格空間上算子方程組新的不動(dòng)點(diǎn)定理

劉春晗，王建國(guó)

（齊魯師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山東 濟(jì)南250013）

格空間上算子方程組新的不動(dòng)點(diǎn)定理

劉春晗，王建國(guó)

（齊魯師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山東 濟(jì)南250013）

在u0－r完備Archimedean型向量格中利用半序的方法研究了一類帶有次線性擾動(dòng)的算子方程組，在非緊非連續(xù)的假設(shè)下證明了不動(dòng)點(diǎn)的存在唯一性，并給出了迭代誤差估計(jì)式.

混合單調(diào)算子；次線性算子；u0－r完備Archimedean型向量格；迭代序列

0 引言及預(yù)備知識(shí)

其中算子A1具有某種凹性，A2具有某種凸性，算子B為次線性算子，并且得到了迭代唯一性定理.此類方程組研究較少，而且u0－r完備Archimedean型向量格只有半序結(jié)構(gòu)，沒有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，不用對(duì)錐加正規(guī)的條件，也沒有用到通常的范數(shù)，從而不同于以往的研究.

下面給出相關(guān)定義和引理：

定義1［5］E為序向量空間，E稱為向量格（又稱Riesz空間），若對(duì)任意的x，y∈E，存在它們的上確界x∨y和下確界x∧y，并且滿足代數(shù)運(yùn)算與序相容的條件：①對(duì)任意z∈E，從x≤y可推出x＋z≤y＋z；②如果x≥θ，而數(shù)λ≥0，則λx≥θ.

格E的有序區(qū)間形式為［x1，x2］＝ ｛x∈E，x1≤x≤x2｝的任何集合，其中x1≤x2（x1，x2∈E）.

定義2［5］E稱為Archimedean型向量格，若E為向量格，P＝ ｛x∈E，x≥θ｝；對(duì)于 ?n∈N，x∈P，y∈E有nx≤y，則x＝θ.

定義3［5］E為Archimedean型向量格，固定u0∈E，且u0≥θ，序列｛xn｝稱為是u0－r收斂于x∈E，若存在數(shù)列εn→0，εn∈（0，∞），使得記為.序列｛xn｝稱為是u0－r基本列，若存在數(shù)列εn↓0，使得當(dāng)m≥n時(shí)，有

定義4［5］Archimedean型向量格E稱為是u0－r完備的，若其中元素的任何u0－r基本列都是u0－r收斂的.

本文總假定E是u0－r完備Archimedean型向量格，P為E中的正元錐.定義半序“x≤y”：若yx∈P，則y≥x，其中P＝ ｛x∈E，x≥θ｝.若u0∈P＼｛θ｝，令Pu0＝ ｛x∈E∶?λ（x）＞0，μ（x）＞0，使得λ（x）u0≤x≤μ（x）u0｝.

注2 若E是u0－r完備Archimedean型向量格，?f，g∈E×E，其中f＝ （f1，f2），g＝ （g1，g2）.在E×E中我們定義f＋g＝（f1＋g1，f2＋g2），af＝（af1，af2），其中a∈R；定義f≤g是fk≤gk（k＝1，2），則易證得E×E也是u0－r完備Archimedean型向量格.

定義5［4］若算子B∶E→E，滿足B（tx）≤t Bx，x∈P，t≥1，則稱B為次線性算子.

定義6［4］設(shè)E1，E2是2個(gè)半序向量空間，算子T∶E1→E2稱為是正的，即T≥0，若T（P1）?P2，其中P1，P2分別是E1，E2中的錐.

定義7［6］設(shè)D?E，D×D?E×E，二元算子A∶D×D→E，則：①如果A（x，y）關(guān)于x非減，關(guān)于y非增，即對(duì)任何xi，yi∈D，i＝1，2.若x1≤x2，y2≥y1，則A（x1，y2）≤A（x2，y1），稱A為混合單調(diào)的.②如果∈D，滿足＝A（，），則稱是A的不動(dòng)點(diǎn).

定義8［6］A∶P→E，稱A為u0凹算子，如果滿足條件：①?x＞θ，Ax∈Pu0；②?x∈Pu0，?0＜t＜1，?η（t，x）＞0，使得A（tx）≥ ［t（1＋η（t，x））］Ax.

