(shù)學(xué)工具之一，為數(shù)學(xué)帶來(lái)全面的大發(fā)展，促進(jìn)了很多新分支的產(chǎn)生如解析數(shù)論、實(shí)分析、復(fù)分析、調(diào)和分析、微分幾何、微分方程等等。

微積分的基本概念有極限、微分和積分，分析數(shù)學(xué)的基本研究對(duì)象是函數(shù)。1927年物理學(xué)家狄拉克在研究量子力學(xué)時(shí)引進(jìn)了δ函數(shù)，它不是經(jīng)典意義下的函數(shù)，給當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家?guī)?lái)很大的困惑。許瓦茨建立的分布理論使得δ函數(shù)變得容易理解并能?chē)?yán)格處理，他因此獲1950年的菲爾茲獎(jiǎng)。分布理論在現(xiàn)代偏微分方程理論中極其重要。

正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都是周期函數(shù)。傅立葉認(rèn)為它們是描述周期運(yùn)動(dòng)的基本函數(shù)并在19世紀(jì)初建立了相應(yīng)的理論，現(xiàn)稱(chēng)為傅立葉分析。傅立葉分析及其更一般的理論調(diào)和分析是內(nèi)容非常豐富且應(yīng)用很廣泛的數(shù)學(xué)分支。如果注意到正弦和余弦函數(shù)可以看作圓周上的函數(shù)并把單位圓周與模長(zhǎng)為一的復(fù)數(shù)等同起來(lái)，就知道傅立葉分析與李群表示論是密切相關(guān)的?？査梢蚱湓谡{(diào)和分析上的重要工作于1992年獲沃爾夫獎(jiǎng)，特別是他理清了函數(shù)與其傅立葉級(jí)數(shù)表示的關(guān)系。陶哲軒在調(diào)和分析上的工作也是他獲菲爾茲獎(jiǎng)的工作的一部分。李群和拓?fù)淙荷系恼{(diào)和分析是一個(gè)重要的分支，與泛函分析密切相關(guān)，在數(shù)論中的深刻應(yīng)用使人驚嘆。

大自然很多的奧秘是通過(guò)微分方程表述的，描寫(xiě)電磁運(yùn)動(dòng)的麥克斯韋方程，描寫(xiě)微觀世界的薛定諤方程，描寫(xiě)流體運(yùn)動(dòng)的納維爾-斯托克斯方程，描寫(xiě)宏觀世界的愛(ài)因斯坦方程等等。這些方程都是非線性微分方程，有很多人研究，納維爾-斯托克斯方程是否有整體光滑解則是克雷數(shù)學(xué)研究所的千禧年問(wèn)題之一。

在線性偏微分方程上，赫曼德的工作可能是最深刻和突出的，他因此獲得1962年的菲爾茲獎(jiǎng)。P.L.里翁斯在非線性方程上的杰出工作使他獲得了1994年的菲爾茲獎(jiǎng)。丘成桐發(fā)展一些強(qiáng)有力的偏微分方程技巧用以解決微分幾何的一些重要問(wèn)題如卡拉比猜想等，在這些工作的基礎(chǔ)上，幾何分析逐步發(fā)展起來(lái)。因?yàn)檫@些工作，丘獲得1982年的菲爾茲獎(jiǎng)，另外，他的工作在理論物理和數(shù)學(xué)物理中有極大的影響。偏微分方程領(lǐng)域引人入勝的深刻問(wèn)題比比皆是，一流的數(shù)學(xué)家很多，如拉克斯、卡發(fā)熱利等等。

只有一個(gè)獨(dú)立變量的微分方程稱(chēng)為常微分方程，很多這類(lèi)方程來(lái)自經(jīng)典力學(xué)，如牛頓第二定律，獨(dú)立變量很多時(shí)候就是時(shí)間?；祜偫碚搧?lái)自常微分方程的研究。事情起源于19世紀(jì)末，自17世紀(jì)以來(lái)人們一直試圖弄清太陽(yáng)系行星運(yùn)行軌道的穩(wěn)定性。如果只有兩個(gè)星球，那么牛頓的萬(wàn)有引力定律很容易導(dǎo)出星球的軌道行為，但太陽(yáng)系是多體的，極其復(fù)雜。龐加萊想先把三體問(wèn)題解決，但發(fā)現(xiàn)問(wèn)題太困難，清楚寫(xiě)出微分方程的解是沒(méi)希望的，只能考慮解的定性研究，結(jié)果發(fā)現(xiàn)解的混沌性。對(duì)一些微分方程的解混沌性，有一個(gè)通俗的說(shuō)法——蝴蝶效應(yīng)，意指在一定的約束下，剛開(kāi)始時(shí)很小的差別可以導(dǎo)致后來(lái)巨大的差異?；煦缋碚摰膽?yīng)用十分廣泛，氣象預(yù)報(bào)是其中之一。三體問(wèn)題的一個(gè)冪級(jí)數(shù)解在1912年由遜德曼給出，但對(duì)初始值有很強(qiáng)的要求，而且收斂得很慢。遜德曼的結(jié)果被王秋東（音譯）在1991年推廣到多體的情形，但沒(méi)考慮奇點(diǎn)問(wèn)題。

