烴類垂向微滲漏過程的積木塊模型及差分格式

李 萌，孫春巖，文百紅

（1.中國石油勘探開發(fā)研究院，北京 100083；2.中國地質(zhì)大學(xué)，北京 100083）

烴類垂向微滲漏過程的積木塊模型及差分格式

李 萌1，孫春巖2，文百紅1

（1.中國石油勘探開發(fā)研究院，北京 100083；2.中國地質(zhì)大學(xué)，北京 100083）

這里提出以代表質(zhì)量守恒的反應(yīng)對(duì)流擴(kuò)散方程作為主控方程的烴類垂向微滲漏方程組的差分格式，即雙向一維分裂校正差分格式，并建立地層積木塊模型對(duì)該格式的邊界進(jìn)行討論。差分格式是預(yù)估～校正差分格式的一種改進(jìn)形式，它融合了Crank－Nicolson格式、交替方向隱格式、預(yù)估～校正差分格式的特點(diǎn)，具有二階差分精度，且無條件穩(wěn)定。由于差分格式將每一步都?xì)w結(jié)為求解三對(duì)角線方程組，因此適合并行運(yùn)算。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，應(yīng)用差分格式的數(shù)值模擬結(jié)果符合烴類垂向微滲漏過程的理論模型，可作為烴類垂向微滲漏過程分析的計(jì)算方法。

烴類垂向微滲漏過程；反應(yīng)對(duì)流擴(kuò)散方程；雙向一維分裂校正差分格式；積木塊模型

0 前言

普遍存在于油氣藏中的烴類垂向微滲漏現(xiàn)象的發(fā)生機(jī)制是油氣化探的理論基礎(chǔ)，也是通過化探方法尋找油氣藏的主要依據(jù)。對(duì)烴類垂向微滲漏現(xiàn)象具有代表性的研究工作有：Soli［1］提出環(huán)狀異常是烴類垂向微滲漏形成的主要地表異常類型，他認(rèn)為近地表土壤層中強(qiáng)烈的細(xì)菌活動(dòng)，破壞了來自油氣藏內(nèi)部垂向遷移的烴，致使油氣藏內(nèi)部對(duì)應(yīng)的近地表烴類濃度大大減少，從而使得烴類垂向微滲漏現(xiàn)象看起來只發(fā)生在油氣藏邊緣［8］；MacElvain［2］提出烴類氣體呈膠體大小的氣泡向地表遷移的微滲漏模型；Price［3］提出烴類膠體微氣泡通過微裂隙向地表遷移的微滲漏模型，認(rèn)為烴類氣體呈膠體大小的氣泡，在浮力的作用下以布朗運(yùn)動(dòng)方式沿著油氣藏上覆巖層中充滿水的、相互連通的“微裂隙”網(wǎng)絡(luò)向地表遷移；Saeed（1991），Arp（1992）和Klusman（1993，1994）用達(dá)西定律論證并支持了Price模型；我國學(xué)者文百紅和Putikov［4］從物理化學(xué)實(shí)驗(yàn)和模擬的角度，論證了Price模型的可行性。

雖然Price模型已得到學(xué)術(shù)界的廣泛認(rèn)同，但是該模型的定量關(guān)系尚處于討論之中。目前，我國學(xué)者龔維琪［5］、湯玉平［6、7］等從烴類垂向微滲漏現(xiàn)象出發(fā)，對(duì)比研究了油氣藏上方組構(gòu)異常與濃度異常，分析了油氣藏不同部位烴類垂向微滲漏在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、變量組合、樣本聚合等方面的差異性，討論了化探異常的形成機(jī)理；夏響華［8］、肖偉［9］等對(duì)烴類垂向?yàn)闈B漏模型及數(shù)值模擬進(jìn)行了討論。截止目前，烴類垂向微滲漏過程被歸結(jié)為以代表質(zhì)量守恒的反應(yīng)，對(duì)流擴(kuò)散方程作為主控方程的方程組。作者在本文對(duì)該方程組的求解方法進(jìn)行了討論。

