兩種非純電阻電路的最大輸出功率

王建豪 趙利通

(臨城中學(xué) 河北 邢臺 054300)

1 引言

純電阻電路最大輸出功率，可根據(jù)電源輸出功率公式和閉合電路歐姆定律推出.具體推導(dǎo)如下.

基本模型：如圖1所示的閉合電路中，電源的電動(dòng)勢為E，內(nèi)阻為r，外電路電阻R為可變電阻，求當(dāng)R為何值時(shí)電源有最大輸出功率，最大輸出功率為多少.

圖1

推導(dǎo)：電源的輸出功率就是可變電阻消耗的功

率.設(shè)電源的輸出功率為P出，則有

P出=I2R

而由閉合電路歐姆定律知

兩式聯(lián)立得

電源的輸出功率P出與外電阻R的函數(shù)關(guān)系可用如圖2所示的圖像定性地表示.

由上式及圖像可得出以下結(jié)論:

(1)當(dāng)R=r時(shí)，輸出功率最大為

(2)當(dāng)R

(3)當(dāng)R>r時(shí)，P出隨R的增大而減小.

圖2

說明：上述情況都是在E和r不變的情況下適用.

而對非純電阻電路,閉合電路歐姆定律不成立，那么,如何求解非純電阻電路電源的最大輸出功率呢？

2 電動(dòng)機(jī)類非純電阻電路中電源的最大輸出功率

基本模型(以含有電動(dòng)機(jī)類非純電阻電路為

圖3

例):如圖3所示，內(nèi)阻為R的直流電動(dòng)機(jī)，接在電動(dòng)勢為E，內(nèi)阻為r的直流電源上，電動(dòng)機(jī)工作時(shí)(設(shè)其內(nèi)阻可變)，求電源的最大輸出功率.

推導(dǎo)：在含有非純電阻用電器的閉合電路中，電動(dòng)機(jī)工作時(shí)，電路中的電流設(shè)為I，這時(shí)

因?yàn)樵谕怆娐分校水a(chǎn)生內(nèi)能外還有機(jī)械能產(chǎn)生，電源提供的功率IE，一部分被電源消耗I2r，另一部分消耗在外電路上,即I2R+P機(jī)，根據(jù)能量守恒，有

IE=I2r+I2R+P機(jī)

即

得

所以

設(shè)電源輸出功率為P，則

只能根據(jù)能量守恒按P=IE-I2r討論. 此時(shí)，電源輸出功率P與I的關(guān)系為二次函數(shù)，其函數(shù)關(guān)系圖線如圖4.

圖4

由此可得

(2)電路有最大輸出功率時(shí)，有

與純電阻電路情況相同.

(3)由于

P出=UI>PR=I2R

即

UI>I2R

所以

即電路有最大輸出功率時(shí)，r>R，與純電阻電路不同.

圖5

方法1：與純電阻電路比較

圖5(a)為純電阻電路，當(dāng)滑動(dòng)變阻器R1=2 Ω時(shí)，R外=R1+R0=3Ω=r，所以，電源有最大輸出功率并設(shè)為P1max,則

圖5(b)盡管為非純電阻電路，但其電源與5(a)電源相同，電源輸出的最大功率與圖5(a)相同,即

P2max=P1max=12 WI2=I1=2 A

此時(shí)電動(dòng)機(jī)功率PM=6 W,則變阻器R2功率

P2=P2max-PMP2=6 W

又

所以

R2=1.5 Ω

電動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的熱量

方法2：用推導(dǎo)結(jié)論

同樣可得變阻器R2功率

P2=P2max-PMP2=6 W

又

所以

R2=1.5 Ω

電動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的熱量

顯然,方法2更簡潔.

【例2】如圖6所示，電源電動(dòng)勢E=12 V，內(nèi)電阻r= 1 Ω，R2為保護(hù)電阻，阻值R2=2 Ω，電流表內(nèi)阻不計(jì).開關(guān)S閉合瞬間，流過電流表的電流為8 A，一段時(shí)間之后，電動(dòng)機(jī)正常工作，此時(shí)電源輸出功率最大，求電動(dòng)機(jī)正常工作時(shí)，輸出機(jī)械功率多大,電動(dòng)機(jī)效率為多大.

分析：開關(guān)S閉合瞬間,電動(dòng)機(jī)還沒轉(zhuǎn)動(dòng)，可看做純電阻電路

R并=R總-rR并==0.5 Ω

而

所以，電動(dòng)機(jī)內(nèi)阻

圖6

電動(dòng)機(jī)正常工作時(shí)，電路為非純電阻，據(jù)非純電阻電路電源輸出最大功率條件,此時(shí)電源電流

又

U=E-I′rU=6 V

得通過R2的電流為

所以流過電動(dòng)機(jī)電流

IM=I′-I2IM=3 A

電動(dòng)機(jī)輸入功率

PM=UIMPM=18 W

電動(dòng)機(jī)熱功率

電動(dòng)機(jī)輸出功率

P出=PM-PR1P出=12 W

電動(dòng)機(jī)的效率為

3 變壓器類非純電阻電路中電源的最大輸出功率

基本模型：如圖7，交變電源的電動(dòng)勢為U，內(nèi)阻為r，變壓器原、副線圈電壓分別為U1,U2，原、副線圈的電流分別為I1,I2，匝數(shù)分別為n1,n2，所接負(fù)載為滑動(dòng)變阻器R.求電源的最大輸出功率.

圖7

推導(dǎo)：由變壓器工作關(guān)系知

(1)

(2)

負(fù)載滑動(dòng)變阻器電阻為

(3)

將圖7中虛線框等效為負(fù)載電阻R′，則

將式(1)～(3)代入得

將等效負(fù)載視為電阻，則電路可簡化為圖8，等效為純電阻電路，再結(jié)合純電阻電路輸出功率最大值的推導(dǎo)得

時(shí)，電源的輸出功率最大,且最大值為

圖8

【例3】如圖9，交流信號源的電動(dòng)勢E=120 V，內(nèi)阻R0=800 Ω，負(fù)載為揚(yáng)聲器，其等效電阻為RL=8 Ω .

圖9

(1)當(dāng)將負(fù)載直接與信號源連接時(shí), 求信號源輸出的電流及負(fù)載獲得的功率.

(2)如圖10，利用變壓器使信號源輸出最大功率，求變壓器的匝數(shù)比、信號源輸出的電流及負(fù)載獲得的功率.

圖10

(4)

又因?yàn)榈刃ж?fù)載

(5)

聯(lián)立式(4)、(5)得

結(jié)合推導(dǎo)中圖8和閉合電路歐姆定律得信號源即電源電流

此時(shí),電源有最大輸出功率，且最大值為

而電源的輸出功率為變壓器的輸入功率，可得變壓器的輸入功率P入=4.5 W，因?yàn)槔硐胱儔浩鬏斎牍β逝c輸出功率相等，得變壓器的輸出功率P出=4.5 W，變壓器輸出功率即為負(fù)載獲得的功率，所以,負(fù)載獲得功率

PL=P出=P入=Pmax=4.5 W

由上述運(yùn)算還可知，接入變壓器以后，信號源輸出電流減小，而負(fù)載獲得的輸出功率大大提高.

小結(jié)：求解含有變壓器電路的最大輸出功率的思路為等效負(fù)載、變壓比與閉合電路歐姆定律相結(jié)合.