轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與慣性質(zhì)量的轉(zhuǎn)換關(guān)系

張軍平

(復(fù)旦大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院 上海 200433)

1 簡介

剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣性系與平動(dòng)參考系并存時(shí)，其問題的求解需要涉及多個(gè)經(jīng)典力學(xué)的物理概念，如動(dòng)量守恒、角動(dòng)量守恒、力矩公式、能量守恒等等.尤其在考慮與滑輪相關(guān)的問題時(shí)，學(xué)生更容易混淆相關(guān)物理概念.

在教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)可以將與滑輪組相關(guān)的剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)問題，轉(zhuǎn)化到平動(dòng)慣性系來快速求解.其中關(guān)鍵的技巧是將轉(zhuǎn)動(dòng)慣性系中的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)換成平動(dòng)慣性系中的慣性質(zhì)量.在解題時(shí)，這一技巧能較方便地解決相關(guān)的問題并促進(jìn)學(xué)生對剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的理解.

本文在余下的部分首先簡要回顧轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的基本知識，提出轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與平動(dòng)慣性系的慣性質(zhì)量的轉(zhuǎn)換關(guān)系，并給出了一組推論.然后，通過3個(gè)實(shí)例驗(yàn)證了這一處理的有效性.最后,對文章進(jìn)行了總結(jié).

2 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與慣性質(zhì)量的轉(zhuǎn)換

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)具有的一種“慣性”.與平動(dòng)慣性系下的慣性質(zhì)量相似，均表現(xiàn)為阻礙物體的運(yùn)動(dòng).不同在于，慣性質(zhì)量是阻礙物體或質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)，而轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是阻礙質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系和剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)；其次，平動(dòng)慣性系的慣性質(zhì)量與參考系的選擇(在低速意義下)無關(guān)，而轉(zhuǎn)動(dòng)慣量則與剛體的形狀和參考原點(diǎn)的選擇密切相關(guān)[1～4].

因此，在處理與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)相關(guān)的題型時(shí)，首先要考慮的是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算，然后進(jìn)行受力分析，其中如何有效引入轉(zhuǎn)動(dòng)慣量需要仔細(xì)考慮.例如，在與滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)、含平動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)等相關(guān)的題型中，利用下面兩個(gè)公式的等價(jià)性往往是最常見的一步

M=r×F

(1)

M=Jα

(2)

式中r表示受力點(diǎn)與定軸參考原點(diǎn)之間的距離矢量，F(xiàn)表示受力點(diǎn)上的外力矢量，J是剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，α是剛體的角加速度，M是力矩.利用式(1)、(2)的等價(jià)性，可以對與滑輪相關(guān)的題型進(jìn)行有效分析，并很好地引入轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的概念.而如果題型涉及能量守恒時(shí)，則需要引入轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，即

(3)

這里Ek表示轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，ω表示角速度.

在教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)當(dāng)從以上角度求解與滑輪組相關(guān)的題型時(shí)，學(xué)生往往很難較快地發(fā)現(xiàn)題型中隱含的各種條件.一個(gè)可能的原因是滑輪組相關(guān)的題型里實(shí)質(zhì)上體現(xiàn)了經(jīng)典力學(xué)中多個(gè)概念性的組合，同時(shí)需要從兩種不同參考系(平動(dòng)慣性系與轉(zhuǎn)動(dòng)參考系)來分析問題.因此，如果能將兩個(gè)參考系通過轉(zhuǎn)換成單個(gè)參考系(如平動(dòng)慣性系)來分析，則問題的難度有可能會(huì)下降.

基于以上觀察，發(fā)現(xiàn)對于半徑為R，元質(zhì)量均勻分布，總質(zhì)量為m，以圓的中心為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的滑輪而言，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J可以由下式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，看成是平動(dòng)慣性系中的“偽”慣性質(zhì)量mpseudo為

(4)

其直觀理解為當(dāng)存在滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其在平動(dòng)慣性系的“偽”慣性質(zhì)量等價(jià)于轉(zhuǎn)動(dòng)參考系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量除以受力點(diǎn)到剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)原點(diǎn)的距離的平方.

為方便閱讀，式(4)的理論性分析可參考本文的附錄部分.

基于式(4)，不難得出4種不同剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其相對應(yīng)的“偽”慣性質(zhì)量的大小，如表1.

