關(guān)于兩個(gè)線性方程組同解問題教學(xué)的思考

李毛親

（臺(tái)州學(xué)院　數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院，浙江　臨?！?17000）

關(guān)于兩個(gè)線性方程組同解問題教學(xué)的思考

李毛親

（臺(tái)州學(xué)院數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院，浙江臨海317000）

探討教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生理解和掌握線性方程組同解的問題。首先通過(guò)對(duì)消元法理解，得出兩個(gè)線性方程組同解的充分條件；其次利用矩陣的初等變換和初等矩陣的知識(shí)，得出兩個(gè)線性方程組同解的必要條件；再者，通過(guò)理解系數(shù)矩陣列向量組與同解的關(guān)系，給出求一個(gè)向量組的極大無(wú)關(guān)組的方法。最后是怎樣從內(nèi)積的角度去看待同解問題。

線性方程組；同解；行向量組；列向量組；極大無(wú)關(guān)組；內(nèi)積

0　引言

關(guān)于線性方程組同解問題，無(wú)論是在《高等代數(shù)》還是在《線性代數(shù)》教科書中涉及的內(nèi)容并不多，但是該問題的內(nèi)涵和外延卻非常豐富多彩。問題可分為兩方面，一是內(nèi)涵，即同解問題本身；二是外延，即與同解相關(guān)聯(lián)的問題。在教科書[1]上，線性方程組的同解問題只是在第三章出現(xiàn)，經(jīng)過(guò)本章的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)同解問題的認(rèn)識(shí)是粗淺的。此后，隨著矩陣，線性空間和歐氏空間的學(xué)習(xí)，通過(guò)教師的有意引導(dǎo)，可以使得學(xué)生對(duì)線性方程組同解的問題的認(rèn)識(shí)一步步加深。

求解線性方程組時(shí)碰到的第一個(gè)問題是同解的充分條件，即為什么經(jīng)消元法得到的線性方程組與原方程組同解。關(guān)于同解的必要條件是在掌握了向量組之間等價(jià)關(guān)系的概念之后得到的。在學(xué)習(xí)了矩陣的初等變換和初等矩陣以后，線性方程組同解的充分必要條件的證明就會(huì)顯得輕松而自然。在求解向量組的極大無(wú)關(guān)組時(shí)，再次提到線性方程組的同解問題則可以使學(xué)生領(lǐng)略到同解的豐富含義。最后，隨著歐氏空間的學(xué)習(xí)，可以再次從內(nèi)積的角度去理解線性方程組的解以及同解的意義。這樣，經(jīng)過(guò)循序漸進(jìn)地教學(xué)，必然會(huì)收到很好的效果。

設(shè)所討論的線性方程組分別為

和

其中A=（aij）mn和B=（bij）sn，c=（c1，c2，…，cm）T，d=（d1，d2，…，dm）T，增廣矩陣為分別A和B。

1　線性方程組同解的充分條件

設(shè)用消元法對(duì)線性方程組（1）進(jìn)行變換得到（2）（S=m），則（2）的每一個(gè)方程都是（1）的某些方程的線性組合，所以（1）的解都是（2）的解。類似地，容易證明（1）的每一個(gè)方程也可以由（2）的某些方程線性表出，所以（2）的解也是（1）的解，于是（1）和（2）同解。得到結(jié)論：消元法把一個(gè)線性方程組變?yōu)榕c之同解的線性方程組。在此教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生對(duì)于方程之間的線性表出與解之間關(guān)系的理解比較困難，所以對(duì)同解的理解也是感性的和初步的。在學(xué)習(xí)了向量組的等價(jià)以及矩陣的概念之后,對(duì)線性方程組作消元的過(guò)程，完全可以看做是對(duì)其增廣矩陣作初等行變換的過(guò)程，而兩組方程之間的線性關(guān)系變成了增廣矩陣的行向量組之間的線性關(guān)系。所以用向量的觀點(diǎn)來(lái)看待同解問題，相應(yīng)的結(jié)論為：

