耦合Schrdinger方程組的一個(gè)高精度算法＊

許麗娟，曹圣山

（中國(guó)海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東青島266100）

0 引言

u（x，t），v（x，t）是復(fù)值函數(shù)，i2＝－1，β是一個(gè)常數(shù)，描述了光波轉(zhuǎn)換的最小逼近。有如下的電荷與能量守恒關(guān)系：

1 差分格式的提出

針對(duì)（1）～（4）提出如下格式：

定理1 差分格式（8）～（11）關(guān)于離散電荷和離散能守恒，即：

證明 將（8）式兩邊與Un＋1＋Un－1做內(nèi)積，取虛部得：

同理，（9）式與Vn＋1＋Vn－1做內(nèi)積，取虛部，得（13）式成立。

同理，將（9）式與Vn＋1－Vn－1做內(nèi)積，取實(shí)部得：

由（15）（16）得En＝En－1，遞推之，得（14）式成立。

2 差分解的估計(jì)

定理2差分格式（8）～（11）的解有估計(jì)式：

3 差分格式的收斂性與穩(wěn)定性

將（22）式與en＋1＋en－1做內(nèi)積，取虛部，左端為Im（rn，en＋1＋en－1），右端各項(xiàng)的計(jì)算如下：

可知第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的和為0，

同理得：

由（24）與（25），得：

（26）兩邊同時(shí)乘τ，對(duì)n求和：

取τ足夠小，使得1－Cτ≡Δ＞0，（27）變?yōu)椋?/p>

由Gronwall不等式，得：

即證。

同理可以證明差分格式的穩(wěn)定性。

定理4 差分格式（8）～（11）的解對(duì)初值依平方模穩(wěn)定。

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

方程組（8）～（11）改為：

取不同h、τ值，計(jì)算它們?cè)趖＝40時(shí)間段內(nèi)用的時(shí)間見(jiàn)表1。

表1 本文格式與文獻(xiàn)［8］格式計(jì)算時(shí)間的比較Table 1 The comparision of the time between this paper and paper［8］

當(dāng)β＝0或β＝1時(shí)，CNLS是一個(gè)融合的系統(tǒng)并且是一個(gè)彈性碰撞，當(dāng)β≠0，1時(shí)，是一個(gè)非彈性碰撞，例如：當(dāng)時(shí)，孤立子的碰撞會(huì)發(fā)生融合，反射和傳播隨初值變化，當(dāng)β＝0.3時(shí)，2列波融合為1列，當(dāng)β＝3時(shí)，又產(chǎn)生了新的波。圖1為0.4，τ＝0.16，T＝40時(shí)的圖形，驗(yàn)證了當(dāng)β＝0或β＝1時(shí)，是彈性碰撞，當(dāng)β≠0，1時(shí)，是一個(gè)非彈性碰撞。定義離散能量誤差為，離散電荷誤差為其中分別是t＝nΔt時(shí)刻的離散能量和離散電荷，圖2是本文格式的離散能量和離散電荷誤差，可以看出離散能量和離散電荷是守恒的。

圖1 本文格式在β取不同值時(shí)的數(shù)值解Fig.1 The solutions of the scheme in this paper whenβis different

圖2 本文格式的電量和能量誤差Fig.2 Discrete mass and discrete energy error of the scheme in this paper

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