表1 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與“偽”慣性質(zhì)量的對應(yīng)

表中m表示剛體的總質(zhì)量，R，R1為剛體定軸旋轉(zhuǎn)時(shí)距旋轉(zhuǎn)剛體的原點(diǎn)的半徑，R2為勻質(zhì)厚圓筒的內(nèi)壁半徑，L是勻質(zhì)圓柱體的長度.勻質(zhì)矩形薄板的“偽”慣性質(zhì)量大小依賴于定軸旋轉(zhuǎn)的方向.

3 示例分析

在本節(jié)中，我們期望對以下3種剛體力學(xué)的題型，按文中提出的轉(zhuǎn)換技巧重新進(jìn)行受力分析和求解.

圖1 含平動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)問題示例1

【例1】質(zhì)量為mA的物體A靜止在光滑水平面上，和一質(zhì)量不計(jì)的繩索相連接，繩索跨過一半徑為R，質(zhì)量為mC的圓柱形滑輪C，并系在另一質(zhì)量為mB的物體B上，滑輪與繩索間沒有滑動(dòng)，且滑輪與軸承間的摩擦力可略去不計(jì)，如圖1所示，問：

(1)兩物體的線加速度為多少？水平和垂直兩段繩索的張力各為多少？

(2)若滑輪與軸承間的摩擦力不能忽略，并設(shè)它們間的摩擦力矩為Mf，求線加速度及繩的張力.

分析：這一題型的特點(diǎn)是轉(zhuǎn)動(dòng)剛體和平動(dòng)剛體并存.這就要求學(xué)生能較好地運(yùn)用隔離法對物體進(jìn)行受力分析，同時(shí)能熟練地運(yùn)用牛頓第二定律、轉(zhuǎn)動(dòng)定律來列方程和求解，因此是一道綜合題，目的是考查學(xué)生對經(jīng)典力學(xué)的理解和貫通，具有一定的難度.

(1)如果將這種轉(zhuǎn)動(dòng)剛體和平動(dòng)剛體并存的情況，轉(zhuǎn)化為僅考慮平動(dòng)慣性系的力學(xué)問題，則可以得到簡化的求解過程.依式(4)，首先將具有轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J的滑輪進(jìn)行轉(zhuǎn)換，變換成平動(dòng)慣性系的“偽”慣性質(zhì)量mpseudo，這一質(zhì)量等于

(5)

則可重新分析圖1 的受力情況.因?yàn)槿绻麑?個(gè)物體視為一個(gè)系統(tǒng)時(shí)，則所受的合外力應(yīng)為

F=mg

(6)

其中g(shù)為重力加速度.同時(shí)，這一合外力對平動(dòng)慣性系有一個(gè)整體的加速度，即滿足

F=mta

(7)

這里在平動(dòng)慣性系意義下系統(tǒng)的總質(zhì)量mt滿足

mt=mA+mB+mpseudo=

(8)

聯(lián)立式(6)、(7)，可得線加速度為

(9)

利用基本的受力分解，可以得到水平和垂直兩段繩索的張力.這里就不再贅述.

(2)如果存在摩擦力矩，考慮到合外力矩M具有式(1)的形式, 可以得到摩擦力矩的力Ff為

(10)

因?yàn)榱f是阻礙物體運(yùn)動(dòng)的力，在本系統(tǒng)中表現(xiàn)為與物體B的運(yùn)動(dòng)方向相反，所以,將產(chǎn)生摩擦力矩的力Ff代入式(6)右端，則有

(11)

聯(lián)立式(7)、(8)、(11)，可得存在摩擦力矩時(shí)系統(tǒng)的線加速度為

(12)

相應(yīng)地，我們可以基于式(12)自然推導(dǎo)此時(shí)水平和垂直兩段繩索的張力.

圖2 含平動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)問題示例2

【例2】一質(zhì)量為m′,半徑為R的圓盤，可繞一垂直通過盤心的無摩擦的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng).圓盤上繞有輕繩，一端掛質(zhì)量為m的物體.如圖2所示.問物體由靜止下落高度h時(shí)，其速度的大小為多少？設(shè)繩的質(zhì)量忽略不計(jì).

分析：這一題型的特點(diǎn)也是轉(zhuǎn)動(dòng)剛體和平動(dòng)剛體并存.教授這一題型的目的是要讓學(xué)生理解在合外力及非保守內(nèi)力為零的前提下系統(tǒng)內(nèi)部的機(jī)械能守恒.由于包含剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)和平動(dòng)，解題的關(guān)鍵在于要清楚地知道動(dòng)能可分為平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能兩部分.

