概率最優(yōu)潮流方法及其在無功優(yōu)化配置中的應(yīng)用

（浙江省電力設(shè)計(jì)院，杭州310012）

輸配電技術(shù)

概率最優(yōu)潮流方法及其在無功優(yōu)化配置中的應(yīng)用

丘文千

（浙江省電力設(shè)計(jì)院，杭州310012）

針對電力系統(tǒng)運(yùn)行中存在的大量不確定因素，探討概率最優(yōu)潮流方法及其在無功優(yōu)化配置中的應(yīng)用。分析和比較了蒙特卡羅法、半不變量法、點(diǎn)估計(jì)法等幾類主要概率分析方法及特點(diǎn)，重點(diǎn)介紹點(diǎn)估計(jì)法及應(yīng)用。給出了概率無功優(yōu)化模型及蒙特卡羅法、半不變量法和點(diǎn)估計(jì)法的求解方法，通過實(shí)例對各種算法的準(zhǔn)確性進(jìn)行比較，并驗(yàn)證了方法的有效性。

電力系統(tǒng)分析；概率最優(yōu)潮流；無功優(yōu)化配置；點(diǎn)估計(jì)法

電力系統(tǒng)運(yùn)行中存在大量的不確定因素，如負(fù)荷、功率或發(fā)電出力的隨機(jī)變化，電力設(shè)備因隨機(jī)故障退出運(yùn)行等。為了掌握這些變化對系統(tǒng)運(yùn)行狀況的影響，在電力系統(tǒng)規(guī)劃設(shè)計(jì)和運(yùn)行方式的研究中需要進(jìn)行大量的潮流計(jì)算，但仍很難全面反映上述情況。概率潮流方法是解決上述問題的有效方法，根據(jù)負(fù)荷等隨機(jī)擾動的概率分布獲得待求狀態(tài)量的概率分布函數(shù)，可提供更全面的信息。但一般的概率潮流模型中的狀態(tài)變量是電壓相角和幅值，將電源出力等調(diào)控因素視為固定不變，缺乏系統(tǒng)應(yīng)對隨機(jī)擾動的調(diào)控信息。

隨著計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用，最優(yōu)化方法也得以迅速發(fā)展，廣泛應(yīng)用于國民經(jīng)濟(jì)的各個(gè)領(lǐng)域，成為提高生產(chǎn)力和資源利用效率的有效手段，正在發(fā)揮越來越大的作用。由于隨機(jī)因素的影響，在電力系統(tǒng)運(yùn)行與規(guī)劃的優(yōu)化問題中，若不考慮隨機(jī)因素將無法得出真正意義上的“最優(yōu)”決策。

概率最優(yōu)潮流方法是概率潮流方法和最優(yōu)化方法的發(fā)展與結(jié)合。本文運(yùn)用概率最優(yōu)潮流方法，通過概率無功優(yōu)化計(jì)算獲得無功出力應(yīng)對負(fù)荷隨機(jī)擾動的概率信息，有助于優(yōu)化無功配置方案。

1 概率潮流方法

概率潮流方法是電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)行的宏觀統(tǒng)計(jì)方法，在一些文獻(xiàn)中或稱為隨機(jī)潮流方法。概率潮流計(jì)算運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)方法處理系統(tǒng)運(yùn)行中的隨機(jī)變化因素，如考慮負(fù)荷波動、設(shè)備隨機(jī)故障等，根據(jù)這些隨機(jī)變化因素的概率分布獲得狀態(tài)變量的概率分布函數(shù)，如運(yùn)行電壓、支路潮流的概率分布函數(shù)等。因此，概率潮流計(jì)算比一般潮流計(jì)算能更深刻揭示系統(tǒng)運(yùn)行狀況、存在問題與薄弱環(huán)節(jié)，例如給出電壓越限概率和線路過負(fù)荷概率等，可以為運(yùn)行與規(guī)劃決策提供更完整的信息，從而得到廣泛應(yīng)用。

隨著對概率潮流計(jì)算方法研究的深入，出現(xiàn)了半不變量法（累積量法）[1]、蒙特卡羅法[2]、一次二階矩法[3]、點(diǎn)估計(jì)法[3-4]等計(jì)算方法。

蒙特卡羅法也被稱為抽樣試驗(yàn)法，通過大規(guī)模統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)獲得結(jié)果，可直接使用現(xiàn)有的確定性分析計(jì)算模型與方法，不需要進(jìn)行線性化處理和近似，便于處理隨機(jī)輸入量的相關(guān)性和設(shè)備隨機(jī)故障等，缺點(diǎn)是計(jì)算量較大，為滿足計(jì)算精度的要求，通常需要進(jìn)行大量的反復(fù)抽樣計(jì)算。

