二維彎曲激波/湍流邊界層干擾流動理論建模

程劍銳,施崇廣,瞿麗霞,徐悅,尤延鋮,朱呈祥,*

1. 廈門大學(xué) 航空航天學(xué)院,廈門 361102 2. 中國航空研究院,北京 100012

激波/邊界層干擾(Shock Wave/Boundary Layer Interaction, SWBLI)機理及其流動控制始終困擾著航空航天工程界和學(xué)術(shù)界。自1940年Ferri首次通過實驗觀測到機翼后緣的SWBLI造成邊界層分離現(xiàn)象以來,有關(guān)其流動特性與影響因素就一直被廣泛地研究與討論。盡管SWBLI流動呈現(xiàn)出較強的非定常性,然而構(gòu)建一種時均的無黏簡化模型用于理論描述或分析干擾流場基本特征具有重要意義,譬如Delery等提出經(jīng)典的入射斜激波/平板湍流邊界層干擾無黏簡化模型分析方法。但可以發(fā)現(xiàn),以往大多數(shù)的流場結(jié)構(gòu)研究更多集中于直線型或以直線為母線的圓錐型激波,然而此類流動模型在曲面構(gòu)型導(dǎo)致彎曲激波波后流動呈現(xiàn)明顯非均勻的情況下似乎難以有效反映出流場特性,即不具備描述一般干擾流場的普適性。以曲面壓縮進氣道及其反設(shè)計為例,彎曲激波/邊界層干擾(Curved Shock Wave/Boundary Layer Interaction, CSWBLI)已經(jīng)逐漸成為不可忽視的流動特征。即便在直線激波的邊界層干擾問題中,受流動非均勻性影響,分離激波及反射激波事實上也會呈現(xiàn)出變曲率彎曲的流動特性。

本質(zhì)而言,CSWBLI屬于SWBLI,因此除激波本身外,傳統(tǒng)SWBLI的大量研究對CSWBLI仍具有指導(dǎo)性意義。如Chapman等根據(jù)大量實驗結(jié)果提出經(jīng)典的自由干擾理論(Free Interaction Theory, FIT),將分離原因歸結(jié)為來流馬赫數(shù)與雷諾數(shù)的影響,這也成為人們研究流動分離的基本定理之一。在后續(xù)研究中,學(xué)者們通過實驗和數(shù)值模擬陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了干擾流場受多種因素共同影響,如邊界層狀態(tài)、入射激波強度、下游擾動等。但另一方面,彎曲激波又表現(xiàn)出相較直線激波的特殊性,尤其是沿彎曲激波的不規(guī)則參數(shù)變化以及波后流場的非均勻性,由此也帶來構(gòu)建CSWBLI流動模型的困難。對于CSWBLI問題的準(zhǔn)確描述必須依賴于彎曲激波理論(Curved Shock Theory, CST)的發(fā)展與應(yīng)用。M?lder首次推導(dǎo)出包含渦量變化的非均勻一階彎曲激波方程組,將波后非均勻參數(shù)梯度與激波曲率通過代數(shù)方程組聯(lián)系起來。Shi等在上述工作基礎(chǔ)上對方程沿激波求偏導(dǎo)得到二階彎曲激波方程組以及高階彎曲激波求解方法,而高階參數(shù)意味著更豐富的流場信息與更高的建模精度。因此,CST的建立為CSWBLI流動模型的構(gòu)建提供了新的理論方法。

本文以CST為基礎(chǔ),結(jié)合FIT構(gòu)建了二維入射彎曲激波/平板湍流邊界層干擾的流動特征模型,通過數(shù)值仿真驗證了模型的可靠性,并在此基礎(chǔ)上應(yīng)用理論模型分析了彎曲入射激波強度、邊界層厚度、下游擾動對二維CSWBLI的影響規(guī)律,總結(jié)了分離區(qū)的增長特性。

1 彎曲激波/邊界層干擾理論基礎(chǔ)

