雙向密加筋板強(qiáng)度公式的推導(dǎo)及其修正

，

(武漢理工大學(xué) 交通學(xué)院，武漢 430063)

高速化和輕型化已成為船舶制造的發(fā)展趨勢。減小板的厚度對減輕結(jié)構(gòu)重量效果顯著，但由此會引起板的穩(wěn)定性、局部強(qiáng)度、局部振動性態(tài)的下降，焊接變形增大。針對這些問題，目前高速船廣泛采用了雙向密加筋板船體結(jié)構(gòu)這種形式。由于雙向密加筋板結(jié)構(gòu)形式和常規(guī)的結(jié)構(gòu)形式不同，故設(shè)計(jì)中多根據(jù)設(shè)計(jì)者的經(jīng)驗(yàn)預(yù)選有關(guān)構(gòu)件，再采用有限元方法進(jìn)行強(qiáng)度校核。這既給設(shè)計(jì)者帶來諸多不便，也帶有較多的人為因素影響[1]。本文通過將雙向密加筋板模型簡化為正交異性板模型，將平衡方程進(jìn)行無因次變換，最終利用各向同性板的彎曲要素表來確定雙向密加筋板中的最大應(yīng)力值。

1 板材料屬性的轉(zhuǎn)換

運(yùn)用力學(xué)方法，將縱、橫筋等效分?jǐn)傇诎迳?，從而將雙向密加筋板等效為理想的正交異性板。

1.1 符號含義

Asx、Asy——x、y方向筋的截面積；

nsx、nsy——x、y方向加筋數(shù)；

L、B、t——加筋板的長、寬、板厚；

νxy(νyx)——x(y)方向伸長在y(x)方向收縮的泊松比；

Gxy——兩個主方向x、y間夾角變化的剪切模數(shù)；

Dx、Dy——正交異性板x、y方向的抗彎剛度；

Ix、Iy——x、y方向加筋對中性軸的慣性矩；

zox、zoy——板中面到x、y方向加筋帶板中性軸的距離；

twx、twy——x、y方向加筋腹板的厚度；

hwx、hwy——x、y方向加筋腹板的高度；

bfx、tfx——x方向加筋翼板的寬度、厚度；

H——正交異性板的有效扭轉(zhuǎn)剛度；

M1、M2——正交異性板x、y方向最大彎矩；

Mx、My——各向同性板x、y方向最大彎矩。

1.2 彈性模量轉(zhuǎn)換

(1)

(2)

1.3 抗彎剛度和抗扭轉(zhuǎn)換

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

當(dāng)為各向同性板時，則有

(12)

1.4 泊松比轉(zhuǎn)換

根據(jù)Betti能量互換定律的推理，作用在x方向的力使y方向發(fā)生的變形，等于作用在y方向的力使x方向發(fā)生的變形，則有：

(13)

(14)

2 雙向密加筋板強(qiáng)度公式推導(dǎo)及分析

2.1 強(qiáng)度公式推導(dǎo)

在均布載荷q作用下，正交異性板的彎曲微分方程式為

(15)

則式(15)轉(zhuǎn)換為

(16)

(17)

(18)

比較(18)和(19)可知，當(dāng)γ1=γ2,即

(19)

時，正交異性板的彎曲要素可以借助各向同性板的彎曲要素準(zhǔn)確地決定。當(dāng)?shù)仁?19)不滿足時，對于正交異性板的近似解可以選出某個各向同性板的計(jì)算邊長比γ，借助于它使得正交異性板的彎曲要素以最小誤差決定。因此，設(shè)

w0=w1+w2

(20)

式中：w0——正交異性板撓函數(shù)(無因次函數(shù))；

w1——各向同性板撓函數(shù)(無因次函數(shù))；

w2——修正值(無因次函數(shù))。

將式(20)代入式(18)有

(21)

因?yàn)楹瘮?shù)w1由方程式

(22)

決定，所以(21)減去(22)后，得到有關(guān)w2的方程

(23)

所選擇的計(jì)算邊長比必須使得修正值w2為最小。對于一般的密加筋板而言，可近似認(rèn)為γ1和γ2足夠接近，此修正值很小。采用伽遼金法來決定γ[3]，讓式(23)在第一次近似中的解恒等于零，得

(24)

將w1按照滿足相應(yīng)邊界條件展開成三角級數(shù)的第一項(xiàng)，沿整個周界剛性固定的板有

w1=f1(1-cos2πε)(1-cos2πη)

(25)

(26)

將應(yīng)力轉(zhuǎn)換為無因次坐標(biāo)形式為

(27)

(28)

利用各向同性板的彎曲要素表，將應(yīng)力用彎矩的形式表達(dá)。彎矩的無因次形式為

(29)

(30)

可以導(dǎo)得

(31)

(32)