定義9［6］設(shè)E為向量格，D為E中1個(gè)凸集，算子A∶D→E，則：① 若A（tx＋（1－t）y）≥tAx＋（1－t）Ay，?x，y∈D，x≤y，0≤t≤1，稱A為D 的凹算子.② 若A（tx＋（1－t）y）≤tAx＋（1－t）Ay，?x，y∈D，x≤y，0≤t≤1，稱A為D 的凸算子.

定義10［6］設(shè)A∶D ?E→E，0≤α＜1.稱A為α凹（（－α）凸）算子，如果滿足A（tx）≥tαAx（A（tx）≤t－αAx），?x∈D，t∈ （0，1）.

引理1［7］設(shè) ?u0，z0∈P，｛xn｝是u0－r和z0－r基本列，則｛xn｝是u0－r收斂的充分必要條件是｛xn｝是z0－r收斂，且收斂點(diǎn)是相同的.

引理2［7］若E是u0－r完備的，對(duì)于任意固定的z0∈Pu0，則E是z0－r完備的.

引理3［8］E是Archimedean型向量格當(dāng)且僅當(dāng) ?u∈P，εn↓0，有εnu↓θ，即

引理4［7］設(shè)E是Archimedean型向量格，對(duì)任意固定的z0∈P，｛xn｝∈E∶①若，且，則x≥y；②若，且xn≤y，?n∈N，則x≤y.

引理5［7］若E是Archimedean型向量格，對(duì)于任意固定的z0∈P，若｛xn｝∈E是單調(diào)上升z0－r基本序列，則｛xn｝是z0－r收斂到x∈E當(dāng)且僅當(dāng)｛xn｝有上確界，且；若｛xn｝∈E是單調(diào)下降z(mì)0－r基本序列，則｛xn｝是z0－r收斂到x ∈E 當(dāng)且僅當(dāng)｛xn｝有下確界，且

1 主要結(jié)果及其證明

定理1 設(shè) w0∈P，v0∈Pu0， w0≤v0，算子A1，A2∶P×P→P是混合單調(diào)的，且B∶E→E是次線性算子.假設(shè)下列條件滿足：

1）對(duì)固定的y，A1（·，y）∶P →E是u0凹算子，其中特性函數(shù)是η（t，x）∶（0，1）×［ w0，v0］→ （0，＋∞），而對(duì)固定的x，A2（x，·）∶P→E是－α凸算子，其中η（t，x）滿足：① 函數(shù)η（t，x）關(guān)于x單調(diào)，關(guān)于t是左下半連續(xù)的；② 對(duì)任意（t，x）∈ （0，1）×［ w0，v0］，都有

2）算子I－B的逆算子（I－B）－1∶E→P存在，且在P上為正算子.

3）存在ε＞0，使 w0≥εv0，且A1（ w0，v0）≥ w0，A2（v0， w0）≤v0， w0≥B w0≥θ，Bv0≤θ.

4）A1（w，v）≤A2（v，w）≤A1（v，w），?w，v∈ ［ w0，v0］， w≤v.

則方程（1）在［ w0，v0］中有唯一正解x＊，而且對(duì)以（x0，y0）∈ ［ w0，v0］×［ w0，v0］為初值的迭代序列

證明 令C1＝ （I－B）－1A1，C2＝ （I－B）－1A2，由條件2）和3）得：

因?yàn)锽為P上的次線性算子，故（I－B）－1為P上的次線性算子.事實(shí)上，對(duì)?t≥1，x∈P，有（IB）（tx）≥t（I－B）x.再由（I－B）－1為P上的正算子，故（I－B）［t（I－B）－1x］≥t（I－B）（I－B）－1x＝tx，即（I－B）－1（tx）≤t（I－B）－1x；所以（I－B）－1為P上的次線性算子，并且可以證明對(duì)于 ?t∈ （0，1），x∈P，（I－B）－1（tx）≥t（I－B）－1x.由條件2）易證得C1，C2為P上的混合單調(diào)算子.

下面證明對(duì)固定的y，C1（·，y）∶Pu0→E是u0凹算子，對(duì)固定的x，C2（x，·）∶P→E是－α凸算子.

1）事實(shí)上，因?yàn)椋↖－B）－1為次線性算子，所以對(duì)固定的y∈P及 ?t∈（0，1），x∈Pu0，有C1（tx，y）＝ （I－B）－1A1（tx，y）≥ （I－B）－1［t（1＋η（t，x））A1（x，y）］≥t（1＋η（t，x））（I－B）－1A1（x，y）＝t（1＋η（t，x））C1（x，y）.