1.1 彎曲激波理論

有別于直線激波的波后均勻參數(shù),彎曲激波理論建立面臨的最大挑戰(zhàn)在于如何給出波后各向異性的參數(shù)描述,尤其是與波前參數(shù)的關(guān)聯(lián)關(guān)系。事實上,M?lder和Shi等提出的彎曲激波理論是通過分析彎曲激波曲率和激波前后流動參數(shù)導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系來解析流場的,在三維彎曲激波上建立流動平面與垂流平面,通過定義如圖1所示的流向與橫向激波曲率和,將復(fù)雜三維激波曲面映射于兩正交平面(二維流動情況下橫向曲率為0)。圖中：激波角定義為曲線-相對于入射速度的傾角；為沿-方向的距離；和分別為波前波后的流向角；為流動偏轉(zhuǎn)角。

通過引入3個參數(shù),即標(biāo)準(zhǔn)壓力梯度：=(?/?)·(),為壓力,為流線方向,為密度,為流向速度；流線曲率：=?/?；標(biāo)準(zhǔn)渦量：=,為渦量。將其代入流線-垂流線坐標(biāo)系下的歐拉方程,聯(lián)立R-H方程(式(1)和式(2)),整理可得一階CST方程組(式(3))。

(1)

+sin=+sin(-)

(2)

(3)

式中：為比熱比；為馬赫數(shù)；系數(shù)、、、、、、以及帶角標(biāo)“′”的系數(shù)均為來流馬赫數(shù)、激波角、流向角的顯式函數(shù)；下標(biāo)“1”和“2”分別代表波前波后參數(shù)。詳細推導(dǎo)過程較為復(fù)雜,具體可參考文獻[17, 20]。若沿激波曲線對一階參數(shù)進一步求偏導(dǎo)可以得到二階乃至更高階的彎曲激波方程組。其物理意義在于：相較于直接離散彎曲激波求解R-H方程,該理論僅需求解代數(shù)方程組即可聯(lián)系激波曲率得到波后高階信息,而高階信息意味著跟蹤初始擾動的傳播將更為精確。圖2中黑色實線為特征線法(MOC)計算結(jié)果；藍色虛線為一階CST計算結(jié)果；綠色虛線為二階CST計算結(jié)果；為來流壓力；/表示流場橫向無量綱長度。

圖1 三維彎曲激波幾何示意圖以及流平面內(nèi)參數(shù)[20]Fig.1 Schematic diagram of geometry of 3D curved shock and variables in flow plane[20]

圖2 不同方法計算彎曲激波波后沿流線壓力分布 (Sa≠0, Sb=0)[20]Fig.2 Pressure distribution along streamlines after a curved shock calculated by different methods (Sa≠0, Sb=0) [20]

1.2 自由干擾理論

自由干擾理論認為,超聲速分離是當(dāng)?shù)剡吔鐚优c無黏外流間的自由干擾過程,分離區(qū)增壓比以及干擾長度只取決于干擾起始點流動參數(shù),與下游條件以及激波條件無關(guān)。盡管越來越多的研究表明FIT存在一定局限性,但不可否認該理論在對分離點附近的增壓預(yù)測以及對激波/邊界層強干擾大分離的定量描述方面仍然是較為準(zhǔn)確的。通過簡化分析,在壁面處對邊界層動量方程式(4)作積分,其中、分別為、方向的速度分量,為剪切應(yīng)力。聯(lián)立超聲速等熵流動關(guān)系式(5),并對結(jié)果進行無量綱化處理,得到干擾過程增壓關(guān)系式(6)。

(4)

(5)

(6)