作者在本文提出：①地層積木塊模型，用于討論烴類垂向微滲漏方程組的邊界條件；②雙向一維分裂校正差分格式，用于求解以反應(yīng)對(duì)流擴(kuò)散方程作為主控方程的烴類垂向微滲漏方程組。經(jīng)數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，作者建立的差分格式具有較高的差分精度，并因其可歸結(jié)為追趕法求解三對(duì)角線方程組而具有并行性質(zhì)。應(yīng)用本文中差分格式的數(shù)值模擬結(jié)果，符合烴類垂向微滲漏過程的理論模型，可作為烴類垂向微滲漏過程分析的計(jì)算方法。

1 烴類垂向微滲漏過程的數(shù)學(xué)模型

烴類垂向微滲漏過程的二維模型［1］可以抽象為如圖1所示。

圖1 烴類垂向微滲漏過程二維理論模型Fig.1 Two－dimensional theoretical model of hydrocarbon micro seepage

圖1 給出了地下油氣藏的烴類物質(zhì)，經(jīng)過垂向微滲漏到達(dá)地表，形成地表暈（環(huán)）狀異常的理論模型。文獻(xiàn)資料表明，地下油氣藏的油水邊界處對(duì)應(yīng)的地表地球化學(xué)異常出現(xiàn)明顯的高值區(qū)，而油藏內(nèi)部對(duì)應(yīng)的地表地球化學(xué)異常卻表現(xiàn)出相對(duì)低值［6，10、11］。因此油水邊界處的運(yùn)移效應(yīng)明顯強(qiáng)于油氣藏的其它部份，是最容易發(fā)生強(qiáng)烈烴類滲漏的區(qū)域，這也是造成地表化探異常的形態(tài)以暈狀為主的原因。如圖1所示，油水邊界處對(duì)應(yīng)烴類垂向?yàn)闈B漏強(qiáng)烈區(qū)。

事實(shí)上，學(xué)者Soli（1957）對(duì)暈狀異常的研究發(fā)現(xiàn)，近地表土壤層中強(qiáng)烈的細(xì)菌活動(dòng)，即微生物降解作用，破壞了來自油氣藏內(nèi)部垂向遷移的烴，并與近地表土壤對(duì)烴類物質(zhì)的吸附作用一起，使整體烴類垂向微滲漏現(xiàn)象看起來只發(fā)生在油氣藏邊緣［1］。故圖1的理想模型是將微生物降解作用和土壤吸附作用，分別用近地表垂向疊置的兩層表示。

目前，對(duì)烴類垂向微滲漏過程定量研究的結(jié)果顯示，在區(qū)域 Ω ＝ ［0，xmax］× ［0，zmax］× ［0，tmax］上的烴類垂向微滲漏過程，可以用如下方程組表示［6、8、9］，即：

其中 0≤x≤xmax；0≤z≤zmax；0≤t≤tmax；C表示烴類微滲漏過程中第k種烴類組分濃度，量綱為ML－3；ˉC表示土壤對(duì)第k種烴類組份的吸附濃度，量綱為ML－3；φ表示地層的平均有效孔隙度，無量綱；u∞表示第k種烴類泡狀流動(dòng)的極限速度；t表示時(shí)間，量綱為T；Dii（i＝x，z）表示第k種烴類在x，z方向的擴(kuò)散系數(shù)，量綱為L2T－1；k1表示微生物降解作用對(duì)第k種烴類的消耗率；k2表示土壤對(duì)第k種烴類的非平衡吸附率。

方程式（1）是用于描述烴類垂向微滲漏過程的質(zhì)量守恒方程，它是反應(yīng)對(duì)流擴(kuò)散方程；方程式（2）是描述烴類垂向微滲漏過程中，土壤非平衡吸附的吸附控制方程。

2 地層積木塊模型

沉積盆地是油氣生成、運(yùn)移和聚集的基本單元［12］，具有沉積穩(wěn)定，橫向變化緩慢和成層性好的特點(diǎn)［13］。作者在本文將沉積盆地層狀地層結(jié)構(gòu)抽象為地層積木塊的疊壘結(jié)構(gòu)，如圖2所示，其中每個(gè)地層積木塊的差別體現(xiàn)在層內(nèi)物理參數(shù)和邊界條件上。作者將疊壘的地層積木塊分為兩種類型，即起始積木塊和非起始積木塊。作者對(duì)于兩類積木塊頂、底邊界條件作了如下設(shè)計(jì)［14］：