令 wn＝C1（ wn－1，vn－1），vn＝C2（vn－1， wn－1），n＝1，2，3，….由C1，C2為混合單調(diào)算子和條件4）可得對(duì) ?n∈N，有 w0≤ w1≤…≤ wn≤…≤vn≤…≤v1≤v0.再由條件3）易知 w1≥εv1，則 wn≥εvn.令則 wn≥tnvn.由 wn＋1≥ wn≥tnvn≥tnvn＋1，知0＜ε≤t1≤t2≤… ≤tn≤…≤1，從而存在，且ε≤t＊≤1.

下證t＊＝1.因?yàn)関0∈Pu0，εv0≤ w0≤v0，可得 w0∈Pu0，故 wn，vn∈ ［ w0，v0］?Pu0，所以.由此可得tn＋1≥.當(dāng)η（t，x）關(guān)于x單減時(shí)；當(dāng)η（t，x）關(guān)于x單增時(shí)，tn＋1≥.令n→ ∞，則

但由條件1）中的 ② 可得，當(dāng)t＊∈ ［ε，1）時(shí)，（3）式均不成立，故t＊＝1.由t＊＝1知，limn→∞tn＝1.于是對(duì)?p∈N有

由此可知｛ wn｝，｛vn｝都是v0－r基本列.由引理2可知E是v0－r完備的，所以存在w＊，v＊∈E使得.由引理5知 wn≤w＊≤v＊≤vn，從而因?yàn)镋是Archimedean型向量格，由引理3可知當(dāng)（1－tn）↓0時(shí)，有（1－tn）v0↓θ.因此，即v＊＝w＊.令x＊＝v＊＝w＊，則有

類似上面的證明可得C2（x＊，x＊）＝C1（x＊，x＊）.再由引理4可得x＊≤C1（x＊，x＊）＝C2（x＊，x＊）≤x＊，故C1（x＊，x＊）＝C2（x＊，x＊）＝x＊.由 wn≤x＊≤vn，易知x＊∈Pu0，故x＊為方程組（1）在Pu0中的不動(dòng)點(diǎn).

推論1 設(shè) w0∈P，v0∈Pu0， w0≤v0，算子A∶P×P→P是混合單調(diào)的，且B∶E→E是次線性算子，假設(shè)下列條件滿足：

而他的《隋唐演義》，好多人的出身和結(jié)局，和其他評(píng)書名家和小說都不一樣，羅士信是在揚(yáng)州戰(zhàn)死的，秦瓊的妻子是賈氏而不是通行的張氏，尤其他給秦瓊配了一個(gè)特別長(zhǎng)的綽號(hào)。而《童林傳》是他根據(jù)《雍正劍俠圖》的故事，自己編出來的一部書，與民國(guó)時(shí)評(píng)書名家常杰淼的著作，和后來李鑫荃的改編本都不一樣?！秮y世梟雄》里面，他說張作霖，讓人頭一回知道東北“胡子”（土匪）的形象，聽他滿嘴里“啪啪啪”的槍聲，和“胡子”的黑話與做派。他結(jié)合了大量史料和傳說，講述張作霖梟雄的一生，給其安了個(gè)紅顏知己田小鳳。這人物是全虛構(gòu)，那時(shí)候張學(xué)良還在世，給這么近的人物加故事，能把人說得不挑眼，直讓人想做點(diǎn)版本學(xué)考證。

1）對(duì)固定的y，A（·，y）∶P→E是u0凹算子，其中特性函數(shù)是η（t，x）∶（0，1）×［ w0，v0］→ （0，＋∞），而對(duì)固定的x，A（x，·）∶P→E是－α凸算子，其中η（t，x）滿足：① 函數(shù)η（t，x）關(guān)于x單調(diào)，關(guān)于t是左下半連續(xù)的；② 對(duì) ?（t，x）∈ （0，1）×［ w0，v0］，都有

2）算子I－B的逆算子（I－B）－1∶E→P存在，且在P上為正算子.

3）存在ε＞0，使 w0≥εv0，且A（ w0，v0）≥ w0，A（v0， w0）≤v0， w0≥B w0≥θ，Bv0≤θ.

則方程A（u，u）＋Bu＝u在［ w0，v0］中有唯一正解x＊，而且對(duì)以（x0，y0）∈ ［ w0，v0］×［ w0，v0］為初值的迭代序列xn＝ （I－B）－1A（xn－1，yn－1），yn＝ （I－B）－1A（yn－1，xn－1），n＝1，2，3，…，有

證明 在定理1中令A(yù)1＝A2即可得證.

