一類奇異分數階微分方程正解的存在性

王春來，侯成敏

（延邊大學理學院 數學系，吉林 延吉133002）

一類奇異分數階微分方程正解的存在性

王春來，侯成敏＊

（延邊大學理學院 數學系，吉林 延吉133002）

研究了一類奇異非線性分數階微分方程的邊值問題.首先給出了該問題的格林函數和其所滿足的一些性質，然后利用Krasuoselskii錐上的不動點定理和Leray－Schauder選擇定理，建立了該方程至少存在1個正解的充分性條件.

正解的存在性；分數階微分方程；不動點；錐

0 引言

由于分數階微分方程被廣泛應用于擴散與運輸、混沌與湍流［1］、黏性彈力學及非牛頓流體力學［2］等領域，因此得到了學者們的廣泛關注.在文獻［3］中，Delbosco和Rodino利用Schauder不動點定理和Banach壓縮原理研究了非線性微分方程Dα0＋u＝f（t，u），0＜α＜1的解的存在性，其中f∶［0，a］×R→R，0＜α＜＋∞是1個給定的在（0，a）×R上連續(xù)的函數.文獻［4］的作者利用上下解方法研究了方程Dα0＋u＝f（t，u），0＜α＜1的正解的存在性，其中f∶［0，1］×［0，＋∞）→ ［0，＋∞）是給定的連續(xù)函數.最近文獻［5］的作者研究了邊值問題：Dα0＋u（t）＋f（t，u（t））＝0，0＜t＜1，u（0）＝u′（1）＝u″（0）＝0，其中2＜α≤3，Dα0＋u（t）是Caputo導數，f∶（0，1］×［0，＋∞）→ ［0，＋∞）是給定的連續(xù)函數且本文研究了非線性分數階邊值問題正解的存在性，其中2＜α≤3，Dα1－u（t）是Caputo導數，f∶［0，1）×［0，＋∞）→ ［0，＋∞）是給定的連續(xù)函數且即f在t＝1是奇異的.然后利用Krasuoselskii不動點定理及錐上的Leray－Schauder選擇定理得到了問題（1）的2個結果，即正解的存在性.有關分數階微分方程解的存在性定理及其應用可參閱文獻［3，6－7］.

1 預備知識

我們先引入必要的概念和引理.

定義1［8］給定函數f∶（0，＋∞）→R的Riemann－Liouvilleα（α＞0）階積分定義為：

定義2［8］給定連續(xù)函數f∶（0，＋∞）→R的Caputoα（α＞0）階導數定義為：

引理1［5］令n－1＜α≤n，u∈Cn［0，1］，則Iα0＋Dα0＋u（t）＝u（t）－C1－C2t－…－Cntn－1，其中Ci∈R，i＝1，2，…，n.

引理2 令n－1＜α≤n，u∈Cn［0，1］，則Iα1－Dα1－u（t）＝u（t）－C1－C2t－ … －Cntn－1，其中Ci∈R，i＝1，2，…，n.

證明 證明類似于引理1的證明，故從略.

引理3 給定f∈C［0，1］，且2＜α≤3，則方程

引理4［9］設E是1個Banach空間，P是1個錐，P?E，Ω1和Ω2是2個在E內圓心在原點的有界開球，且設是1個完全連續(xù)算子，使得：當x∈PI?Ω1時有，當x∈PI?Ω2時有；或者當x∈PI?Ω1時有，當x∈PI?Ω2時有成立，則A在中有1個不動點.

引理5［10］設E是1個Banach空間，且C?E是1個閉凸集.設U是C的1個相對開子集，且0∈U，是1個連續(xù)的緊映射，則A在中有1個不動點，或者存在u∈?U和λ∈（0，1）使得u＝λAu.

2 主要結果及其證明

記E＝C［0，1］，且，則E是1個Banach空間.令P＝ ｛u∈E∶u（t）≥0，0≤t≤1｝，則P是1個錐，P?E.定義映射T∶P→P為

引理6 令0＜σ＜1，2＜α≤3，F(xiàn)∶［0，1）→R是連續(xù)的函數，且設（1－t）σF（t）在區(qū)間［0，1］上是連續(xù)的，則函數在區(qū)間［0，1］上也是連續(xù)的.

證明 易知H（1）＝0.以下分3種情況證明.

1）當t0＝1，?t∈ ［0，1）.由于（1－t）σF（t）在區(qū)間［0，1］上是連續(xù)的，則存在M＞0使得因此

2）當t0∈ （0，1），?t∈ ［t0，1）.

3）t0∈ ［0，1），t∈ ［0，t0）時，證明與情況2）類似，故省略.