常微分方程解的定性研究與動(dòng)力系統(tǒng)密切相關(guān)。太陽(yáng)系的運(yùn)動(dòng)是一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)（運(yùn)動(dòng)和力之間關(guān)系的系統(tǒng)），由萬(wàn)有引力決定，所以是一個(gè)常微分方程的動(dòng)力系統(tǒng)，龐加萊對(duì)太陽(yáng)系和三體問(wèn)題的研究是動(dòng)力系統(tǒng)史上非常重要的工作。動(dòng)力系統(tǒng)是很活躍的研究領(lǐng)域，其中一個(gè)研究方向是復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)，研究函數(shù)的迭代。約科茲因其在動(dòng)力系統(tǒng)的杰出工作獲1994年菲爾茲獎(jiǎng)。曼克木棱在復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)方面的重要工作是他獲1998年菲爾茲獎(jiǎng)的原因之一。部分因其在動(dòng)力系統(tǒng)方面的重要工作，斯米爾諾夫獲得2010年菲爾茲獎(jiǎng)。研究有不變測(cè)度的動(dòng)力系統(tǒng)的分支稱(chēng)為遍歷論，與調(diào)和分析、李群及其表示、代數(shù)群、數(shù)論有密切的聯(lián)系。林德施特勞斯因其在遍歷論中的出色工作獲得2010年的菲爾茲獎(jiǎng)，另外馬古利斯獲1978年菲爾茲獎(jiǎng)的工作中遍歷論起了重要的作用。

在19世紀(jì)對(duì)常微分方程的研究導(dǎo)致了李群和李代數(shù)的誕生，后者在數(shù)學(xué)和物理中的應(yīng)用廣泛深刻。

無(wú)限維空間上的分析是泛函分析，巴拿赫空間和希爾伯特空間及其上面的算子是基本的研究對(duì)象，其中的希爾伯特空間對(duì)量子力學(xué)有著基本的重要性。泛函分析重要的一支是算子代數(shù)，與表示論、微分幾何等有深入的聯(lián)系。孔內(nèi)斯因?qū)σ恍┧阕哟鷶?shù)的分類(lèi)獲得1982年的菲爾茲獎(jiǎng)。他還把泛函分析引入非交換微分幾何的研究中。高韋爾斯主要因其在巴拿赫空間上的重要工作獲1998年的菲爾茲獎(jiǎng)。

5 數(shù)學(xué)物理

物理一直是給數(shù)學(xué)發(fā)展帶來(lái)最為強(qiáng)大推動(dòng)力量的學(xué)科，在這里有著無(wú)窮無(wú)盡的問(wèn)題，提供非常鮮活、生動(dòng)的思想，它永遠(yuǎn)給數(shù)學(xué)帶來(lái)很多特別深刻的東西。弦理論、量子場(chǎng)論和規(guī)范場(chǎng)論是非?；钴S的領(lǐng)域。弦理論能統(tǒng)一4種基本的作用力，把量子力學(xué)和相對(duì)論統(tǒng)一起來(lái)?？ɡ?丘流形在超弦理論中非常重要，因?yàn)轭~外的時(shí)空被認(rèn)為是六維卡拉比-丘流形。楊-米爾斯理論是一種規(guī)范場(chǎng)論，共形場(chǎng)論則是一種量子場(chǎng)論。

上個(gè)世紀(jì)80年代初期，唐納森利用楊-米爾斯理論中的方程的一類(lèi)特別的解，稱(chēng)為瞬子，研究四維流形的微分結(jié)構(gòu)，證明了一大類(lèi)四維流形沒(méi)有光滑結(jié)構(gòu)，而有些則有無(wú)窮多的微分結(jié)構(gòu)。唐納森因其在四維流形上的開(kāi)創(chuàng)性工作獲得1986年的菲爾茲獎(jiǎng)。結(jié)合他的結(jié)果和弗里德曼關(guān)于四維流形分類(lèi)的結(jié)果，1987年陶貝斯證明了四維歐氏空間有不可數(shù)多的微分結(jié)構(gòu)。注意我們生存的三維空間加上一維的時(shí)間就是四維歐式空間，而其他維數(shù)的歐式空間則僅有一種微分結(jié)構(gòu)。瞬子在數(shù)學(xué)和物理中都有很多的用處，楊-米爾斯理論在數(shù)學(xué)上則可能是最受重視的規(guī)范場(chǎng)理論，是否對(duì)任意的緊單的規(guī)范群在四維歐式空間存在質(zhì)量間隙非負(fù)的量子楊-米爾斯理論是克雷數(shù)學(xué)研究所的千禧年問(wèn)題之一。