定理2 設(shè) w0，v0∈Pu0， w0≤v0，算子A1，A2∶P×P→P是混合單調(diào)的，且B∶E→E是次線性算子.假設(shè)下列條件滿足：

1）對(duì)固定的y，A1（·，y）∶P→E是u0凹算子，其中特性函數(shù)是η（t，x），而對(duì)固定的x，A2（x，·）∶P→E是凸算子，其中η（t，x）滿足：①函數(shù)η（t，x）關(guān)于x單調(diào)，關(guān)于t是左下半連續(xù)的；②存在使A1（w0，v0）≥εA2（v0，θ），對(duì) ?（t，x）∈ ［ε，1）×［ w0，v0］，都有

2）算子I－B的逆算子（I－B）－1∶E→P存在，且在P上為正算子.

3）A1（ w0，v0）≥ w0，A2（v0， w0）≤v0， w0≥B w0≥θ，Bv0≤θ.

4）A1（w，v）≤A2（v，w）≤A1（v，w），?w，v∈ ［ w0，v0］， w≤v.

則方程組（1）在［ w0，v0］中有唯一正解x＊，而且對(duì)以（x0，y0）∈ ［ w0，v0］×［ w0，v0］為初值的迭代序列（2）式，有

證明 類似于定理1的證明可證得對(duì)固定的x，C2（x，·）∶P→E是凸算子.除證明t＊＝1時(shí)與定理1不同外，其余證明相同.下證t＊＝1.易證C1（ w0，v0）≥εC2（v0，θ），且有 wn，vn∈ ［ w0，v0］?Pu0，故wn＋1＝C1（wn，vn）≥C1（tnvn，vn）＝tn（1＋η（tn，vn））C1（vn，vn）≥tn（1＋η（tn，vn））C2（vn，vn）≥tn（1＋，所以.當(dāng)η（t，x）關(guān)于x單減時(shí)當(dāng)η（t，x）關(guān)于x單增時(shí)，tn＋1≥ （1＋η（tn， w0））×.令n→∞，則

由條件1）中的 ② 可得，當(dāng)t＊∈ ［ε，1）時(shí)，（4）式均不成立，故t＊＝1.

推論2 設(shè) w0，v0∈Pu0， w0≤v0，算子A∶P×P→P是混合單調(diào)的，且B∶E→E是次線性算子.假設(shè)下列條件滿足：

1）對(duì)固定的y，A（·，y）∶P→E是u0凹算子，其中特性函數(shù)是η（t，x），而對(duì)固定的x，A（x，·）∶P→E是凸算子，其中η（t，x）滿足：①函數(shù)η（t，x）關(guān)于x單調(diào)，關(guān)于t是左下半連續(xù)的；②存在使都有

2）算子I－B的逆算子（I－B）－1∶E→P存在，且在P上為正算子.

3）A（ w0，v0）≥ w0，A（v0， w0）≤v0， w0≥B w0≥θ，Bv0≤θ.則方程A（u，u）＋Bu＝u在［w0，v0］中有唯一正解x＊，而且對(duì)以（x0，y0）∈ ［w0，v0］×［w0，v0］為初值的迭代序列xn＝ （I－B）－1A（xn－1，yn－1），yn＝ （I－B）－1A（yn－1，xn－1），n＝1，2，3，…，有

證明 在定理2中令A(yù)1＝A2即可得證.

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Ne wtheorems of fixed points for systems of operator equations in vector lattice

LIU Chun－h(huán)an，Wang Jian－guo
（DepartmentofMathematics，QiluNormalUniversity，Jinan250013，China）

By using the partial order method，we discuss the existence and uniqueness of solutions of a class of systerms of mixed monotone operator equations with sublinear perturbation without any compactness or continuity conditions inu0－rcomplete Archimedean vector lattice，and the iteration sequences which converge to solution of operator equations and the error estimates are given.

mixed monotone operator；sublinear operator；u0－rcomplete Archimedean vector iattice；iterative order

O177.91

A

1004－4353（2012）01－0007－06

2011－12－20

劉春晗（1981—），男，講師，研究方向?yàn)榉蔷€性泛函分析及其應(yīng)用.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10971179）；山東省高等學(xué)?？萍加?jì)劃項(xiàng)目（J09LA55）；齊魯師范學(xué)院青年教師科研基金資助項(xiàng)目（2011L1508）