（1）由于不考慮地層積木塊左右邊界對(duì)烴類垂向微滲漏濃度分布的影響，故設(shè)兩類積木塊的左右邊界均具有第二類邊界條件。

（2）對(duì)起始積木塊而言，其底邊界因存在烴源而具有第一類邊界條件；其頂邊界因存在對(duì)烴類垂向微滲漏濃度分布的影響，故具有第三類邊界條件，其對(duì)濃度分布的影響程度由第三類邊界條件的透射系數(shù)控制。

圖2 地層積木塊模型Fig.2 Building block strata model

（3）對(duì)于非起始積木塊而言，其底邊界則應(yīng)由前一層頂邊界賦值得到；其頂邊界仍具有第三類邊界條件。起始積木塊和非起始積木塊的參數(shù)模型分別如圖3和圖4所示。

3 雙向一維分裂校正差分格式

作者將Crank－Nicolson格式交替方向隱格式和預(yù)估～校正差分格式融合在一起，建立了針對(duì)方程式（1）和方程式（2）所組成目標(biāo)問題的求解格式，即雙向一維分裂校正差分格式［14］。

為了方便推導(dǎo)方程式（1）的差分格式，現(xiàn)將該方程整理為：

式中 a＝1；b＝φu∞；c＝Dzz；d＝Dxx；e＝－（k1＋k2）；f＝k2。

（1）第一步。應(yīng)用Crank－Nicolson格式建立基本差分格式，對(duì)各階導(dǎo)數(shù)的處理方法如下：

其中 h＝Δx＝xi＋1－xi；h＝Δz＝zj＋1－zj。故式（3）的Crank－Nicolson格式表示為：

其中 τ＝Δt＝tn＋1－tn。

同時(shí)，式（2）的Crank－Nicolson格式為：

（2）第二步。融合交替方向隱格式和預(yù)估～校正差分格式，建立雙向一維分裂校正差分格式。即將方程式（3）拆分成x、z兩個(gè)方向的一維問題，并利用差分格式式（9）和式（10）求解。

即方程式（3）可歸結(jié)為求解如下方程組：

其中 第一式代表x方向的反應(yīng)擴(kuò)散過程，是求解式（3）的第一步；第二式代表z方向的對(duì)流擴(kuò)散過程，是求解第二步；第三式為差分格式整體校正過程，是求解第三步。

綜上所述，方程組（11）的雙向一維分裂校正差分格式如下頁式（12）。

故式（12）與式（10）就組成了用于求解烴類垂向微滲漏方程組的差分格式。

4 算法特點(diǎn)

雙向一維分裂校正差分格式的主要特點(diǎn)可以

表述為：①三步求解都是在同一個(gè)時(shí)間步長τ上進(jìn)行；②第一步和第二步計(jì)算分別是在x方向和z方向的隱格式；③第一步x方向新的計(jì)算值，作為第二步z方向的預(yù)估值；而第二步z方向新的計(jì)算值，作為第三步的預(yù)估值；第三步求解則是利用整體方程對(duì)前兩步計(jì)算結(jié)果的總體校正。由第三步計(jì)算求得的新計(jì)算值，就作為一個(gè)時(shí)間步長內(nèi)的最終計(jì)算結(jié)果。

事實(shí)上，雙向一維分裂校正差分格式是預(yù)估～校正差分格式的一種改進(jìn)形式，由前面可知，該格式具有二階差分精度，且無條件穩(wěn)定。而又由于每一步都可以歸結(jié)為求解三對(duì)角線方程組，因此該差分格式適合并行運(yùn)算。