半不變量法和一次二階矩法一般以牛頓-拉夫遜法潮流方程的線性關(guān)系式為基礎(chǔ)。半不變量法利用隨機(jī)變量的半不變量性質(zhì)簡化隨機(jī)變量的卷積運(yùn)算，然后運(yùn)用Gram-Charlier級數(shù)或Edgeworth級數(shù)求出隨機(jī)變量的概率分布。半不變量法通過隨機(jī)待求量與隨機(jī)輸入量的線性關(guān)系，將隨機(jī)輸入量的m階半不變量變換為隨機(jī)待求量的m階半不變量，然后求得隨機(jī)待求量的概率分布。半不變量法假定隨機(jī)變量之間相互獨(dú)立，忽視了實(shí)際可能存在的相關(guān)性。一次二階矩法則根據(jù)隨機(jī)輸入量與隨機(jī)待求量的線性關(guān)系式，由隨機(jī)輸入量的協(xié)方差矩陣求得隨機(jī)待求量的協(xié)方差矩陣，能夠計(jì)及隨機(jī)輸入量和隨機(jī)待求量的相關(guān)性。線性化近似處理會影響計(jì)算的準(zhǔn)確性，為提高計(jì)算的準(zhǔn)確性，一次二階矩法有幾個(gè)改進(jìn)模型[5]，但都增加了模型和計(jì)算的復(fù)雜性。

與蒙特卡羅法相比，點(diǎn)估計(jì)法同樣可以在很大程度上利用現(xiàn)有的確定性模型與方法，且計(jì)算量大大減少，若系統(tǒng)有n個(gè)隨機(jī)輸入量，僅需要進(jìn)行2n或2n+1次確定性計(jì)算就可以獲得待求隨機(jī)量的概率分布信息，與半不變量法和一次二階矩法相比一般更為準(zhǔn)確。近年來在電壓穩(wěn)定分析[6-9]、電力系統(tǒng)穩(wěn)定分析[10-11]、電力市場競價(jià)交易[12]等方面都有應(yīng)用。

2 點(diǎn)估計(jì)法

點(diǎn)估計(jì)法是根據(jù)隨機(jī)輸入量的概率分布求取待求隨機(jī)量各階矩的概率統(tǒng)計(jì)方法。假定X=[X1，…，Xn]T為隨機(jī)輸入量，Y=[Y1，…，Ym]T為待求隨機(jī)量，簡單起見先設(shè)X1，…，Xn相互獨(dú)立，且Y與X的函數(shù)關(guān)系可表示為Y=f（X）。對Y作泰勒級數(shù)展開，用Xk的各階矩構(gòu)成r個(gè)估計(jì)點(diǎn)，對于具有n個(gè)隨機(jī)輸入量的系統(tǒng)，點(diǎn)估計(jì)法僅需r×n次確定性計(jì)算即可獲得待求隨機(jī)量Y的前2r-1階矩，從而得到Y(jié)的概率分布。估計(jì)點(diǎn)Xk由以下公式確定：

式中：ξk，j為待定系數(shù)；pk，j為Xk的取值點(diǎn)xk，j的權(quán)重系數(shù)；μk，σk分別為隨機(jī)量Xk的期望值和標(biāo)準(zhǔn)差；λk，i為隨機(jī)量Xk的第i階標(biāo)準(zhǔn)中心矩，即第i階中心矩Mk，i與標(biāo)準(zhǔn)差σk的i次方的比值。

其中：

式中：h（x）為隨機(jī)量Xk的概率分布函數(shù)。

實(shí)際上，點(diǎn)估計(jì)法中每個(gè)隨機(jī)變量取值點(diǎn)都不超過3個(gè)，即r≤3。當(dāng)r=2，即成為兩點(diǎn)估計(jì)法，取值點(diǎn)為每個(gè)隨機(jī)變量均值兩側(cè)各確定1個(gè)點(diǎn)，每次確定性計(jì)算取其中之一，其它隨機(jī)變量則取其均值。若系統(tǒng)中有n個(gè)隨機(jī)變量，僅需要進(jìn)行2n次確定性計(jì)算。由式（2）和（3）可得：

