復(fù)指數(shù)函數(shù)的定義問題

孫小康，徐松金

（ 銅仁學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)系，貴州 銅仁 554300 ）

復(fù)指數(shù)函數(shù)的定義問題

孫小康，徐松金

（ 銅仁學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)系，貴州 銅仁 554300 ）

對實數(shù)域中指數(shù)函數(shù)的定義在復(fù)數(shù)域上的推廣及歐拉公式與復(fù)指數(shù)函數(shù)的關(guān)系進行了探討。

歐拉公式； 復(fù)指數(shù)函數(shù)； 乘法運算

1.引言

復(fù)變函數(shù)論里的歐拉公式：eix= c osx+is inx，e是自然對數(shù)的底，i是虛數(shù)單位。它將三角函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)域，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位。將公式里的x換成 ?x，得到：e?ix= c osx?is inx，然后采用兩式相加減的方法得到：

這兩個也叫做歐拉公式。將eix= c osx+is inx中的x取作 就得到：eiπ+1 = 0 。這個恒等式也叫做歐拉公式，它是數(shù)學(xué)里最令人著迷的一個公式，它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個數(shù)聯(lián)系到了一起，兩個超越數(shù)：自然對數(shù)的底e、圓周率 ，兩個單位：虛數(shù)單位i和自然數(shù)的單位 1，以及數(shù)學(xué)里常見的 0。復(fù)變函數(shù)教學(xué)中常碰到下面這些問題：歐拉公式是怎么得來的，為什么這樣定義復(fù)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)呢？復(fù)變函數(shù)的教材很多但是都沒有詳細地說明這個問題。本文對這些問題進行了討論。

2.如何在復(fù)數(shù)域上定義指數(shù)函數(shù)

為了使負數(shù)開平方有意義，需要再一次擴大數(shù)域，于是，就引入了虛數(shù)，使實數(shù)域擴大到復(fù)數(shù)域。如何建立復(fù)數(shù)理論，首先要引入運算法則，然后將初等函數(shù)等這些最基本的概念推廣到復(fù)數(shù)域。給出兩個復(fù)數(shù)z1=x1+iy1和z2=x2+iy2，其加法、減法的定義為實部與虛部分別相加減。乘法如何定義呢？給出復(fù)數(shù)的四則運算之后如何進一步進行處理？如何將導(dǎo)數(shù)、微分的概念推廣到復(fù)變函數(shù)上來？如何將實數(shù)域上熟知的初等函數(shù)推廣到復(fù)數(shù)域上來？

解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)研究的主要對象。它是一類具有某種特性的可微函數(shù)。函數(shù)成為解析函數(shù)的必要條件是滿足柯西—黎曼條件，即如果是解析函數(shù)，則必須有

3.結(jié)論

[1]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]宛秀白.關(guān)于復(fù)指數(shù)函數(shù)定義的討論[J].廊坊師專學(xué)報，1995，（4）.

[3]阿爾福斯.復(fù)分析[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1984.

The Definition of the Index Function in Complex Variables

SUN Xiao-kang, XU Song-jin
( Department of Mathematics and Computer Science, Tongren University, Tongren, Guizhou 554300,China )

In this paper, we discuss how to extend the definition of index function in field of real numbers to the field of complex numbers and discuss the relationship between Euler formula and complex index function.

Euler formula; Index function; multiplication

（責(zé)任編輯 毛志）

O174.5

A

1673-9639 (2012) 02-0141-03

2011-11-18

本文系銅仁學(xué)院校級課題（課題批準號：TR052）成果。

孫小康（1982-），女，湖南邵陽人，碩士，講師，研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、函數(shù)論。