綜上,本文將綜合應(yīng)用CST與FIT方法,對在二維條件下彎曲構(gòu)型的入射激波與湍流邊界層相互干擾的流場進行理論流動建模。

2 彎曲激波/邊界層干擾理論建模方法

2.1 流場區(qū)域劃分

CSWBLI與傳統(tǒng)SWBLI流場結(jié)構(gòu)相似,主要區(qū)別在于激波彎曲帶來的非均勻性,尤其體現(xiàn)在入射激波/分離激波發(fā)生Ⅰ類Edney干擾后產(chǎn)生的2道透射彎曲激波。圖3給出了CSWBLI流動結(jié)構(gòu)示意圖。彎曲入射激波與分離激波相交,產(chǎn)生2道透射激波和,激波后流場的非均勻性使得與均表現(xiàn)出彎曲特征。流動穿過激波+與穿過激波+熵增不同,因此從激波交點發(fā)出一道彎曲滑移線(剪切層)將兩區(qū)域分隔開。透射激波與上壁面后端膨脹扇相互干擾,產(chǎn)生彎曲激波′。此外,理論上存在2條特殊流線可將整個流場近似劃分為3個區(qū)域：流線在穿過入射激波后剛好流經(jīng)膨脹波與透射激波的干擾起始點,即激波與′的分隔點；流線在穿過分離激波后剛好流經(jīng)透射激波與分離包的交點,即激波的端點。2條流線將流場劃分為區(qū)域Ⅰ～區(qū)域Ⅲ,其中區(qū)域Ⅰ主要流動結(jié)構(gòu)為上游彎曲入射激波壓縮與下游彎曲激波/膨脹波相互干擾；區(qū)域Ⅱ主要流動結(jié)構(gòu)為彎曲激波/分離激波相互干擾；區(qū)域Ⅲ主要流動結(jié)構(gòu)為少部分無黏外流、邊界層黏性內(nèi)流以及邊界層分離。

圖3 產(chǎn)生分離的彎曲激波/邊界層干擾模型Fig.3 Flow model of CSWBLI with separation

2.2 Ⅰ區(qū)流動建模方法

對于Ⅰ區(qū)流動,上游彎曲入射激波可根據(jù)壁面型線由CST方法得到。下游彎曲激波/膨脹波干擾流動特征如圖4所示,由于上游入射彎曲激波波后的非均勻性,膨脹波內(nèi)的馬赫線實際為曲線,將彎曲馬赫線離散為若干微元段,基于等熵流動假設(shè)求解,具體分為膨脹波過程以及激波過程。

在圖4(a)所示的膨脹波過程中,EW1為膨脹扇的起始馬赫線,其參數(shù)可在上游入射彎曲激波波后流場內(nèi)插值得到。將馬赫線離散為若干微元段,每段可近似為直線段,即圖4(a)中線段、′,其斜率由馬赫波波前流向角和馬赫角確定,圖中和分別為微元段的局部流向角和局部馬赫角。對于從點發(fā)出的膨脹扇,沿膨脹角離散為若干微元膨脹扇,且要求流線流經(jīng)每微元膨脹扇轉(zhuǎn)角相等,由描述等熵膨脹/壓縮的P-M方程式(7)求解包括由離散點發(fā)出的流線流向角在內(nèi)的流場參數(shù)。流線與馬赫線交于點,聯(lián)立兩直線方程可確定點坐標(biāo)進而求解點流動參數(shù)。重復(fù)上述過程可逐步解得膨脹扇流場。

(7)

在圖4(b)所示的激波過程中,透射激波′與膨脹波EW1、EW2等依次相交,使得激波′逐漸向上偏轉(zhuǎn)。其中、、分別為微元段的局部壓力、馬赫數(shù)和激波角。由于在膨脹波過程中已得到沿馬赫線有關(guān)參數(shù),因此激波過程主要通過離散激波,逐步求解激波/馬赫波干擾。在圖4(b) 中,流線流經(jīng)膨脹波EW1上半段加激波段與流經(jīng)激波段加EW1下半段后壓力、流向角相等。其中,流經(jīng)激波參數(shù)變化由R-H方程求解,流經(jīng)馬赫波參數(shù)變化由等熵流動二階近似關(guān)系式(8)求解,聯(lián)立此二方程逐步解出激波′的段激波角。此后更新參數(shù),即令馬赫線EW1參數(shù)更新為馬赫線EW2參數(shù),重復(fù)上述過程逐步解出透射激波′每一微元段的激波角,進而求解出激波曲線幾何形狀。

(8)

圖4 彎曲激波/膨脹波干擾流動特征Fig.4 Flow characteristic of curved shock wave/expansion wave interaction

