船舶垂蕩與縱搖耦合運動頻率散射機制研究

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(海軍工程大學(xué) 船舶與動力學(xué)院，武漢 430033)

1948年Davidson[1]對順浪中船舶操縱性問題進行了研究，Rydill[2]僅考慮了Froude-Krylov波浪擾動后得到了波浪中船舶可控和不可控運動的線性分析，Eda[3]在線性操縱性方程中疊加了諧振形式的波浪力，在線性理論下得到了波浪中船舶航向穩(wěn)定性結(jié)果，Eda[4]又在PD操舵規(guī)律下研究了波浪中船舶的航向控制穩(wěn)定性。朱軍[6]等人采用切片理論方法計算入射波浪力，代入到波浪操縱性運動方程中模擬計算了操縱運動，陳俊峰[7]又簡化了計算模型，采用相同的方法數(shù)值模擬了波浪中操縱與橫搖運動。文獻[8]基于規(guī)則波浪中船舶搖蕩運動的不規(guī)則現(xiàn)象[9-11]，提出了遭遇頻率散射的概念，開始關(guān)注波浪中船舶操縱對搖蕩運動的影響，并初步研究了航速和航向引起的散射機制，給出了航速散射在頂(順)浪效率最高，航向散射在正橫浪效率最高的結(jié)果。單自由度遭遇頻率散射計算闡明了船舶遭遇頻率散射的形成的機理，得到搖蕩運動方差有顯著降低的結(jié)論。

本文研究船舶縱向速度振蕩對垂蕩與縱搖耦合運動的影響機制，建立耦合運動響應(yīng)模型，計算遭遇頻率散射強度和散射系數(shù)變化對耦合運動的影響，討論相關(guān)的規(guī)律。

1 船體水動力計算

1.1 坐標(biāo)系及運動關(guān)系

為了描述船舶的搖蕩運動，建立右手直角坐標(biāo)系，見圖1。

圖1 運動坐標(biāo)系

1)固定坐標(biāo)系Eξηζ。坐標(biāo)系固定于地球，ξEη平面與靜水面重合，Eξ軸垂直向上為正，用于描述波面升高ζ和船體垂向位移z。

2)平移坐標(biāo)系oxyz。xoy平面與靜水面重合；當(dāng)t=0時，xoz平面與船舶中縱剖面重合，原點o與E點重合，并在船重心G的垂直線上；隨船以等速度v0沿oξ方向運動時，可用于描述船體勻速運動，該坐標(biāo)原點移動距離為v0t。

3)物體運動坐標(biāo)系Gxbybzb。原點在船舶重心G上，xbGyb平面平行于靜止時設(shè)計水線面，Gxb指向船艏，xbGzb平面在船舶中縱剖面上，Gzb軸垂直向上為正，坐標(biāo)系與船一起平移和振蕩。

當(dāng)縱傾角很小時，忽略船體縱傾角引起縱向位移的高階小量，船體切片縱向坐標(biāo)(見圖1)可表示為

ξ=v0t+x≈v0t+x1+xb

(1)

由坐標(biāo)系間關(guān)系和式(1)，可得到如下表達式

(2)

于是船體縱向振蕩位移為

(3)

1.2 規(guī)則波浪數(shù)學(xué)表達式

假定波浪為深水規(guī)則波，振幅為ζa，波數(shù)為k，圓頻率為ω，傳播方向沿Oξ軸負(fù)方向，即船舶處于頂浪狀態(tài)，在固定坐標(biāo)系下波面升高的數(shù)學(xué)表達式為

ζ=ζacos(kξ+ωt)

(4)

波浪相位可表達為

kξ+ωt=k(v0t+x1+xb)+ωt=
(ω+kv0)t+k(x1+xb)=ωe0t+kx

式中：ωe0——船體穩(wěn)定航速遭遇頻率，

ωe0=ω+kv0。

得到

ζ=ζacos(kξ+ωt)=

ζacos[k(x1+xb)+ωe0t]

(5)

式(5)對時間求導(dǎo)數(shù)，于是有

(6)

1.3 船體水動力數(shù)學(xué)表達式

基于弗勞德-克雷洛夫(Froude-Krylov)假定，只考慮靜水壓力作用，海水密度為ρ，重力加速度為g，切片水動力由船體垂蕩位移z、縱搖角ψ和波面升高ζ三項變化引起的浮力、阻尼和慣性力，分別如下。

切片浮力

(7)

切片阻尼力，其中Nz為切片阻尼系數(shù)

(8)

切片垂向慣性力，其中mz為切片附加質(zhì)量，由于

(9)

將切片水動力沿船體縱向積分，得到縱向水動力和力矩如下。

(10)

(11)

2 船舶垂蕩與縱搖耦合運動方程

2.1 縱搖與垂蕩耦合運動方程建立

根據(jù)牛頓第二定律，慣性力和外力平衡，得到

(12)

將式(10)和式(11)代入到式(12)中，得到如下縱搖與垂蕩耦合運動方程。

(13)

其中，式(13)左端12項系數(shù)如下。

(14)

式(14)中La為船艏坐標(biāo)，Lf為船艉坐標(biāo)。

式(13)右端4項系數(shù)如下。

(15)

式(15)中考慮了有效波面修正系數(shù)e-kT*。

其中：T*——等效吃水，即設(shè)計水線下面積與設(shè)計水線寬的比值。

2.2 船體水動力系數(shù)計算

采用切片法計算式(14)、(15)的水動力系數(shù)。參考艦船耐波性基礎(chǔ)[12]上的查圖譜方法，先得到各切片單位長度的附加質(zhì)量和阻尼系數(shù)，再積分得到水動力系數(shù)。