引理7 令0＜σ＜1，2＜α≤3，f∶［0，1）×［0，＋∞）→ ［0，＋∞）是連續(xù)的函數，且·）＝ ∞.設（1－t）σf（t，u（t））在區(qū)間［0，1］×［0，＋∞）上是連續(xù)的，則由（3）式所定義的映射T∶P→P是完全連續(xù)的.

證明 對?u∈P，由引理6和f，G（t，s）的非負性，知T是P→P是1個映射.令u0∈P并且若那么由（1－t）σf（t，u（t））的連續(xù)性，知（1－t）σf（t，u（t））在區(qū)間［0，1］×［0，C］是一致連續(xù)的.于是 ?ε＞0，?δ＞0（δ＜1），使得 ?t∈ ［0，1］及u1，u2∈ ［0，C］，當時顯然若那么對 ?t∈ ［0，1］及有

令M?P是有界的，即存在1個正數b使得對?u∈M有于（1－t）σf（t，u（t））在區(qū)間［0，1］×［0，＋∞）上是連續(xù)的，令那么，故對于 ?ε＞0，令，對于u∈M，t1，t2∈ ［0，1］，t1＜t2且0＜t2－t1＜δ，因此，T（M）是等度連續(xù)的.再由Arzela－Ascoli引理知是緊的，因此T∶P→P是完全連續(xù)的.

定理1設0σ＜1，2＜α≤3，f∶［0，1）×［0，＋∞）→［0，＋∞）是連續(xù)的，且＋∞，（1－t）σf（t，y）在［0，1）×［0，＋∞）上連續(xù).假設存在2個不同的正的常數ρ和μ使得：

那么邊值問題（1）至少有1個正解.

證明 由引理7可知T∶P→P是完全連續(xù)的.以下利用引理4證明邊值問題（1）至少有1個正解.

2）t∈ ［0，1］，可知0≤u（t）≤ρ.由（H1）有

定理2 設0＜σ＜1，2＜α≤3，f∶［0，1）×［0，＋∞）→ ［0，＋∞）是連續(xù)的，且＋∞，（1－t）σf（t，y）在［0，1）×［0，＋∞）上連續(xù).假設滿足條件：① 存在1個連續(xù)非減函數φ∶［0，＋∞）→（0，＋∞），（t，ω）∈［0，1］×［0，＋∞），（1－t）σf（t，ω）≤φ（ω）；② 存在那么邊值問題（1）存在1個正解.

［1］Lakshmikantham V，Leela S，Vasundhara J.Theory of Fractional Dynamic Systems［M］.Cambridge：Cambridge Academic Publishers，2009.

［2］同登科，王瑞和，楊河山.管內非 Newton流體分數階流動的精確解［J］.中國科學 G輯，2005（3）：318－326.

［3］Delbosco D，Rodino L.Existence and uniqueness for a nonlinear fractional differential equation［J］.Math Anal Appl，1996，204：609－625.

［4］Zhang S Q.The existence of a positive solution for a nonlinear fractional differential equation［J］.Math Anal Appl，2000，252：804－812.

［5］Qiu Ting－ting，Bai Zhan－bing.Existence of positive solution for singular fractional differential equations［J］.Electronic Journal of Differential Equations，2008，146：1－9.

［6］Kilbas A A，Trujillo J J.Differential equations of fractional order：methods，results and problems I［J］.Applicable Analysis，2001，78：153－192.

［7］Kilbas A A，Marichev O I，Samko S G.Fractional Intergral and Derivatives：Theroy and Applications［M］.Switzerland：Gordon and Breach，1993.

［8］Zhang Shu－qin.Existence of positive solution for fractional differential equations with riemann－Liouville left－h(huán)and and right－h(huán)and fractional derivatives［J］.Electronic Journal of Differential Equations，2004，23：1－12.

［9］Krasnoselskii MA.Positive Solution of Operator Equation［M］.Groningen：Noordhoff，1964.

［10］Granas A，Guenther R B，Lee J W.Some general existence principle in the Caratheodory theory of nonlinear system［J］.Math Pure Appl，1991，70：153－196.

Existence of positive solution for a class of singular fractional differential equations

WANG Chun－lai，HOU Cheng－min＊
（DepartmentofMathematics，CollegeofScience，YanbianUniversity，Yanji133002，China）

We study the boundary value problem for a class of singular fractional differential equations.We first derive the Green’s function for the boundary value problem and sho wthat Green’s function satisfies some properties.Second，by using nonlinear alternative of Leray－Schauder type and Krasnoselskii’s fixed point theorem in a cone，some sufficient conditions of existence of at least one positive solution are established.

existence of positive solution；fractional differential equation；fixed point；cone

O175.6

A

1004－4353（2012）01－0001－06

2011－09－20

國家自然科學基金資助項目（11161049）

＊通信作者：侯成敏（1963—），女，教授，研究方向為微分方程理論及其應用.