將上式聯(lián)合最終得到構(gòu)造正交異性板的應(yīng)力表達(dá)形式

[zx(Mx-νyMy)λ2+zyνy(My-νxMx)]

(33)

[zxνx(Mx-νyMy)λ2+zy(My-νxMx)]

(34)

k4、k5經(jīng)γ由各向同性板的彎曲要素表確定。

2.2 強(qiáng)度公式的分析

本文僅求得雙向密加筋板最大應(yīng)力值，而不考慮應(yīng)力的分布。又在均布載荷作用下，正交異性板的最大應(yīng)力值在其長邊的中點(diǎn)，故僅用公式

[zx(Mx-νyMy)λ2+zyνy(My-νxMx)]

(35)

此時，要求L≥B。當(dāng)L≤B時，可將L、B交換來計(jì)算結(jié)果。

3 有限元計(jì)算

3.1 有限元計(jì)算模型

板長取為定值L=1 800 mm，長寬比分別取0.8,1.0,1.2,1.4,1.6,1.8,2.2,2.4；

加筋類型及尺寸為

L60×40×4，L50×32×4，⊥4×60/4×40；

邊界條件為沿周界剛性固定；

加筋數(shù)目(橫筋×縱筋)為

3×3，3×4，3×4，4×4，4×5[4]；

載荷為均布載荷，q=0.04 MPa。

3.2 計(jì)算數(shù)據(jù)分析

限于篇幅，表1給出加筋數(shù)為3×3，加筋尺寸為L60×40×4，板長為1 800 mm的雙向密加筋板的計(jì)算結(jié)果。

表1 最大公式值與FEM計(jì)算值比較(載荷)

圖1包含了70個計(jì)算數(shù)據(jù)，顯示出本文公式計(jì)算值與有限元計(jì)算結(jié)果之間相對誤差的分布。其變異系數(shù)COV=1.29% 。

圖1 本文公式與FEM計(jì)算結(jié)果的誤差分布

3.3 計(jì)算撓度數(shù)據(jù)分析

構(gòu)造正交異性板最大撓度為

(36)

式中k1通過γ由各向同性板的彎曲要素表確定。本文僅對長邊為奇數(shù)筋的角鋼通過使用1stopt軟件對公式參數(shù)修正，得到

(37)

加筋數(shù)為3×5，加筋尺寸為L60×40×4，板長1 800 mm的雙向密加筋板計(jì)算結(jié)果見表2。

表2 最大公式值與FEM計(jì)算值比較(撓度)

4 強(qiáng)度公式的修正

相同尺寸的T型材、L型材僅一個方向的抗彎剛度相同，其抗扭剛度和另外方向的抗彎剛度是不一樣的。故在有限元計(jì)算中，相同尺寸的T型材和L型材的應(yīng)力值不一樣，須對它們分別修正。又因本文所推導(dǎo)的公式需采用各向同性板的彎曲要素,而各向同性板的彎曲要素僅列出板兩邊中點(diǎn)的彎矩值。在均布荷重下四周剛性固定的各向同性板最大彎矩位于板長邊的中點(diǎn)。故當(dāng)長邊加筋數(shù)為奇數(shù)時，其最大應(yīng)力位置與最大彎矩位置相同；而當(dāng)長邊加筋數(shù)為偶數(shù)時，其最大應(yīng)力位置與最大彎矩位置不同，也應(yīng)分別修正。

通過對大量的有限元計(jì)算數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，綜合考慮到以上因素以及誤差的平均值、誤差與邊長比L/B的COV大小，利用最小二乘法,求得的修正系數(shù)見表3。

表3 公式修正系數(shù)

修正后的公式表達(dá)為

[zx(Mx-νyMy)λ2+zyνy(My-νxMx)]

(39)

式中:k——按表3所給數(shù)據(jù)選取。

5 結(jié)束語

大量計(jì)算驗(yàn)證了本文提供的修正公式能夠?qū)﹄p向密加筋板的強(qiáng)度進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)報(bào)，公式形式簡單，能夠廣泛運(yùn)用于工程實(shí)際中。

[1] 劉彥峰,楊 平.密加筋板結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和穩(wěn)定性的力學(xué)性能分析與結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)[D].武漢：武漢理工大學(xué),2006.

[2] PAIK J K, THAYAMBALLI A K, BONG J K. Large deflection orthotropic plate approach to develop ultimate strength formulations for stiffened panels under combined biaxial compression/tension and lateral pressure[J]. Thin-walled Structures, 2001(39):226-227.

[3] Я.И.考羅特金.板與圓筒形殼的彎曲及穩(wěn)定性[M].陳鐵，方譯.北京：高等教育出版社，1958.

[4] 張征波.內(nèi)河高速船的新型船體結(jié)構(gòu)形式—雙向加筋板船體結(jié)構(gòu)[J].船舶工程,2004,26(1):22-25.