如果在第三章［1］（線性方程組）證明該定理，可能會(huì)造成學(xué)生理解的困難，所以我們有意識(shí)地將該證明放在第四章［1］（矩陣）的學(xué)習(xí)之后，這樣，不僅證明過(guò)程很容易，而且也會(huì)進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)同解問題的理解（本文關(guān)于該定理的證明在第3節(jié)）。

2　線性方程組同解的必要條件

其中R（·）表示向量組或矩陣的秩。

定理2%設(shè)線性方程組Ax=c有解，若線性方程組Ax=c和Bx=d同解，則的行向量組等價(jià)。

注：定理2的前提條件“線性方程組Ax=c有解”是必不可少的，因?yàn)?，兩個(gè)線性方程組同解包含他們都無(wú)解的情形，此時(shí)他們的增廣矩陣的行向量之間不一定有線性關(guān)系。

至此，得到了兩個(gè)線性方程組同解的充要條件。

3　初等變換與初等矩陣——消元法的實(shí)質(zhì)

定理1的證明如下：

設(shè)線性方程組（1）和（2）的增廣矩陣的行向量組等價(jià)，則存在可逆矩陣P使得PA=B，Pc=d。設(shè)x0是（2）的解，則Bx=d，即PAx0=Pc。由于P可逆，所以Ax0=c，（2）的解都是（1）的解。類似可以證明（1）的解都是（2）的解，所以（1）和（2）同解。

4　從同解看系數(shù)矩陣的列向量的線性關(guān)系——求極大無(wú)關(guān)組

設(shè)矩陣A的列向量為α1，α2，…，αn，即A=（α1，α2，…，αn），A經(jīng)過(guò)初等行變換變?yōu)锽=（β1，β2，…，βn），其中β1，β2，…，βn為B的列向量，則齊次線性方程組Ax=0與Bx=0同解。這意味著x1α1+x2α2+…+xnαn=0＜＝＞x1β1+x2β2+…+xnβn=0，即向量組α1，α2，…，αn與β1，β2，…，βn有完全相同的線性關(guān)系。所以，如果βi1，βi2，…，βir是向量組β1，β2，…，βn的極大無(wú)關(guān)組，則αi1，αi2，…，αir就是向量組α1，α2，…，αn的極大無(wú)關(guān)組，反之亦然。這就是我們通常求極大無(wú)關(guān)組的方法，也是我們?cè)诮虒W(xué)中強(qiáng)調(diào)的另外一句話：列向量作行變不改變其線性關(guān)系，這句話其實(shí)是對(duì)同解問題的另一種表達(dá)。

例4.1求向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并把不屬于極大無(wú)關(guān)組的向量用極大無(wú)關(guān)組線性表出。其中，

容易看出，向量組β1，β2，β3，β4的極大無(wú)關(guān)組為β1，β2，β4，且β3=β1-5β2.由于向量組α1，α2，α3，α4與β1，β2，β3，β4有完全相同的線性關(guān)系，所以向量組α1，α2，α3，α4的極大無(wú)關(guān)組為α1，α2，α4，且α3=α1-5α2.

5　用內(nèi)積的觀點(diǎn)看線性方程組的同解

在歐氏空間，首先來(lái)看齊次線性方程組的同解問題，設(shè)齊次線性方程組Ax=0的系數(shù)矩陣的行向量為α1，α2，…，αm，則方程組可以寫成

令W=L（α1，α2，…，αm）是由A的行向量組生成的子空間，則Ax=0的解空間就是（正交補(bǔ)）。設(shè)齊次線性方程組Bx=0的系數(shù)矩陣的行向量為β1，β2，…，βs，U=L（β1，β2，…，βs），則其解空間為。于是齊次線性方程組Ax=0與Bx=0同解的充要條件為，于是，W=U。由于兩個(gè)生成子空間相等的充要條件是它們的生成元等價(jià)，所以得到結(jié)論：齊次線性方程組Ax=0與Bx=0同解的＜＝＞其解空間相等＜＝＞系數(shù)矩陣的行空間相等＜＝＞系數(shù)矩陣的行向量組等價(jià)。