在共形場(chǎng)論的研究中，群論、李代數(shù)、頂點(diǎn)算子代數(shù)、維那索拉代數(shù)等代數(shù)結(jié)構(gòu)是描述對(duì)稱(chēng)的工具，十分重要。

也是在上個(gè)世紀(jì)80年代初，數(shù)學(xué)物理中對(duì)量子可積系統(tǒng)和楊-巴克斯特方程的研究導(dǎo)致了俊菲爾德和神保（相互獨(dú)立）在上世紀(jì)80年代中期定義了量子群，隨后引發(fā)了世界范圍的研究熱潮，產(chǎn)生了很多深刻的結(jié)果如典范基和晶體基，新的紐結(jié)不變量等，引出很多新的研究問(wèn)題?？》茽柕乱蚱湓诹孔尤汉捅硎菊撋系墓ぷ鳙@1990年菲爾茲獎(jiǎng)。

在過(guò)去幾十年的數(shù)學(xué)物理進(jìn)展中必須提到威騰的工作，他帶來(lái)很多新的深刻思想，在數(shù)學(xué)和物理中架起橋梁，為相關(guān)研究方向帶來(lái)全新的面貌和很多問(wèn)題，給數(shù)學(xué)和物理兩者都帶來(lái)巨大的影響，因?yàn)槠渖羁痰墓ぷ魉?990年獲得菲爾茲獎(jiǎng)。在對(duì)兩個(gè)假設(shè)的量子場(chǎng)論作比較時(shí)，威騰對(duì)代數(shù)曲線的?？臻g提出一個(gè)猜想，后被孔策維奇證明。同樣基于量子場(chǎng)論的考慮，威騰認(rèn)為存在一些可通過(guò)某些積分計(jì)算的紐結(jié)和三維流形不變量，此事后被孔策維奇證實(shí)。這些工作影響很大，是孔策維奇獲得1998年菲爾茲獎(jiǎng)的部分主要工作。

近年來(lái)，統(tǒng)計(jì)力學(xué)及相關(guān)的研究方向包括隨機(jī)過(guò)程等非?；钴S，有很多突出的進(jìn)展，2010年維那尼因其關(guān)于波爾茲曼方程和蘭道阻尼的工作獲得費(fèi)爾茲獎(jiǎng)，斯米爾諾夫獲費(fèi)爾茲獎(jiǎng)的部分工作也與統(tǒng)計(jì)力學(xué)有關(guān)。

6 結(jié)束語(yǔ)

以上對(duì)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)進(jìn)展的介紹是很不全面的。不過(guò)，從以上的介紹可以看出，數(shù)學(xué)的發(fā)展始終貫穿在對(duì)基本問(wèn)題和基本對(duì)象的探索認(rèn)識(shí)中。好的問(wèn)題對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起了巨大的推動(dòng)作用。在數(shù)學(xué)研究中，我們需要考慮好的問(wèn)題，基本的問(wèn)題，同時(shí)要有好的數(shù)學(xué)思想。寫(xiě)完這篇文章后，一個(gè)強(qiáng)烈的感受是在數(shù)學(xué)的發(fā)展中，我國(guó)做出的貢獻(xiàn)太少。缺乏好的傳統(tǒng)和數(shù)學(xué)思想乃至背后的哲學(xué)思想和思考可能是一個(gè)重要的原因，在這些方面我們還有很大的差距?？赡芪覈?guó)已有很多數(shù)學(xué)家感受到我們還未形成中文數(shù)學(xué)的思考體系和語(yǔ)言體系，對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)仍然很不足，在努力成為數(shù)學(xué)強(qiáng)國(guó)的路途上我們有很多的東西需要彌補(bǔ)，需要時(shí)間，需要國(guó)家的支持，更需要數(shù)學(xué)家的努力。

1 M.克萊因.古今數(shù)學(xué)思想(1-4卷).北京大學(xué)數(shù)學(xué)系翻譯.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,2009.

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