非合作目標(biāo)分光路激光測距中距離值的確定方法*

李語強(qiáng)，李榮旺，李祝蓮，翟東升

(中國科學(xué)院國家天文臺云南天文臺，云南 昆明 650011)

衛(wèi)星激光測距(Satellite Laser Ranging，SLR)工作已經(jīng)開展了近50年，測距精度由最初的米級發(fā)展到目前的毫米級。隨著衛(wèi)星激光測距觀測資料的不斷積累，衛(wèi)星激光測距技術(shù)在地球動力學(xué)和大地測量學(xué)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用:精密衛(wèi)星軌道確定，地心參考框架的建立，地球自轉(zhuǎn)參數(shù)的確定，重力場和重力常數(shù)的確定，驗證廣義相對論，海洋、空間遙感衛(wèi)星高度的標(biāo)定，高精度時間傳遞的研究，空間非合作目標(biāo)的跟蹤等［1－4］。衛(wèi)星激光測距數(shù)據(jù)處理涉及衛(wèi)星的狀態(tài)、觀測站在空間的位置以及激光在大氣中的傳播。利用激光測距望遠(yuǎn)鏡測得激光脈沖往返于測站和衛(wèi)星之間的時間Δt換算為兩者之間的距離ρ，即(c為光速)就是衛(wèi)星激光測距數(shù)據(jù)處理的觀測量。關(guān)于如何利用觀測量建立測站與衛(wèi)星之間測量幾何的解析表達(dá)式，在一些闡述利用激光測距資料確定衛(wèi)星軌道的著作中［5－8］，列舉了兩種激光測距模型，即瞬時激光測距和帶光時解激光測距。瞬時激光測距得到的觀測量為(t，ρ)。其中ρ是觀測站到衛(wèi)星的距離;t為觀測時刻，其定義為:

式中，t3，t1分別表示測站接收和發(fā)射激光的時刻。以中間時刻表示在這個瞬間衛(wèi)星與測站之間的幾何距離ρ。它是一個概念上的距離(ideal range)，而不是空間中通過光訊號相聯(lián)系的兩點間的測量距離。很顯然，由于測站隨地球自轉(zhuǎn)運動，發(fā)射時刻t1與接收時刻t3測站位于空間中不同的兩點，它們與衛(wèi)星反射激光時所處的一點構(gòu)成兩條光線，即所謂“上行光”與“下行光”(圖1)。而c(t3－t1)實際上代表了上行距離ρU和下行距離ρD之和。由于測站與衛(wèi)星的距離不是時間的線性函數(shù)，用

圖1 測站與衛(wèi)星在激光測距中的關(guān)系圖Fig.1 The relative motion of the satellite and the ground station during a satellite laser ranging measurement

帶光時解的激光測距模型，考慮了激光的上行距離ρU和下行距離ρD，利用激光的上行距離和下行距離的平均值作為觀測量，測站收到下行信號的時刻t3作為觀測量的時標(biāo)，即測量模型為

式中，ρU和ρD可以通過迭代計算求出。文［9］給出了精確往返光行時和精確單向光行時的計算方法，其中考慮了上、下行光路的相對論延遲，以及分別在接收時刻t3和發(fā)射時刻t1的3個時間差。

1 非合作目標(biāo)分光路激光測距模式

這里的分光路是指用相鄰較近的兩臺望遠(yuǎn)鏡(相當(dāng)于兩個臺站)對非合作目標(biāo)進(jìn)行激光測距，即用一臺望遠(yuǎn)鏡發(fā)射激光，另一臺望遠(yuǎn)鏡接收激光回波。為了敘述方便，設(shè)發(fā)射激光的望遠(yuǎn)鏡為A站，接收激光回波的望遠(yuǎn)鏡為B站，則A站、B站與非合作目標(biāo)S之間幾何位置關(guān)系如圖2。

由圖2的位置關(guān)系不難看出，文中前述兩種測距模式已經(jīng)不再適合兩站分光路測量的測距模式。因此需要分析分光路測距過程中距離(上行距離或下行距離)的確定方法。

下面給出文中計算用到各個量的說明:

t1——激光從測站A參考點發(fā)出的時刻;

t2——激光到達(dá)非合作目標(biāo)的時刻;

t3——激光回波到達(dá)測站B參考點的時刻;

c——光速;

ΔTU——上行光時間 ΔTU=t2－t1;

ΔTD——下行光時間 ΔTD=t3－t2;

r(t)——非合作目標(biāo)在參考系中的位置矢量;

RA(t)——測站A參考點在參考系中的位置矢量;

RB(t)——測站B參考點在參考系中的位置矢量。

圖2 兩個測站與非合作目標(biāo)位置關(guān)系圖Fig.2 Spatial relationship between the two observing stations and a non-coorperative target