由于λk，1=0，λk，2=1，聯(lián)立求解方程式（9）和（10），可得：

當(dāng)待定系數(shù)ξk，j和權(quán)重系數(shù)pk，j確定后，隨機(jī)變量Y的i階矩計(jì)算如下：

點(diǎn)估計(jì)法中另一稱為三點(diǎn)估計(jì)法的取值方案是每個(gè)隨機(jī)變量取3個(gè)點(diǎn)，分別為均值和均值兩側(cè)各1個(gè)點(diǎn)，每次確定性計(jì)算取其中之一，其它隨機(jī)變量則取其均值。若系統(tǒng)中有n個(gè)隨機(jī)變量，要求3n次確定性計(jì)算，但由于其中n次計(jì)算中隨機(jī)變量取值點(diǎn)都為均值，只需計(jì)算1次即可，因此僅需要進(jìn)行2n+1次確定性計(jì)算，故也稱為2n+1方案。由式（2）和（3）可得：

聯(lián)立求解方程式（14）和（15），并將λk，1=0，λk，2=1及ξk，3=0代入，可得：

對于正態(tài)分布（高斯分布），λk，3=0，λk，4=3，代入式（19）可知：當(dāng)n＞3時(shí)pk，3＜0。按照文獻(xiàn)[4]的解釋，點(diǎn)估計(jì)法是基于權(quán)重的方法，而不是基于概率分布離散化的方法，pk，1，pk，2，pk，3均大于零的要求不一定能滿足。一般情況下，由于三點(diǎn)估計(jì)法利用了更高階的隨機(jī)變量矩信息，計(jì)算精度可能會更高一些[7]，[12]。但是三點(diǎn)估計(jì)法對隨機(jī)變量分布特征的要求較高，為使ξk，1和ξk，2為實(shí)數(shù)解，須滿足此外，由于不能滿足pk，1， pk，2，pk，3均大于零，還有可能出現(xiàn)E（X2）-[E（X）]2＜0的異常情況。

以上分析是假定隨機(jī)輸入量之間相互獨(dú)立，如果隨機(jī)輸入量之間具有相關(guān)性，可采用矩陣變換方法，即先確定隨機(jī)輸入量協(xié)方差矩陣的特征值和特征向量，用正交變換將其轉(zhuǎn)換為一組統(tǒng)計(jì)上相互獨(dú)立的隨機(jī)變量進(jìn)行概率分析計(jì)算[3]，然后通過逆變換求取待求隨機(jī)量的協(xié)方差矩陣。

3 在無功優(yōu)化配置中的應(yīng)用

無功優(yōu)化模型如下：

式中：X為狀態(tài)變量，包括無功電源功率Qgi、電壓相角θi和幅值Vi；Gij和Bij分別為導(dǎo)納矩陣元素Yij的實(shí)部和虛部，Pgi，Pli和Qli分別為節(jié)點(diǎn)i的有功電源功率、負(fù)荷有功功率和無功功率，Vi，min和Vi，max分別為節(jié)點(diǎn)i的電壓下限和上限，Qgi，min和Qgi，max分別為節(jié)點(diǎn)i的無功電源功率的下限和上限。

運(yùn)用函數(shù)變換法，式（23）和（24）可通過以下變換式模擬：

代入系統(tǒng)潮流方程式（21）和（22），可得：

對于式（27）和（28），若發(fā)生隨機(jī)擾動（負(fù)荷擾動、設(shè)備故障等），必然引起無功電源功率、電壓相角及幅值也發(fā)生變化，可看作是系統(tǒng)對擾動的響應(yīng)，設(shè)其變化量分別為ΔQgi，Δθi，ΔVi（i=1，…，n），將式（21）和（22）展開并略去高次項(xiàng)，可得到以下電源功率及相角、電壓與隨機(jī)擾動之間的線性關(guān)系式：

式中：ΔPdi和ΔQdi為隨機(jī)擾動。

式（20）為優(yōu)化目標(biāo)。若以系統(tǒng)網(wǎng)損最小為優(yōu)化目標(biāo)，可表示為：

由于無功優(yōu)化問題中的網(wǎng)內(nèi)電源有功出力和有功負(fù)荷是確定的，系統(tǒng)網(wǎng)損最小等同于平衡節(jié)點(diǎn)注入有功功率最小，但后者的目標(biāo)函數(shù)更為簡單，可表示為：

