基于微裂紋統(tǒng)計(jì)模型的PBX 力學(xué)行為

郭 虎，羅景潤(rùn)

（中國(guó)工程物理研究院總體工程研究所，四川 綿陽(yáng)621900）

引 言

高聚物黏結(jié)炸藥（polymer bonded explosive，PBX）PBX 是一種顆粒高度填充的復(fù)合材料。從細(xì)觀研究可以看出［1-4］，PBX 含有初始損傷，在外加載荷的作用下，這些損傷會(huì)進(jìn)一步演化，以顆粒斷裂、界面脫粘、黏結(jié)劑基體開(kāi)裂、變形孿晶以及剪切帶等形式使炸藥的力學(xué)性能劣化。同時(shí)，PBX的起爆機(jī)理（特別是XDT）與損傷也有密切的聯(lián)系。因此，對(duì)PBX 細(xì)觀損傷的表征是其力學(xué)行為研究的重要內(nèi)容，也是武器安全性研究的基礎(chǔ)。

目前，已有不少本構(gòu)模型應(yīng)用于PBX力學(xué)行為的研究，如修正的Ramberg-Osgood模型［5］、Johnson-cook模型［6］和羅景潤(rùn)等［7］結(jié)合前兩者而建立的模型，以及周風(fēng)華等［8-9］建立的損傷型ZWT 模型。但是，這些本構(gòu)模型都沒(méi)有較好地表征PBX 細(xì)觀損傷。微裂紋統(tǒng)計(jì)模型（Statistical Crack Mechanics，SCRAM）是基于微裂紋擴(kuò)展的本構(gòu)模型［10-11］，利用微裂紋尺寸表征材料細(xì)觀損傷，能較好地反映材料細(xì)觀物理過(guò)程［12-13］。本研究基于微裂紋統(tǒng)計(jì)模型，分析了PBX 的力學(xué)行為及相應(yīng)的物理過(guò)程，以及黏性對(duì)PBX 力學(xué)行為的影響。

1 模型的建立

由于考慮的因素較多，SCRAM 本構(gòu)模型本身比較復(fù)雜，為方便應(yīng)用，相繼出現(xiàn)了各向同性ISOSCRAM 模型［14］和在其基礎(chǔ)上建立的黏彈性Visco-SCRAM 模型［15-16］。如圖1所示，Visco-SCRAM模型由一個(gè)包含多個(gè)Maxwell體并聯(lián)的黏彈性體和一個(gè)由SCRAM 模型定義的微裂紋損傷體串聯(lián)而成。其中，是偏應(yīng)力率，是黏彈性偏應(yīng)變率，是微裂紋損傷體的偏應(yīng)變率，而Gn和ηn分別是第n個(gè)Maxwell體的剪切模量和黏性系數(shù)。

在第n個(gè)Maxwell體里，有：

圖1 Visco-SCRAM 模型結(jié)構(gòu)圖［15］Fig.1 Schematic representation of Visco-SCRAM model［15］