2.3 Ⅱ區(qū)流動建模方法

對于Ⅱ區(qū)彎曲激波/分離激波干擾流動,由于氣流穿過激波+與穿過+熵增不同,2個區(qū)域被一道滑移線隔開。激波由于波前參數(shù)非均勻而呈現(xiàn)彎曲特征,激波盡管波前參數(shù)可等效為均勻流場,但由于波后流動受彎曲滑移線兩側(cè)復(fù)雜流場影響,因此仍然表現(xiàn)出彎曲特征?；凭€兩側(cè)的壓力、流向角相同,可以通過如圖5(a) 所示的-極曲線確定交點的壓比以及偏轉(zhuǎn)角：由于在激波交點的氣流穿過激波和與穿過和的增壓比相同,讀取如圖5(a)中壓比和偏轉(zhuǎn)角即可計算出對應(yīng)激波角,進而求解該點附近流動狀態(tài)。對于傳統(tǒng)的直線型激波相互干擾,由于波后流場參數(shù)均勻,因此交點處流動參數(shù)即為干擾區(qū)流場的流動參數(shù)。然而,對于彎曲的透射激波和,僅獲得滑移線起始點位置的坐標(biāo)(零階信息)以及激波角(一階信息)無法得到完整激波曲線。這主要是因為：假設(shè)在入射激波上選定若干離散點,, …,進行流線追蹤,則當(dāng)且僅當(dāng)離散點位于時滿足圖5(a)中曲線Reg2的激波壓縮變化,其他離散點均要首先在激波后經(jīng)過一段等熵壓縮,且離散點越接近交點則壓縮距離越短,增壓越小,如圖5(b)所示。

本質(zhì)上,-極曲線可認為是對R-H方程的應(yīng)用,即僅能獲取流場參數(shù)的零階信息(坐標(biāo)值)以及一階信息(激波角)。但根據(jù)1.1節(jié)介紹的彎曲激波理論,獲取完整彎曲激波的方法需要解析點參數(shù)的更高階信息。因此分別對激波、列出彎曲激波方程組式(9)和式(10),其中下標(biāo)“11”和“12”表示波前與波后參數(shù),下標(biāo)“21”和“22”表示波前與波后參數(shù)。對于二維平面流動,橫向曲率=0。同時,滑移線兩側(cè)壓力、偏轉(zhuǎn)角處處相等,即壓力梯度和流線曲率相等。求解方程組式(9)～式(11),共計6個方程6個未知數(shù),即、、、、、,可以得到、激波曲率和。

(9)

(10)

圖5 入射激波/分離激波干擾極曲線Fig.5 Shock polar of incident shock/separation shock interaction

(11)

對于激波的曲線特征而言,激波角相當(dāng)于描述其形狀的一階參數(shù),即′。曲率相當(dāng)于描述其形狀的二階參數(shù),即″。在透射激波、交點處作泰勒展開,如式(12)所示,可以得到透射曲線激波坐標(biāo)(,),下標(biāo)“=u”和“=d”分別表示點上下側(cè)激波,下標(biāo)“”表示以點作為展開點。由于與仍處在入射激波與影響域內(nèi),因此將激波、曲線離散后在入射激波波后流場內(nèi)插值即可得到其波前參數(shù),如壓力、流向角等。

≈+′(-)+″(-)2=u,d

(12)

2.4 Ⅲ區(qū)流動建模方法

Ⅲ區(qū)流動涉及湍流邊界層的流動近似。分離激波在邊界層內(nèi)與湍流邊界層的速度分布相關(guān),法向速度梯度的存在使得該區(qū)域分離激波向壁面彎曲,形成長度有限的一段彎曲分離激波′,而彎曲分離激波′的高度及形狀取決于當(dāng)?shù)剡吔鐚雍穸燃八俣确植肌Ｍ牧鬟吔鐚影ば詫恿鲗?、對?shù)層以及外層,且每層占比受多種因素如雷諾數(shù)、壓力梯度等影響,本文擬采用表征湍流邊界層速度分布的Coles方程來描述邊界層內(nèi)流動,即：

(13)

式中：為邊界層厚度；為邊界層位移厚度；為邊界層外流速度；為摩擦速度且/= (/2),為摩擦系數(shù)；= 0.41為von Karman常數(shù)；(/)為尾跡分量,并存在以下關(guān)系式：

關(guān)于湍流SWBLI的分離區(qū)尺寸,目前還無法解析地給出其表達式。文獻[28-29]指出,無論對于層流還是湍流邊界層的分離,其分離區(qū)上游影響長度均可表示為幾個無量綱特征參數(shù)的相關(guān)函數(shù)：

(14)