衛(wèi)星激光測距數(shù)據(jù)處理的目的是從觀測的距離數(shù)據(jù)中提取有用的信息，例如衛(wèi)星的精確狀態(tài)(精密定軌)、影響衛(wèi)星運動的力學(xué)模型中的有關(guān)參數(shù)、測站的精確位置、影響測站位置描述的地球自轉(zhuǎn)參數(shù)等。所討論的問題是針對近地非合作目標(biāo)的激光測距數(shù)據(jù)預(yù)處理，通常情況下得到的激光測距觀測值為(t3，t1)，如何利用觀測量精確地求出激光達(dá)到衛(wèi)星的時刻t2，也就是精確地求出上行距離或下行距離是問題的關(guān)鍵。

2 分光路激光測距中距離值的確定

描述衛(wèi)星的軌道運動和地面測站隨地球自轉(zhuǎn)的周日運動，是在地球質(zhì)心慣性坐標(biāo)參考系中進(jìn)行的。由于問題涉及光信號的傳遞，并且需要計算光信號在確定的點之間的傳遞時間，這里采用了狹義相對論的時空框架，也就是認(rèn)為光線在選定的坐標(biāo)系中以恒速c進(jìn)行，與光源的運動速度無關(guān)。而現(xiàn)代測量技術(shù)的精度，已經(jīng)達(dá)到需要考慮引力場對光傳播的廣義相對論效應(yīng)［9］，與問題有關(guān)的效應(yīng)是引力時延和引力彎曲。對于激光測衛(wèi)，如果在日心系或太陽質(zhì)心系進(jìn)行討論，必須考慮太陽和地球引力場造成的引力時延。但如果采用地心系，太陽的引力作用變成了引潮力，其相對論效應(yīng)就可以忽略，只需考慮地球造成的引力時延。引力時延量作為可計算的系統(tǒng)改正加入到測量值中(下面論述到的距離值均表示已經(jīng)作了對流層折射修正、測站偏心修正、勞侖茲效應(yīng)修正等)。至于引力彎曲，在采用的參考架中，計算光行時解中使用直線光路徑帶來的光行時誤差可以忽略不計［9］。

測距過程中發(fā)射望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)延遲τA和接收望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)延遲τB均需要嚴(yán)格確定。由于分光路激光測距，跟每個臺站聯(lián)系在一起都是單向距離，單獨確定τA或τB有一定的難度，但是，采用地面靶同時標(biāo)定τA與τB之和，很容易實現(xiàn)。具體方式是首先精確測定測站A參考點到地面靶的距離DA與測站B參考點到地面靶的距離DB。利用發(fā)射望遠(yuǎn)鏡(測站A)向地面靶發(fā)射激光并記錄發(fā)射時刻tS，同時利用接收望遠(yuǎn)鏡(測站B)接收激光回波并記錄接收時刻tR，則系統(tǒng)延遲τA+τB=tR－tS－(DA+DB)/c，其中c為光速。

由圖1簡單的幾何關(guān)系不難得出下面的光行時方程:由發(fā)射時刻t1，求上行光時ΔTU

上式ΔTU可以用以下迭代關(guān)系求出。

同樣，用接收時刻t3，求下行光時ΔTD

顯然，此方程可用以下迭代關(guān)系式求解

這樣用迭代方法，在設(shè)定的一個限差1ps內(nèi)，求出ΔTU和ΔTD。毫無疑問，ΔTU和ΔTD的值依賴于模型r(t)及RA(t)、RB(t)，以及分別作為時間歷元的t3及t1?？梢栽O(shè)想如果采用的軌道計算模型確實代表了真實情況，那么在時空參考系中發(fā)生的用光信號相聯(lián)系的3個物理事件應(yīng)該滿足下式

實際情況總是會有一個不符合值，表明模型與實際情況有偏差，即

正是利用不符值δt修正下行距離或上行距離，在數(shù)據(jù)預(yù)處理過程中，先將異常值剔除。

時，表明衛(wèi)星位置(模型值)相對于測站位置偏近了。在一定的誤差范圍內(nèi)，采用很簡單的方法可以求出下行距離或上行距離，即

此時解得的ΔTU和ΔTD，就應(yīng)該是符合觀測實際的上行光時和下行光時，當(dāng)然也就可以分別得到上行距離ρU=cΔTU和下行距離ρD=cΔTD。同時可以根據(jù)ΔTU=t2－t1或ΔTD=t3－t2確定位于激光發(fā)射時刻t1及接收時刻t3之間的激光脈沖到達(dá)非合作目標(biāo)的時刻t2。

3 數(shù)值模擬驗證

測站A與測站B之間直線距離大約為30 m，在實際工作中，采用文中提出的方法是否滿足要求，為此建立了一個簡化的數(shù)學(xué)模型，對文中數(shù)據(jù)處理方法進(jìn)行驗證。假定非合作目標(biāo)軌道平面在赤道面上，測站A和測站B的緯度φ=0，因而可以簡化為平面問題。同時假設(shè)非合作目標(biāo)軌道為圓軌道，軌道高度為H，地球為正球體，半徑為R0=6378.140 km。S代表非合作目標(biāo)，則非合作目標(biāo)與觀測站之間的幾何關(guān)系見圖3。

為了使模擬數(shù)據(jù)中包含目標(biāo)過天頂?shù)那闆r，設(shè)非合作目標(biāo)與X軸夾角為80°時記t0=0，可得到非合作目標(biāo)和觀測站位置矢量隨時間的變化關(guān)系:

式中，ω為衛(wèi)星繞地心運動的角速度;T為衛(wèi)星軌道運行周期，取值為9.952×10－3，單位為s;Ω為地球自轉(zhuǎn)角速度，取值用平太陽日近似15″/s即可;θ表示測站A與測站B之間夾角，取值 4.7×10－6。

具體計算過程通過簡化模型計算出某接收時刻對應(yīng)的 ΔTD=(t3－t2)和 ΔTU=(t2－t1)，則用(t3－t1)表示觀測值。非合作目標(biāo)軌道計算值加一個誤差(Δx，Δy)，即用(x+Δx，y+Δy)作為理論預(yù)報值，通過迭代求出新的T'D和T'U。由于非合作目標(biāo)與測站間的距離值遠(yuǎn)大于兩測站之間距離，所以(11)式和(12)式可以簡化為:

針對非合作目標(biāo)高度為400 km、600 km、800 km、1000 km、1200 km、1 500 km，Δx和Δy值誤差限為±0.5 km、±1.0 km的情況，對(t3－t2)－T'Dnew進(jìn)行了模擬計算，計算結(jié)果如圖4、圖5。

4 結(jié)論

由圖4、圖5可以看出，采用本文提出的方法計算得到的下行距離誤差比較小，目標(biāo)軌道高度為400 km，當(dāng)Δx和Δy誤差范圍為±0.5 km時，只有在目標(biāo)過天頂時下行距離誤差限為±2 cm，當(dāng)Δx和Δy誤差范圍為±1.0 km時，只有在目標(biāo)過天頂時下行距離誤差限為±4 cm。誤差隨目標(biāo)高度增加而減小，目標(biāo)軌道高度為1 500 km，當(dāng)Δx和Δy誤差范圍為±0.5 km時，只下行距離誤差限為±0.5 cm，當(dāng)Δx和Δy誤差范圍為±1.0 km時，下行距離誤差限為±1 cm。

圖4 Δx和Δy值誤差限為±0.5 km時不同軌道高度下行距離殘差Fig.4 Residuals of descending distances for different orbital altitudes when errors of Δx and Δy are within0.5 km

圖5 Δx和Δy值誤差限為±1.0 km時不同軌道高度下行距離殘差Fig.5 Residuals of descending distances for different orbital altitudes when errors of Δx and Δy are within 1.0 km

由以上的討論可知，根據(jù)地面兩個測站獲得的測量值激光發(fā)射時刻t1及回波接收時刻t3，可以準(zhǔn)確的導(dǎo)出激光到達(dá)衛(wèi)星的時刻t2，以及相應(yīng)的上行距離ρU和下行距離ρD。這里要特別加以說明的是，采用本文所論述的距離計算方法，在當(dāng)前的非合作目標(biāo)測距精度下，有一定的應(yīng)用價值。實際工作中，無論采用上行距離或者下行距離作為測站單向距離是等價的，不過在使用中總是要約定一種大家認(rèn)同的。由于我們是用1.2 m望遠(yuǎn)鏡接收回波，所以建議用下行距離似乎更具有積極意義。

［1］葉叔華，黃珹.天文地球動力學(xué) ［M］.濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社，2000:91－130.

［2］Ben Greene.Laser Tracking of Space Debris［R］.Proceedings of 13thInternational Workshop on Laser Ranging Instrumentation，2002.

［3］李語強(qiáng)，李祝蓮，伏紅林，等.空間碎片漫反射激光測距試驗 ［J］.中國激光，2011，38(9):0908001－0908005.Li Yuqiang，Li Zhulian，F(xiàn)u Honglin，et al.Experimentation of Diffuse Reflection Laser Ranging of Space Debris ［J］.Chinese Journal of Lasers，2011，38(9):0908001－0908005.

［4］嚴(yán)奉軒，郭唐永，王培源，等.SLR應(yīng)用展望——伽利略計劃和非合作目標(biāo)跟蹤 ［J］.大地測量與地球動力學(xué)，2006，26(3):118－121.Yan Fengxuan，Guo Tangyong，Wang Peiyuan，et al.Prospect of Application of SLR-on Galileo Plan and Debris Tracking ［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2006，26(3):118－121.

［5］Tapely B D，Schutz B E，Born G H.Satellite Orbit Determination:Fundaments and Applications［M］.Colorado Center for Astronautical Research，University of Colorado，1986:130－139.

［6］李濟(jì)生.人造衛(wèi)星精密軌道確定 ［M］.北京:解放軍出版社，1995:43－54.

［7］Oliver Montenbruck，Eberhard Gill.Satellite Orbits:Models，Methods and Applications ［M］.Berlin:Springer，2000:202－215.

［8］Tapley B D，Schutz G Born.Statistical Orbit Determination ［M］.Amsterdam:Elsevier Academic Press，2004:93－106.

［9］Theodore D Moyer.深空網(wǎng)導(dǎo)航數(shù)據(jù)的測量和計算公式 ［M］.劉迎春，譯.北京:清華大學(xué)出版社，2006:207－220.