文中采用某隱身船形為例，計算耦合運動方程水動力系數(shù)。

3 船舶垂蕩與縱搖耦合運動頻率散射機制

3.1 垂蕩與縱搖耦合運動頻率散射概念

文獻[11]中提出了遭遇頻率散射的概念，本文討論在垂蕩與縱搖耦合運動方程中，通過縱向速度振蕩引起的遭遇頻率散射機制。

(16)

表1 隱身船垂蕩與縱搖耦合運動方程系數(shù)

將表1中的水動力系數(shù)代入式(16)，再設(shè)定遭遇頻率散射強度和散射頻率，利用Matlab軟件編制程序,可以數(shù)值求解該二元二次常微分方程組，可以得到垂蕩和縱搖耦合運動規(guī)律。

3.2 散射強度對垂蕩與縱搖耦合運動的影響

散射頻率ωω取常值0.2 s-1，散射強度系數(shù)kω從0變化到0.24，即每隔0.08變化一次。kω= 0.16時垂蕩與縱搖運動和運動速度的歷時曲線見圖2。歷時曲線中z為垂蕩位移，z-dot為垂蕩速度，θ為縱搖角度，θ-dot為縱搖角速度。歷時曲線由許多幅值不等的振蕩周期組成，取歷時曲線中所有的振蕩周期的幅值組成新的數(shù)組。該數(shù)組可以反應(yīng)垂蕩與縱搖運動和速度振幅，再計算該數(shù)組的最大值和平均值，結(jié)果見表2。

根據(jù)表2以及圖2，可以得到以下規(guī)律。

1)隨著散射強度系數(shù)的增加，垂蕩與縱搖運動和速度的振幅最大值曲線均呈現(xiàn)出明顯的上、下波動，但波動變化范圍不大，在8%以內(nèi)。

表2 垂蕩與縱搖運動和運動速度絕對方差及相對方差隨散射強度變化

圖2 kω=0.16時垂蕩和縱搖運動和速度曲線

2)隨著散射強度系數(shù)的增加，垂蕩與縱搖運動的振幅平均值曲線均呈現(xiàn)出不斷減小的趨勢。在散射強度系數(shù)等于0.24時，相比無頻率散射時分別降低了18%和16%。垂蕩與縱搖速度的振幅平均值曲線也呈現(xiàn)出不斷減小的趨勢，在散射強度系數(shù)等于0.24時，相比無頻率散射時分別降低了13%和7%。

3)增大散射強度系數(shù)，垂蕩與縱搖耦合運動的振幅平均值減小，即耦合運動減弱；垂蕩與縱搖耦合運動速度的振幅平均值減小，即耦合運動劇烈程度降低。

圖3 ωω=0.36時垂蕩和縱搖運動和速度曲線

3.3 散射頻率對垂蕩與縱搖耦合運動的影響

散射強度系數(shù)kω取常值0.2，散射頻率ωω從0變化到0.36 s-1，即每隔0.12 s-1變化一次。ωω= 0.36時垂蕩與縱搖運動和運動速度的歷時曲線，見圖6～9。同樣，取歷時曲線中所有的振蕩周期的幅值組成新的數(shù)組，再計算該數(shù)組的最大值和平均值，結(jié)果見表3。

表3 垂蕩與縱搖運動和運動速度最大值、平均值及標(biāo)準(zhǔn)差隨散射頻率變化

根據(jù)表3以及圖3，可以得出以下規(guī)律。

1)隨著散射頻率的增加，垂蕩與縱搖運動和速度的振幅最大值曲線均呈現(xiàn)出明顯的上、下波動，但波動變化范圍在7%以內(nèi)。

2)隨著散射頻率的增加，垂蕩與縱搖運動的振幅平均值曲線均呈現(xiàn)出不斷減小的趨勢。在散射強度系頻率等于0.36時，相比無頻率散射時分別降低了21%和19%。垂蕩與縱搖速度的振幅平均值曲線也呈現(xiàn)出不斷減小的趨勢，在散射強度系數(shù)等于0.36時，相比無頻率散射時分別降低了14%和20%。

3)增大散射頻率，可以減弱垂蕩與縱搖耦合運動和降低耦合運動劇烈程度。

4)散射頻率增加，即代表正弦振蕩速度的周期減小，這將使歷時曲線中的每一個振蕩周期減小，在同樣的時間段內(nèi)，將出現(xiàn)更多的完整子振蕩，如同振蕩周期被壓縮了一般。

4 結(jié)論

1)散射強度和散射頻率的變化將引起垂蕩和縱搖耦合運動和速度的振幅最大值上下波動，但波動范圍較小，可以近似認(rèn)為振幅最大值基本不變。

2)散射強度和散射頻率的變化將引起垂蕩和縱搖耦合運動和速度的振幅平均值的減小，即可以減弱垂蕩與縱搖耦合運動和降低耦合運動劇烈程度。

3)從減小船舶搖蕩運動的角度考慮，應(yīng)在振蕩速度允許的條件下，盡量選擇較大的散射強度系數(shù)；在振蕩周期允許的條件下，盡量選擇較大的散射頻率。

上述關(guān)于船舶遭遇頻率散射強度和散射頻率對縱搖與垂蕩耦合運動特性影響分析的結(jié)論，尚需今后進一步深入開展數(shù)值計算驗證。

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