式中：為上游影響長度,即分離點與無黏激波入射點間長度；為未受干擾時激波入射點的邊界層厚度；Const表示常數(shù)；、和分別為來流馬赫數(shù)、壓力及以邊界層厚度為特征長度的雷諾數(shù)；Δ為流經(jīng)激波的增壓值；、、為各項指數(shù),在不同條件下取值不同,對于本文4 ≤≤6、≥10條件,參照文獻[28]分別取、、為-1/3、-7/5、4/3。圖6反映了式(14) 關(guān)于影響長度擬合情況與數(shù)值模擬及實驗數(shù)據(jù)的對比,其中黑色實線“Standard line”反映了式(14)左右表達式的函數(shù)關(guān)系,圖中黑色圓點代表本文采用數(shù)值模擬方法得到的各算例結(jié)果,其余數(shù)據(jù)點取自文獻[28]。由于邊界層特性與發(fā)展長度緊密相關(guān),因此本節(jié)在Ⅲ區(qū)流動建模以及后文數(shù)值驗證中均考慮了一定的邊界層發(fā)展長度。這一方面可以使得湍流邊界層充分發(fā)展,另一方面也可以通過控制彎曲激波入射點處的邊界層厚度分析其對彎曲激波/邊界層干擾的影響規(guī)律。

圖6 入射激波的上游影響長度Fig.6 Upstream influence length for incident shock

綜上,本節(jié)建立的CSWBLI理論模型,可以快速預(yù)測二維彎曲激波/湍流邊界層干擾流場中以彎曲激波相交和分離區(qū)等為特征的典型流動結(jié)構(gòu),CST方法的應(yīng)用使得彎曲激波波后非均勻流動的求解精度更高,也為彎曲激波/邊界層干擾的全流場建模奠定基礎(chǔ)。由于Ⅲ區(qū)建模依賴于工程擬合以及邊界層流動近似,因此將在第3節(jié)對該無黏理論模型開展數(shù)值驗證。

3 CSWBLI模型驗證

3.1 數(shù)值方法驗證

本節(jié)將采用數(shù)值方法驗證第2節(jié)提出的CSWBLI模型精度。求解雷諾平均Navier-Stokes方程組,通量項采用二階迎風(fēng)格式離散。以結(jié)構(gòu)網(wǎng)格對計算域進行網(wǎng)格劃分,并對邊界層附近加密。為確保網(wǎng)格無關(guān)性,本文分別繪制3套網(wǎng)格,分別為粗糙網(wǎng)格(18萬)、中等網(wǎng)格(36萬)、精細網(wǎng)格(70萬),并設(shè)置相同計算條件求解流場。分別提取上述3種網(wǎng)格流場中的壁面壓力分布進行對比,結(jié)果如圖7(圖中為流場入口高度)所示,發(fā)現(xiàn)采用中等網(wǎng)格與粗網(wǎng)格所得初始升壓位置誤差約為0.6%,而壓力峰值誤差為1.8%,由此可以驗證網(wǎng)格因素對計算結(jié)果影響甚微。綜合考慮計算量及計算效率,后文數(shù)值模擬過程均采用中等網(wǎng)格對計算域進行劃分。

圖7 不同網(wǎng)格劃分下沿壁面壓力分布Fig.7 Pressure distribution along wall with different meshing method

為了選擇合理的湍流模型,首先參考文獻[16,30]設(shè)計了2種斜激波/湍流邊界層干擾構(gòu)型,并分別采用SA (Spalart-Allmaras)、-、-Shear Stress Transport (SST)湍流模型進行仿真,結(jié)果如圖8(a)和圖8(b)所示。對比文獻[16,30]中的實驗數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn),SA湍流模型對于分離點位置的預(yù)測均較其他模型更為準(zhǔn)確。事實上,已有相關(guān)論述表明,SA模型可以有效反映邊界層的黏性影響區(qū),對存在逆壓梯度的邊界層模擬效果較好,因此本文后續(xù)均采用SA模型開展數(shù)值驗證。