考慮到非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)，容易看出，Ax=c與Bx=d同解的充要條件是它們有一個(gè)公共解，且它們的導(dǎo)出組同解。于是在有解的前提下：Ax=c與Bx=d同解的充要條件是它們有一個(gè)公共解且系數(shù)矩陣A和B的行向量組等價(jià)。

例5.1條件如例4.1，求出子空間W=L（α1，α2，…，αm）的正交補(bǔ)空間。

基礎(chǔ)解系為η1=（0，7，-18，16，3），η2=（1，8，-23，15，0），所以。

6　已知解，求方程組

縱觀線性方程組的求解過(guò)程，就是一步步求解同解方程組的過(guò)程。最后得到的解事實(shí)上也是一個(gè)線性方程組（一種簡(jiǎn)單形式的線性方程組）?；谶@樣的觀點(diǎn)，我們還可以解決這樣的問題：求一個(gè)線性方程組，使得它的解是一組已知的向量。

例6.1α1，α2，α3，α4如例5.1所給，求以α1，α2，α3，α4為解的一個(gè)齊次線性方程組。

解：首先由例4.1知該向量組的極大無(wú)關(guān)組是α1，α2，α4，所以齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為α1，α2，α4。再由例5.1，可知與α1，α2，α4等價(jià)的向量組為β1，β2，β4，所以，以它們?yōu)榛A(chǔ)解系的齊次線性方程組同解，其中，。再寫出β1，β2，β3以為基礎(chǔ)解系的齊次線性方程組的全部解：

即

于是所求的齊次線性方程組為

注：由例5.1，W=L（α1，α2，α3，α4），W┸=L（η1，η2），而齊次線性方程組系數(shù)矩陣的行空間與解空間正交，所以，當(dāng)系數(shù)矩陣的行向量為α1，α2，α3，α4，其解空間為W┸=L（η1，η2）。同理，當(dāng)系數(shù)矩陣的行向量為η1，η2時(shí)，該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系就是α1，α2，α3，α4的極大無(wú)關(guān)組α1，α2，α4。所以，所求的齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為

例6.2求出以向量α1，α2，α3，α4為解的一個(gè)非齊次線性方程組。其中α1=（7，-8，2，1），α2=（8，-10，3，1），α3=（6，-6，1，1），α4=（2，-2，2，0）。

解：α1-α4，α2-α4，α3-α4為導(dǎo)出組的解，首先求出導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系即向量組α1-α4，α2-α4，α3-α4的極大無(wú)關(guān)組為η1=α1-α4，η2=α2-α4。再求出與η1=（5，-6，0，1），η2=（6，-8，1，1）等價(jià)的向量組ξ1=（5，-6，0，1），ξ2=（1，-2，1，0）。于是所求的非齊次線性方程組的所有解為

［1］王萼芳，石明生.高等代數(shù)［M］.（3版）.北京：高等教育出版社，2013.

［2］同濟(jì)大學(xué).線性代數(shù)［M］.（5版）.北京:高等教育出版社,2007.

On the Teaching of Two System s of Linear Equations w ith Same Solutions

LIMaoqin
（School of Mathematics and Information Engineering,Taizhou University,Linhai 317000,China）

It is discussed that how to teach students to understand and master the problems about same solutions of two systems of linear equations.Firstly,the sufficient condition of same solutions problem is introduced by comprehending the elim ination.Secondly,the necessary condition of it is given by understanding elementary transformations and elementary matrices.Then,we give a w ay to find out maximal independent system s from the concept of the same solutions.Lastly,w e explore how to deal w ith the same solution problem s by scalar product in Euclidean spaces.

system of linear equations;same solution;row vector;column vector;maximal independent system; scalar product

10.13853/j.cnki.issn.1672-3708.2016.03.012

（責(zé)任編輯：耿繼祥）

2016-01-22；

2016-05-15

李毛親（1958-），女，山西太原人，副教授，碩士，主要從事運(yùn)籌學(xué)及教學(xué)研究。