由于彈簧與黏壺串聯(lián)，故黏彈性應(yīng)變率等于彈簧與黏壺產(chǎn)生的應(yīng)變率之和，即：

故第n個(gè)Maxwell體的偏應(yīng)力率為：

即

式中：τ（n）=η（n）／G（n）是 第n個(gè)Maxwell體 的 松 弛時(shí)間。

對(duì)于由多個(gè)Maxwell體并聯(lián)的黏彈性體，其偏應(yīng)力S是各Maxwell體的偏應(yīng)力的和，即：

所以黏彈性體的偏應(yīng)力、偏應(yīng)力率和偏應(yīng)變率的關(guān)系可以表示為：

對(duì)于整個(gè)模型，總的偏應(yīng)變率為黏彈性偏應(yīng)變率和微裂紋損傷體的偏應(yīng)變率的和，即：

微裂紋損傷體的偏應(yīng)變和偏應(yīng)力的關(guān)系可表示為［15］：

其中，βe是與剪切模量G和初始裂紋分布N0相關(guān)的參數(shù)，c是微裂紋平均半徑，

式中：A 是常數(shù)；a為初始缺陷尺寸。

將其代入（3）式，可以得到：

寫(xiě)成率的形式為：

聯(lián)立方程（1）、（2）和（4），得到：

另外，模型假設(shè)體應(yīng)變?chǔ)舖和體應(yīng)力σm的關(guān)系為：

式中：k為材料的體積模量。

模型中含有微裂紋擴(kuò)展速率，該變量難以測(cè)量。根據(jù)實(shí)驗(yàn)觀察與總結(jié)［16］，微裂紋擴(kuò)展速率主要依賴(lài)于應(yīng)力強(qiáng)度因子。本研究利用Dienes和Johnson等［17-18］總結(jié)的經(jīng)驗(yàn)公式對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子和微裂紋擴(kuò)展速率進(jìn)行計(jì)算。

2 數(shù)值計(jì)算與分析

將本構(gòu)方程在單軸應(yīng)力下進(jìn)行簡(jiǎn)化，即將式（5）和（6）進(jìn)行簡(jiǎn)化，得到（v為泊松比）：

利用中心差分的方法，將上述微分方程組轉(zhuǎn)化為增量形式，可得：

和

由上述單軸應(yīng)力情況下增量形式的本構(gòu)方程和文獻(xiàn)［16］給出的關(guān)于PBX9501 的參數(shù)，可擬合得到不同加載方式和不同應(yīng)變率下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線。PBX9501中的顆粒（HMX）和黏結(jié)劑質(zhì)量分?jǐn)?shù)分別為95%和5%。

2.1 拉伸和壓縮曲線分析

由于在拉伸和壓縮下的損傷機(jī)理不同，PBX 存在著明顯的拉伸和壓縮不對(duì)稱(chēng)性［7］。PBX 的拉伸強(qiáng)度要比壓縮強(qiáng)度小很多，通常在一個(gè)量級(jí)左右。圖2是通過(guò)Visco-SCRAM 模型擬合出的拉伸和壓縮下的應(yīng)力應(yīng)變曲線（應(yīng)變率1／s），可以看出，兩者明顯不對(duì)稱(chēng)，且其拉伸和壓縮的強(qiáng)度和模量與實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本一致。所以，Visco-SCRAM 模型能夠反映PBX 的拉壓不對(duì)稱(chēng)性，而模型的這一特征來(lái)自應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算公式。

圖2 Visco-SCRAM 單軸拉伸與壓縮曲線Fig.2 Simulated stress-strain response under uniaxial tension and compression

PBX 是一種應(yīng)變率相關(guān)材料，在拉伸與壓縮狀態(tài)下，PBX 的模量和強(qiáng)度均隨應(yīng)變率的增大而增加。圖3和圖4分別是通過(guò)Visco-SCRAM 模型擬合出的拉伸與壓縮狀態(tài)的單軸應(yīng)力-應(yīng)變曲線?？梢钥闯觯瑑煞N狀態(tài)下的曲線均有明顯的應(yīng)變率效應(yīng)，模量和強(qiáng)度均隨應(yīng)變率的增大而增加，且在高應(yīng)變率（101～103s-1）下更加明顯。

另外，在相對(duì)較低的應(yīng)變率（＜10s-1）下曲線的硬化效應(yīng)并不明顯，在軟化之前應(yīng)力應(yīng)變幾乎呈線性關(guān)系，而在應(yīng)變率較高時(shí)則表現(xiàn)出明顯的硬化效應(yīng)。這種硬化不明顯的現(xiàn)象與模型選取的黏性參數(shù)有關(guān)。