5 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

作者以雙層積木塊模型的數(shù)值實(shí)驗(yàn)為例，雙層積木塊由起始積木塊和一個(gè)非起始積木塊疊壘而成。其中起始積木塊底邊界的烴類濃度源來自地下油氣藏中的油水邊界處，非起始積木塊頂邊界即為地表。作者在本文中采用無量綱化參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，并將最終結(jié)果進(jìn)行歸一化。

（1）雙層積木塊內(nèi)部參數(shù)為：按起始、非起始積木塊的順序，兩個(gè)積木塊大小相同，寬、高均為10；孔隙度分別為0.1和0.2；烴類物質(zhì)膠體微氣泡上升的極限速度都為u∞＝0.4；烴類物質(zhì)橫向擴(kuò)散系數(shù)分別為Dxx＝0.2和Dxx＝0.1；垂向擴(kuò)散系數(shù)分別為Dzz＝0.4和Dzz＝0.2；設(shè)兩個(gè)積木塊中土壤吸附作用和微生物降解作用在各自層內(nèi)均勻，并設(shè)兩個(gè)積木塊中微生物降解系數(shù)都為k1＝0.05，且吸附系數(shù)為k2＝0.05。對(duì)應(yīng)油氣藏油水邊界處的固定濃度源為720，起始積木塊頂邊界的第三類邊界條件的透射系數(shù)為β＝0.05。圖5是雙層積木塊中烴類垂向微滲漏及地表化探環(huán)狀異常理論模型的示意圖。

（2）起始積木塊初始條件為：初始烴類濃度分布為C（x，z，0）＝0；初始土壤吸附濃度分布為ˉC（x，z，0）＝0。

圖5 雙層積木塊中烴類垂向微滲漏及地表化探環(huán)狀異常二維理論模型示意圖Fig.5 The theoretical model of hydrocarbon micro－seepage based on the two－block model

（3）起始積木塊邊界條件為：

底邊界：

頂邊界：

見下頁圖6，圖6（a）是烴類垂向微滲漏到起始積木塊頂部時(shí)，起始積木塊的頂邊界和底邊界的烴類濃度分布情況；圖6（b）是烴類垂向微滲漏至非起始積木塊頂邊界時(shí)的情況，即此時(shí)烴類垂向微滲漏過程結(jié)束，到達(dá)地表，圖6中藍(lán)色曲線表示地表烴類濃度分布，紅色曲線表示雙層積木塊中起始積木塊底邊界的烴類濃度分布。

對(duì)比圖6與圖5可知，在雙層積木塊中，應(yīng)用本文中的差分格式，求解烴類垂向微滲漏方程組的數(shù)值結(jié)果與理論模型一致。由地層積木塊模型的建模方法可知，雙層積木塊中的結(jié)論可以推廣到地層積木塊任意多疊壘的模型中去。

圖6 雙層積木塊中烴類濃度分布圖Fig.6 Hydrocarbon concentration based on the two－block model

6 結(jié)論

作者在本文的研究共有三點(diǎn)結(jié)論：

（1）作者在本文中將沉積盆地層狀地層結(jié)構(gòu)抽象為地層積木塊的疊壘結(jié)構(gòu)，建立了地層積木塊模型，并認(rèn)為每個(gè)地層積木塊的差別體現(xiàn)在層內(nèi)物理參數(shù)和邊界條件上。作者還將疊壘的地層積木塊分為兩種類型，即起始積木塊和非起始積木塊。并分別對(duì)兩類積木塊的邊界條件進(jìn)行討論。

（2）雙向一維分裂校正差分格式是具有二階差分精度，且無條件穩(wěn)定的差分格式。

（3）在雙層積木塊中的數(shù)值試驗(yàn)表明，應(yīng)用本文差分格式求解烴類垂向微滲漏方程組的數(shù)值結(jié)果符合理論模型，故本文差分格式可作為烴類垂向微滲漏過程分析的計(jì)算方法。

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TE 122.2＋3

A

10.3969／j.issn.1001－1749.2012.05.15

1001—1749（2012）05—0582—05

國家863計(jì)劃（2007AA09Z309）

2011－12－19 改回日期：2012－06－16

李萌（1982－），女，北京人，博士，研究方向?yàn)榈卣饘傩苑治雠c解釋。