圖8 不同湍流模型數(shù)值驗證Fig.8 CFD verification with different turbulence models

3.2 流場波系結(jié)構(gòu)對比

為了驗證CSWBLI理論模型對二維彎曲激波/邊界層干擾流動特性的預(yù)測精度,本節(jié)在不同均勻來流條件下,采用不同二次函數(shù)形式給出彎曲壁面構(gòu)型。為防止該壁面邊界層對入射激波型線的干擾,對曲壁面進行無摩擦處理。同時為使平板邊界層充分發(fā)展,在其上游延伸出一定距離的預(yù)發(fā)展長度作為遠場。參數(shù)表示上游預(yù)留的平板長度,表示來流入口高度。計算方法及湍流模型同3.1節(jié)。對于來流=6,壁面型線=++1,其中=-0.067 8,=-0.191 9,計算所得密度梯度數(shù)值紋影如圖9所示,其結(jié)果與CSWBLI理論模型的定性描述相似,即由彎曲上壁面生成1道入射彎曲激波至下壁面平板邊界層引起邊界層分離,進而分離區(qū)產(chǎn)生一道分離激波與入射彎曲激波相互干擾并形成2道彎曲透射激波。

圖9 入射彎曲激波/邊界層干擾數(shù)值紋影(y=-0.067 8·x2-0.191 9x+1, Ma∞=6)Fig.9 Numerical schlieren of incident curved shock wave/boundary layer interaction (y=-0.067 8·x2-0.191 9x+1, Ma∞=6)

本文提出的CSWBLI無黏理論模型著重構(gòu)建了干擾流動特征,尤其體現(xiàn)在對彎曲激波及彎曲激波干擾結(jié)構(gòu)的有效復(fù)現(xiàn)。圖10給出了CSWBLI無黏模型理論計算所得各道激波,包括彎曲入射激波、分離激波、透射激波和以及受膨脹波影響的彎曲激波′。圖10中黑色點劃線表示采用簡化模型理論求解的波系,背景云圖為采用3.1節(jié)計算方法得到的CFD結(jié)果。圖10(b)和圖10(c)分別為邊界層分離點、激波干擾點附近局部放大圖。圖10(a)內(nèi)各關(guān)鍵點坐標(biāo)值是在通過CFD方法得到的流場云圖中直接讀取所得,圖10(b)和圖10(c)坐標(biāo)軸上數(shù)值表示通過CSWBLI無黏理論模型計算的關(guān)鍵點坐標(biāo)值。將坐標(biāo)看作以原點為起點的向量,分別比較理論模型與云圖各關(guān)鍵點向量的模與向量角。將各關(guān)鍵點坐標(biāo)值誤差表示在圖11(a)中,縱坐標(biāo)表示理論結(jié)果與CFD結(jié)果的比值?？梢园l(fā)現(xiàn),除分離點外,各關(guān)鍵點向量模誤差最大值小于0.13%,向量角誤差最大值小于2.63%。

圖10 CFD結(jié)果與理論計算波系對比(y=-0.067 8x2-0.191 9x+1, Ma∞=6)Fig.10 Comparison of shock waves between CFD and theoretical results (y=-0.067 8x2-0.191 9x+1, Ma∞=6)

此外,分別改變來流馬赫數(shù)、壁面型線參數(shù)、上游邊界層預(yù)發(fā)展長度進行理論計算與數(shù)值驗證,各算例參數(shù)條件匯于表1,相對誤差情況分別如圖11(b)～圖11(e)所示?？梢钥闯霎?dāng)參數(shù)條件改變時其誤差均可保持在較小水平,在算例3的極限情況下最大誤差低于4.5%。由于式(14)本身的擬合精度,部分關(guān)鍵點的數(shù)值結(jié)果與理論結(jié)果存在偏離。然而從整體上看,本文所構(gòu)建的CSWBLI流動模型在給定的范圍內(nèi)能夠?qū)崿F(xiàn)較好的流場重構(gòu)。

圖11 關(guān)鍵點坐標(biāo)的CFD與理論結(jié)果對比Fig.11 Comparison of CFD and theoretical results of coordinates of key points

表1 不同CSWBLI算例參數(shù)設(shè)定Table 1 Parameter setting in different cases of CSWBLI