計(jì)算采用PBX9501相關(guān)參數(shù)，其壓縮狀態(tài)下的計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好，兩者的強(qiáng)度與模量在進(jìn)入軟化階段前均相近（如圖5）。其中，準(zhǔn)靜態(tài)實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)自Wiegand等［19］的工作，動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)來(lái)自Dobratz等［20］的工作。進(jìn)入軟化階段后，動(dòng)態(tài)與準(zhǔn)靜態(tài)的計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果均相差較大，說(shuō)明Visco-SCRAM 模型不能較好地模擬PBX 的軟化階段，這可能是出現(xiàn)宏觀裂紋造成的。由于準(zhǔn)靜態(tài)情況下計(jì)算曲線中的硬化效應(yīng)不明顯，其擬合結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的差異比動(dòng)態(tài)情況大。所以，Visco-SCRAM模型更適合于模擬PBX 在動(dòng)態(tài)情況下的力學(xué)行為。

由以上結(jié)果可以看出，Visco-SCRAM 模型能較好地反映PBX 的模量和強(qiáng)度隨應(yīng)變率增大而增加的特征，且其模量和強(qiáng)度的計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好。但該模型只能模擬PBX 軟化前的階段，軟化階段的誤差較大。

圖5 準(zhǔn)靜態(tài)和動(dòng)態(tài)壓縮情況下應(yīng)力-應(yīng)變的擬合結(jié)果與實(shí)驗(yàn)Fig.5 Comparison of the stress-strain responses calculated by Visco-SCRAM with data under static and dynamic compression

2.2 物理過(guò)程分析

SCRAM 模型的建立是基于細(xì)觀微裂紋的擴(kuò)展，微裂紋的平均半徑和微裂紋的擴(kuò)展速率是其中的重要變量，它們會(huì)隨著加載的過(guò)程而變化。

單軸壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線和其過(guò)程中微裂紋平均半徑隨應(yīng)變的變化情況見(jiàn)圖6和圖7。

其中c／c0表示微裂紋平均半徑與初始平均半徑的比值。從微裂紋平均半徑與應(yīng)變的關(guān)系可以看出，初始的A點(diǎn)到B的過(guò)程中，微裂紋平均半徑基本不變，即c／c0≈1。當(dāng)?shù)竭_(dá)B點(diǎn)后，應(yīng)力足夠大，致使微裂紋開(kāi)始快速擴(kuò)展，微裂紋半徑也快速增大。在C點(diǎn)，達(dá)到應(yīng)力峰值，此時(shí)微裂紋平均半徑大約是初始半徑的10倍，即c／c0≈10。通過(guò)對(duì)各應(yīng)變率下壓縮加載的分析，到達(dá)應(yīng)力峰值時(shí)的微裂紋平均半徑隨應(yīng)變率的增大而增大（如應(yīng)變率為103s-1時(shí)，c／c0≈16）。另外，在拉伸情況下（10s-1），到達(dá)應(yīng)力峰值時(shí)的微裂紋平均半徑只是初始半徑的兩倍（c／c0≈2），明顯小于同等應(yīng)變率下壓縮的情況。在其他應(yīng)變率下分析也能得到同樣的規(guī)律，即對(duì)于應(yīng)力峰值時(shí)的微裂紋平均半徑，拉伸加載下明顯小于壓縮的情況。經(jīng)過(guò)應(yīng)力峰值之后，由于微裂紋半徑過(guò)大，微裂紋聚合、生長(zhǎng)，使材料發(fā)生宏觀的破壞，致使材料進(jìn)入軟化階段（C—D）。上述分析能在一定程度上反映材料的細(xì)觀物理過(guò)程。

微裂紋是PBX 主要的損傷類(lèi)型，而SCRAM 模型能從微裂紋擴(kuò)展的角度描述PBX 在受載過(guò)程中的細(xì)觀物理過(guò)程，這將有助于研究PBX 宏觀力學(xué)行為與細(xì)觀物理過(guò)程的聯(lián)系。