式中：Pgb和Plb分別為平衡節(jié)點(diǎn)的有功出力和有功負(fù)荷。

其它的優(yōu)化目標(biāo)還有：

式中：Vi（O）為節(jié)點(diǎn)i的標(biāo)準(zhǔn)電壓。

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：

最優(yōu)解存在的必要條件是拉格朗日函數(shù)對于所有變量及拉格朗日乘子的偏導(dǎo)數(shù)為零，即：

式（39）和（40）為潮流方程，其線性展開式如式（29）和（30），其中的ΔPdi和ΔQdi為隨機(jī)擾動。由于ΔPdi和ΔQdi作為擾動引入，不是狀態(tài)變量，其隨機(jī)變化不改變最優(yōu)條件（36）-（40）。將式（36）-（38）線性展開，與式（29）和（30）一起構(gòu)成隨機(jī)無功配置規(guī)劃的狀態(tài)變量與隨機(jī)擾動的線性關(guān)系式，并可表示為矩陣形式：

將式（41）表示為：

可求得：

式中：S0為靈敏度矩陣，ΔW為隨機(jī)擾動，ΔX=為狀態(tài)變量，其中Δδ為系統(tǒng)滿足電壓、功率約束要求條件下由于隨機(jī)擾動而引起的電源無功功率響應(yīng)，可據(jù)此確定考慮隨機(jī)擾動所需的無功電源容量。

利用上述模型還可對系統(tǒng)網(wǎng)損受隨機(jī)擾動影響的波動情況進(jìn)行估算，由式（31），其線性化表達(dá)式為：

由式（41）可求得：

上述線性關(guān)系式可用于半不變量法或一次二階矩法計(jì)算。蒙特卡羅法通過對擾動的隨機(jī)抽樣形成一組輸入，然后利用確定性無功優(yōu)化方法[13-14]計(jì)算，重復(fù)上述過程獲得足夠的待求隨機(jī)量統(tǒng)計(jì)信息。點(diǎn)估計(jì)法則按照式（4）形成2n組（兩點(diǎn)估計(jì)法）或2n+1組（三點(diǎn)估計(jì)法）輸入量，然后利用確定性無功優(yōu)化方法計(jì)算，按照式（13）求得待求隨機(jī)量的概率分布。

4 算例

14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)及節(jié)點(diǎn)參數(shù)如表1、表2所示，節(jié)點(diǎn)負(fù)荷Pdi和Qdi為符合正態(tài)分布的隨機(jī)變量，以Pdi和Qdi為均值，0.1Pdi和0.1Qdi為均方差。規(guī)定各節(jié)點(diǎn)電壓上下限為1.05和0.95（標(biāo)幺值），概率無功優(yōu)化配置計(jì)算結(jié)果示于表3、表4和表5，表中Qi表示節(jié)點(diǎn)i的無功出力，正值為容性，負(fù)值為感性。為校驗(yàn)概率無功優(yōu)化配置的正確性，運(yùn)用蒙特卡羅方法，通過產(chǎn)生服從正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)來模擬各節(jié)點(diǎn)負(fù)荷功率的隨機(jī)變化，反復(fù)進(jìn)行5 000次潮流計(jì)算，以其統(tǒng)計(jì)規(guī)律作為標(biāo)準(zhǔn)結(jié)果。由表可見，半不變量法和點(diǎn)估計(jì)法與蒙特卡羅法的計(jì)算結(jié)果是相符的，點(diǎn)估計(jì)法比半不變量法的精度更高。根據(jù)不同的控制策略（如電壓變化最小，無功補(bǔ)償設(shè)備容量最小或系統(tǒng)線損最小等），通過概率無功優(yōu)化計(jì)算獲得的無功出力應(yīng)對負(fù)荷隨機(jī)擾動的概率統(tǒng)計(jì)信息，有助于優(yōu)化無功配置。顯然，為應(yīng)對負(fù)荷等隨機(jī)擾動的影響，無功配置應(yīng)有合理裕度。在本算例中，負(fù)荷預(yù)測誤差或隨機(jī)波動符合正態(tài)分布，正態(tài)隨機(jī)量的分布完全由其數(shù)學(xué)期望值μ和均方差σ所確定，并滿足：

式（47）即所謂“3σ規(guī)則”，表明正態(tài)隨機(jī)量的值落在區(qū)間[μ-3σ，μ+3σ]內(nèi)是大概率事件，可用來估計(jì)隨機(jī)量的變化范圍，選擇合理裕度和優(yōu)化配置。

5 結(jié)語

概率最優(yōu)潮流方法是概率潮流方法和最優(yōu)化方法的發(fā)展與結(jié)合。本文運(yùn)用概率最優(yōu)潮流方法，根據(jù)不同的控制策略，通過概率無功優(yōu)化計(jì)算獲得的無功出力應(yīng)對負(fù)荷隨機(jī)擾動的概率統(tǒng)計(jì)信息，可用來優(yōu)化無功配置。為應(yīng)對負(fù)荷等隨機(jī)擾動的影響，無功配置應(yīng)有合理裕度。掌握隨機(jī)量的概率統(tǒng)計(jì)信息，可以估計(jì)隨機(jī)量的變化范圍，有助于選擇合理裕度和優(yōu)化配置。