3.3 分離區(qū)結(jié)構(gòu)對比

3.2節(jié)表明CSWBLI理論模型可以有效預(yù)測二維彎曲激波/邊界層干擾的彎曲激波相交及分離區(qū)特征。本節(jié)將所預(yù)測的分離區(qū)結(jié)構(gòu)等效為壁面,并在此基礎(chǔ)上結(jié)合二維彎曲壁面開展無黏流動數(shù)值仿真。作為對比,同步對相同二維彎曲壁面直接開展有黏數(shù)值仿真。圖12(a)給出了有黏數(shù)值仿真和結(jié)合CSWBLI理論模型的無黏數(shù)值仿真得到的流場結(jié)構(gòu)。可以發(fā)現(xiàn)二者流動結(jié)構(gòu)吻合良好,但由于邊界層內(nèi)分離激波′的彎曲特性,理論模型與仿真流場的實際分離點存在一定偏差。若將壓力平臺處激波沿圖12(a)中白色虛線延伸至平板并將其交點定義為名義分離點,可以發(fā)現(xiàn)名義分離點與理論模型得到的分離點重合度較高。

為了定量對比2個流場,圖12(b)與圖12(c)分別提取了流線與流線上壓力分布進行對比。其中,圖12(a)有黏流場中流線、仍選取為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ區(qū)分界線；而在圖12(a) 無黏流場內(nèi),流線仍為穿過膨脹波初始馬赫線與透射激波交點的流線,流線則要求其與分離激波的交點和有黏流場中的交點橫坐標(biāo)相同,即保證在兩流場中沿流線的初始壓升位置相同。

對比可以發(fā)現(xiàn),圖12(a)中有黏和無黏流場的激波及流場云圖基本呈現(xiàn)對稱分布,說明干擾流場內(nèi)分離包結(jié)構(gòu)是產(chǎn)生復(fù)雜流動結(jié)構(gòu)的主要原因,而本文構(gòu)建的CSWBLI無黏模型能夠有效反映該分離包結(jié)構(gòu),進而實現(xiàn)對流場波系的重構(gòu),即通過無黏流動來復(fù)現(xiàn)有黏流動的主要特征。從圖12(b)和圖12(c)沿流線、壓力分布的對比來看,無黏流場可以精準(zhǔn)模擬有黏流場的波系位置及激波強度,再次證明了CSWBLI無黏模型的高重構(gòu)性。

圖12 有黏/無黏流場流動結(jié)構(gòu)和無量綱壓力分布對比Fig.12 Flow structure and dimensionless pressure distribution comparison in viscous/inviscid flowfield

4 CSWBLI理論模型應(yīng)用

第3節(jié)通過數(shù)值方法驗證了CSWBLI理論模型,該理論模型無論是對二維彎曲激波/邊界層干擾的波系結(jié)構(gòu)還是分離區(qū)位置與尺寸均擁有較好的描述。本節(jié)將嘗試利用該模型對二維彎曲激波/邊界層干擾現(xiàn)象進行規(guī)律性研究,著重考慮彎曲入射激波強度、邊界層厚度、下游擾動3個關(guān)鍵參數(shù)對二維CSWBLI流動的影響規(guī)律,并在此基礎(chǔ)上總結(jié)分離區(qū)增長特性。

根據(jù)1.2節(jié)干擾過程增壓比方程式(6),壓力平臺性質(zhì)主要由來流馬赫數(shù)、壁面摩擦系數(shù)決定。而與邊界層性質(zhì)及發(fā)展情況有關(guān),用于描述邊界層發(fā)展情況的參數(shù)可采用當(dāng)?shù)乩字Z數(shù)。對于較大的情況,應(yīng)用von Karman隱式方程求解,即

(15)

除此之外,入射激波強度對SWBLI干擾流場也有較大影響。當(dāng)來流條件一定,斜激波強度可選用激波角表示,但對于激波角沿曲線變化的彎曲激波而言,需要一個能夠綜合描述整體激波狀態(tài)的參數(shù)來衡量其強度。根據(jù)CST方法,來流條件一定時彎曲激波幾何條件由壁面曲線形狀決定且一一對應(yīng)。對于二次函數(shù)壁面形狀=++,系數(shù)作為入射激波高度的無量綱基準(zhǔn),令=1,同時令二次曲線對稱軸位置-/(2)為常數(shù),此時可提取參數(shù)作為衡量壁面形狀的唯一幾何參數(shù)。實際上,對壁面求二階導(dǎo)得″=2,因此參數(shù)可用于描述壁面的彎曲程度。來流馬赫數(shù)一定時,代表入射激波的值絕對值越大則入射激波強度越高。

(16)