2.3 黏性對(duì)PBX 力學(xué)性能的影響

PBX 的黏性主要來(lái)自黏結(jié)劑，黏結(jié)劑越少，黏性對(duì)PBX 力學(xué)行為的影響越小。Visco-SCRAM 模型里的黏性主要來(lái)自廣義Maxwell體里的松弛時(shí)間，表1中關(guān)于黏性的參數(shù)是通過(guò)半經(jīng)驗(yàn)的方式得到的。首先通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到PBX 的模量與應(yīng)變率的關(guān)系，然后半經(jīng)驗(yàn)地假設(shè)松弛時(shí)間是應(yīng)變率倒數(shù)的十分之一，從而通過(guò)最小二乘法擬合數(shù)據(jù)點(diǎn)得到松弛時(shí)間與模量的關(guān)系，即應(yīng)力松弛譜。Bennett等［15］通過(guò)該方法得到PBX9501的松弛時(shí)間與模量呈對(duì)數(shù)關(guān)系（見(jiàn)圖8）：

式中：m1=-0.17 077；m2=0.06 825；m3=7.1 679；E和τ的單位分別為MPa和s。

圖8 PBX9501楊氏模量與松馳時(shí)間的關(guān)系［15］Fig.8 The young′s modulus versus relaxation time data for PBX9501［15］

本研究假設(shè)松弛時(shí)間是應(yīng)變率倒數(shù)的10-（q+1）倍，則可在表1給出的黏性參數(shù)的基礎(chǔ)上得到新的黏性參數(shù)組。顯然，當(dāng)q＜0 時(shí)，黏性減小；當(dāng)q＞0時(shí)，黏性增大。圖9 是不同黏性參數(shù)下Visco-SCRAM 模型單軸壓縮應(yīng)力應(yīng)變曲線（10s-1）。從圖9可以看出，黏性增大和減小對(duì)壓縮曲線的影響是不對(duì)稱(chēng)的。當(dāng)黏性增大時(shí)，模量略有減小，強(qiáng)度幾乎沒(méi)有變化，而q＞2后，模量和強(qiáng)度都不會(huì)有明顯的變化。當(dāng)黏性減小時(shí)，模量有明顯的增大，強(qiáng)度在q＜-1后也有明顯的增大，而q＜-4后，模量和強(qiáng)度都不會(huì)有明顯的變化。

圖9 黏性對(duì)Visco-SCRAM 壓縮應(yīng)力—應(yīng)變曲線的影響Fig.9 Effect of viscosity on the predicted stress—strain response under compression

以上分析說(shuō)明，黏性的變化對(duì)PBX 力學(xué)性能的影響較明顯。黏性增大時(shí)，模量和強(qiáng)度會(huì)隨之減??；黏性減小時(shí)，模量和強(qiáng)度會(huì)增大。其中，存在一定的范圍（-1＜q＜2）內(nèi)，可以使PBX 的模量變化，而強(qiáng)度幾乎保持不變。對(duì)于以上黏性增大減小時(shí)的不對(duì)稱(chēng)，可能是因?yàn)镻BX9501 的黏性本身就比較大。

3 結(jié) 論

（1）SCRAM 模型能較好地反映PBX 在拉伸和壓縮下的力學(xué)行為和相應(yīng)的細(xì)觀物理過(guò)程，對(duì)于疲勞、蠕變以及斷裂等行為，還需更加深入的研究。

（2）在壓縮或拉伸過(guò)程中，應(yīng)力較小時(shí)，微裂紋平均半徑基本保持不變。隨著應(yīng)力的增大，微裂紋擴(kuò)展速率增大，當(dāng)微裂紋擴(kuò)展到一定長(zhǎng)度時(shí)會(huì)使PBX 產(chǎn)生破壞。到達(dá)應(yīng)力峰值時(shí)，微裂紋平均半徑隨應(yīng)變率的增加而增大，且該值在拉伸時(shí)明顯比壓縮時(shí)小。

（3）減小PBX 的黏性，模量明顯增大，破壞應(yīng)變明顯減小。對(duì)于破壞應(yīng)力，存在一個(gè)閾值，當(dāng)黏性減小量小于這個(gè)閾值時(shí)，破壞應(yīng)力基本不變，超過(guò)這個(gè)閾值后，破壞應(yīng)力明顯增大。

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