概率最優(yōu)潮流的求解方法有半不變量法（累積量法）、蒙特卡羅法、一次二階矩法、點(diǎn)估計(jì)法等，其中點(diǎn)估計(jì)法可以利用現(xiàn)有的確定性模型與方法，若系統(tǒng)有n個(gè)隨機(jī)輸入量，僅需要進(jìn)行2n或2n＋1次確定性計(jì)算就可以獲得待求隨機(jī)量的概率分布信息，與蒙特卡羅法相比計(jì)算量大大減少，與半不變量法和一次二階矩法相比一般更為準(zhǔn)確，具有高效、準(zhǔn)確的特點(diǎn)，適合工程應(yīng)用。

[1]王錫凡主編.電力系統(tǒng)優(yōu)化規(guī)劃[M].北京：水利電力出版社，1990.

[2]丁明，李生虎，黃凱.基于蒙特卡羅模擬的概率潮流計(jì)算[J].電網(wǎng)技術(shù)，2001，25（11）∶10-14.

[3]李雪，李渝曾，李海英.幾種概率潮流算法的比較與分析[J].電力系統(tǒng)及其自動化學(xué)報(bào)，2009，21（3）∶12-17.

[4]H.P.HONG.An efficient point estimate method for probabilistic analysis[J].Reliability Engineering and System Safety，1998，59（3）∶261-267.

[5]張建芬，王克文，宗秀紅，等.幾種概率潮流模型的準(zhǔn)確性比較分析.鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，24（4）∶32-36.

[6]陳閩江，陳陳，吳蓓，等.計(jì)及STATCOM的動態(tài)電壓穩(wěn)定概率評估[J].高電壓技術(shù)，2010，36（4）∶1032-1037.

[7]王敏，丁明.考慮分布式電源的靜態(tài)電壓穩(wěn)定概率評估[J].中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2010，30（25）∶17-22.

[8]候?qū)W勇，鞠平,付紅軍.基于兩點(diǎn)估計(jì)法的電力系統(tǒng)靜態(tài)電壓穩(wěn)定概率分析[J].河海大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2010，38（3）∶347-352.

[9]吳蓓，張焰，陳閩江.點(diǎn)估計(jì)法在電壓穩(wěn)定性分析中的應(yīng)用[J].中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2008，28（25）∶38-43.

[10]易海瓊，程時(shí)杰，候云鶴，等.基于點(diǎn)估計(jì)的電力系統(tǒng)穩(wěn)定概率分析[J].電力系統(tǒng)自動化，2007，31（23）∶1-4.

[11]楊慧敏，易海瓊，文勁宇，等.一種實(shí)用的大電網(wǎng)低頻振蕩概率穩(wěn)定性分析方法[J].電工技術(shù)學(xué)報(bào)，2010，25（3）∶124-129.

[12]潘煒，劉文穎，楊以涵.概率最優(yōu)潮流的點(diǎn)估計(jì)算法[J].中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2008，28（16）∶28-33.

[13]丘文千.具有變量范圍約束的潮流算法在OPF中的應(yīng)用[J].電力系統(tǒng)自動化，2007，31（15）∶35-40.

[14]丘文千.運(yùn)用混合優(yōu)化算法求解包含離散變量的無功優(yōu)化問題[J].浙江電力，2008，27（4）∶1-4.

（本文編輯：龔皓）

Probabilistic Optimal Power Flow Method and Its Application in Optimum Reactive Power Allocation

QIU Wen-qian
（Zhejiang Electric Power Design Institute，Hangzhou 310012，China）

In the power system planning and operation，there are lots of uncertain factors.This paper discusses the probabilistic optimal power flow method and its application in optimum reactive power allocation. Through the analysis and comparison of the main kinds of probabilistic analysis methods and their characteristics including the method of monte-carlo，half invariable，point estimate，the paper focuses on the point estimation method and its application.The probabilistic reactive power optimization model and the solution methods of monte-carlo，half invariable，and point estimation are given.By a case study，the accuracies of these methods are compared，and the validities are demonstrated.

power system analysis；probabilistic optimal power flow；reactive power allocation；point estimation method

TM744+.2

：A

：1007-1881（2012）10-0001-06

2012-02-15

丘文千（1952-），男，上海人，碩士，教授級高級工程師，主要從事電力系統(tǒng)規(guī)劃、設(shè)計(jì)與技術(shù)管理工作。