式中：表示波后速度；為激波曲線。由式(16)可知,波后等效背壓實際相當(dāng)于波后的質(zhì)量平均壓力,代表了下游擾動對于入口激波狀態(tài)的綜合影響。對于本文+的激波相交結(jié)構(gòu),式(16)擴展為

(17)

圖13表示不同入射激波下,通過控制上游邊界層預(yù)發(fā)展長度來探究激波入射點邊界層厚度對分離區(qū)尺寸的影響規(guī)律。分離區(qū)尺寸隨入射點邊界層厚度明顯增長,且激波強度越高則增長幅度越大。由于在CSWBLI理論建模時應(yīng)用了式(14),因此其增長關(guān)系大致滿足的2/3次冪。而對于同一邊界層厚度條件,入射激波強度越大則分離區(qū)尺寸越大。圖中= -0.098 4為該入射條件下激波強度的最大邊界,若繼續(xù)增大彎曲激波強度,則入射激波在平板發(fā)生正則反射后無法匹配流線轉(zhuǎn)角,即發(fā)生馬赫反射。

圖13 CSWBLI分離上游影響長度隨邊界層厚度及入射激波強度的變化Fig.13 Variation of upstream influence length in CSWBLI with local boundary layer thickness and incident shock intensity

圖14反映不同入射彎曲激波下,固定上游預(yù)發(fā)展長度,分離區(qū)尺寸隨波后背壓的變化規(guī)律。其中黑色點劃線為CSWBLI模型適用邊界。由圖可見,激波強度越大則其可承受背壓值越高。在本文設(shè)定條件下,當(dāng)分離激波強度小于入射彎曲激波強度時(即圖中||≥0.04),分離區(qū)與波后背壓值呈負相關(guān)。進一步減小入射激波強度,該變化趨勢相反,即在較弱入射激波下,分離區(qū)尺寸隨波后背壓而增大。此外,可以發(fā)現(xiàn)對于較小強度的入射激波,分離區(qū)尺寸對背壓的變化更為敏感,下游很小的擾動將造成分離區(qū)尺寸較大的改變。

圖14 CSWBLI分離上游影響長度隨波后反壓的變化Fig.14 Variation of upstream influence length in CSWBLI with back pressure

綜上所述,本節(jié)描述了分離區(qū)隨入射激波強度、激波入射點邊界層厚度、下游擾動的增長規(guī)律。本文所建立基于CST方法的CSWBLI無黏模型實際構(gòu)造了描述彎曲激波與邊界層干擾的多元函數(shù),因此以上述影響因子作為輸入條件,以干擾流場特性作為輸出參數(shù),可以有效分析流場內(nèi)參數(shù)分布規(guī)律。

5 結(jié) 論

1) 基于M?lder彎曲激波理論,結(jié)合經(jīng)典的自由干擾理論,構(gòu)建了帶有分離的二維入射彎曲激波/平板湍流邊界層干擾的初步模型CSWBLI。流場內(nèi)3個區(qū)域采用不同方法加以分析。其中,采用泰勒展開求解彎曲激波/分離激波干擾波系的方法有效克服了極曲線法在彎曲激波特性求解應(yīng)用的難題。

2) 二維入射彎曲激波/湍流邊界層干擾,主要特征在于波后各向異性參數(shù)分布。其流動結(jié)構(gòu)包括入射彎曲激波、分離激波、彎曲透射激波、分離包結(jié)構(gòu)。相較于入射斜激波/邊界層干擾,CSWBLI中激波呈現(xiàn)出明顯彎曲特性。

3) 通過數(shù)值方法對比無黏理論模型與黏性干擾流動情況,提取二者關(guān)鍵點位置向量及沿流線壓力分布做定量對比。不同條件下流場建模精度不同,最大誤差小于4.5%,最小誤差趨近于0。因此總體而言理論模型能夠較好地實現(xiàn)黏性流場的重構(gòu)。

4) 建立了以分離點當(dāng)?shù)剡吔鐚雍穸?、入射激波強度、波后等效背壓為自變?以分離區(qū)上游影響長度為因變量的函數(shù)關(guān)系。在本文設(shè)定條件下,分離區(qū)尺寸隨入射點邊界層厚度增加而增長；而分離區(qū)受下游擾動影響情況與入射激波強度有關(guān),強度較大的激波有能力承受更高的背壓。