如果我們同樣將這一轉(zhuǎn)動(dòng)與平動(dòng)相混合的問題，通過式(4)將轉(zhuǎn)動(dòng)部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變換為平動(dòng)部分的“偽”慣性質(zhì)量，則本題中平動(dòng)慣性系意義下系統(tǒng)的總質(zhì)量mt顯然滿足

(13)

通過受力分析，易知系統(tǒng)僅受作用于質(zhì)量為m的物體上的重力作用，同時(shí)，此重力作用在系統(tǒng)上會(huì)產(chǎn)生一個(gè)加速度，故有

(14)

由此可知，系統(tǒng)的加速度a為

(15)

考慮到速度與加速度及高度的關(guān)系和初始條件，可得

(16)

圖3 含平動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)問題示例3

分析：原題主要考查學(xué)生對角動(dòng)量定理的應(yīng)用，同時(shí)，需注意的是題中既包含質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量，也有剛體的角動(dòng)量.由于具有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)和一個(gè)剛體，學(xué)生在受力分析和計(jì)算過程中都容易產(chǎn)生概念的混淆.標(biāo)準(zhǔn)的求解方法參見文獻(xiàn)[5].

依據(jù)筆者提出的轉(zhuǎn)換關(guān)系，則可以首先按式(4)將滑輪組具有的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變?yōu)椤皞巍睉T性質(zhì)量，即

(17)

因此，在轉(zhuǎn)換意義下，系統(tǒng)的總質(zhì)量mt為

(18)

(19)

從以上解法不難發(fā)現(xiàn)，首先，通過提出的轉(zhuǎn)換技巧來求解以上含平動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)問題時(shí)，可以使問題求解簡化，且只要考慮如何將轉(zhuǎn)動(dòng)慣量通過式(4)轉(zhuǎn)換成“偽”慣性質(zhì)量，隨后的過程僅涉及牛頓第二定律的基本概念.其次，通過提出轉(zhuǎn)換技巧，建立了轉(zhuǎn)動(dòng)慣性系與平動(dòng)慣性系之間的聯(lián)系.另外，引用的定理和最終求解思路沒有影響學(xué)生對物理概念的理解.最后，在課堂上同時(shí)教授原解題策略和筆者提出的轉(zhuǎn)換關(guān)系，可以使學(xué)生加深對經(jīng)典力學(xué)知識的了解，并可以讓學(xué)生了解到這一問題求解的多樣性.

4 結(jié)論

文章通過研究轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與慣性質(zhì)量的轉(zhuǎn)換關(guān)系，將轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變換為平動(dòng)慣性系的“偽”慣性質(zhì)量.當(dāng)處理一類具有平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)混合的，與剛體相關(guān)的力學(xué)題型時(shí)，這一轉(zhuǎn)換可以簡化原有的解題思路，使得具有兩個(gè)不同參考系的問題可以在同一框架下求解，在教學(xué)時(shí)可以幫助啟發(fā)和活躍學(xué)生的思維，并能使學(xué)生更好地理解經(jīng)典力學(xué)的基本概念和知識.

參考文獻(xiàn)

1 張三慧.大學(xué)物理第一冊(第二版).北京：清華大學(xué)出版社，1999

2 程守洙，江之永.普通物理學(xué)第一冊(第五版) .北京：高等教育出版社,1998

3 梁勵(lì)芬，蔣平.大學(xué)物理簡明教程.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社, 2002

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5 胡盤新.大學(xué)物理解題方法與技巧.上海:上海交通大學(xué)出版社，2004.126～127

附錄：

A.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與“偽”慣性質(zhì)量的轉(zhuǎn)換關(guān)系的理解

附錄A旨在給出式(4)的基本理解.由于剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)受到外力作用，其合力矩公式總可以有下面的關(guān)系

RFT2-RFT1=Jα

(A-1)

其中R是剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)距定軸點(diǎn)的距離，α是角加速度，J是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.FT1，F(xiàn)T2為剛體轉(zhuǎn)動(dòng)部分所承受的外力.

而又知

所以，式(A-1)可轉(zhuǎn)換為

(A-2)

我們又知道，牛頓第一定律指出，在平動(dòng)慣性系中，力是改變物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的原因.同時(shí)，牛頓第二定律表明力作用在質(zhì)點(diǎn)上時(shí)，可以產(chǎn)生直線加速度，其公式一般寫為

(A-3)

由此可以推斷，在多數(shù)與剛體定軸相關(guān)的習(xí)題中，可以通過式(4)來估計(jì)物體在平動(dòng)慣性系下的“偽”慣性質(zhì)量，從而簡化原有問題的求解.