一種尺度參數(shù)的確定方法

任艷艷

（山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030006）

一種尺度參數(shù)的確定方法

任艷艷

（山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030006）

密度函數(shù)的小波估計(jì)中，尺度參數(shù)的選擇是最關(guān)鍵的問(wèn)題，如果尺度參數(shù)選擇大小，則受噪聲影響比較大.如果尺度參數(shù)選擇過(guò)大，雖然密度函數(shù)估計(jì)較好，但密度估計(jì)的曲線大幅振蕩.通過(guò)在多維空間中，基于小波的多分辨分析理論對(duì)多變量密度函數(shù)進(jìn)行的小波估計(jì)，提出了利用Fisher信息來(lái)確定尺度參數(shù)的新方法.

Fisher信息；尺度參數(shù)；小波；密度估計(jì)

0 引言

概率密度函數(shù)包含了一個(gè)隨機(jī)變量的全部信息，概率密度估計(jì)是統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)中的一個(gè)核心問(wèn)題，知曉了密度函數(shù)就可以解決幾乎所有統(tǒng)計(jì)學(xué)中的問(wèn)題.參數(shù)估計(jì)是對(duì)分布中未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，估計(jì)參數(shù)從而確定密度.但事實(shí)上，很多數(shù)據(jù)的分布無(wú)法事先假定，這使得非參數(shù)估計(jì)的方法得到了廣泛應(yīng)用，非參數(shù)估計(jì)是不對(duì)參數(shù)作假定或不考慮原總體分布時(shí)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)和判斷分析的方法.非參數(shù)估計(jì)的方法許多，如直方圖估計(jì)，Rosenblatt估計(jì)［1］，Parzen核估計(jì)［2］，最近鄰估計(jì)［3］等，隨著小波理論的日益完善，密度函數(shù)的小波估計(jì)得到了更多的重視.

小波分析理論的核心部分是多分辨分析，多分辨分析是構(gòu)造小波基的基本構(gòu)架，也是信號(hào)在小波基下進(jìn)行分解和重構(gòu)的基本理論保證.利用多分辨分析，可以將一個(gè)復(fù)雜函數(shù)分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)分別討論.這時(shí)函數(shù)由一個(gè)近似粗糙部分和一系列細(xì)節(jié)組成，其中粗糙部分對(duì)應(yīng)于信號(hào)的低頻部分，細(xì)節(jié)部分對(duì)應(yīng)于信號(hào)的高頻部分，且高頻成分是分層的，是在不同分辨率下產(chǎn)生的，由多分辨子空間的Riesz基導(dǎo)入尺度基，又由尺度基產(chǎn)生小波基.按照多分辨分析，尺度函數(shù)是整個(gè)框架的生成元，它生成整個(gè)框架，也生成小波函數(shù).只要構(gòu)造了尺度函數(shù)，小波函數(shù)就可以求出，所以尺度參數(shù)的選擇是個(gè)重要也是難于抉擇的問(wèn)題，在求d處的近似密度時(shí)，尺度參數(shù)控制著不同距離的樣本點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)密度的影響程度，尺度參數(shù)選擇對(duì)密度曲線的邊界影響很大.參數(shù)太小隨機(jī)干擾增大降低了估計(jì)的準(zhǔn)確性，參數(shù)太大則函數(shù)突變點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的小波變換的模極大值的幅度衰減得比較厲害，這將使函數(shù)的突變特征不明顯甚至消失，所以選擇參數(shù)至關(guān)重要.利用Daubechies迭代方法［4］可以得到一個(gè)尺度函數(shù)族，但是比較復(fù)雜.t參數(shù)Bursa-Wolf轉(zhuǎn)換模型法，需要假設(shè)尺度參數(shù)空間各向同向，解出的尺度參數(shù)值為各個(gè)軸度參數(shù)的綜合平均，不夠精確.本文基于多變量密度函數(shù)提供了一種較為有效的確定尺度參數(shù)的方法.

1 多分辨分析和小波

稱(chēng)空間L2（Rd）中的一列閉子空間V j，j∈Z為L(zhǎng)2（Rd）的一個(gè)多分辨分析［2］，若：

2 多變量密度函數(shù)的小波估計(jì)

｛X i｝為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，令X j＝（X j＋1，…，X j＋d），f（x）為聯(lián)合密度函數(shù)，假設(shè)f∈L2（Rd），則f（x）的小波展開(kāi)式［1］為：

由于上述密度函數(shù)的小波估計(jì)可能出現(xiàn)負(fù)值或在Rd上積分不為1，Pinheiro和Vidakovic（1997）［5］將小波估計(jì)應(yīng)用到密度的平方根

3 利用Fisher信息確定尺度參數(shù)

Fisher信息表示了樣本向量所包含的關(guān)于參數(shù)信息的多少，F(xiàn)越大，參數(shù)的不確定性越小.Fisher信息通過(guò)區(qū)分一個(gè)函數(shù)與它經(jīng)過(guò)小變換以后的結(jié)果，可以判斷函數(shù)的粗糙程度，且通過(guò)一個(gè)小變換以后函數(shù)的信息不變.

假設(shè)多變量密度函數(shù)f（x）絕對(duì)連續(xù)，f（x）的Fisher信息函數(shù)［6］定義為根據(jù)求導(dǎo)算子的小波表示，可以得到密度函數(shù)線性估計(jì)導(dǎo)函數(shù)的小波估計(jì)，從而確定只依賴(lài)于尺度參數(shù)的Fisher信息函數(shù)的小波估計(jì).

在尺度j下，T j為T(mén)的漸進(jìn)算子，系數(shù)｛al｝在Beylkin（1992）文章中列出，由密度估計(jì)的線性估計(jì)（4），得T＾f的一個(gè)小波估計(jì)：

證明 該結(jié)論為 Huber（1974）一個(gè)定理［6］的特例.

［1］Emanuel Parzen.On estimation of density function and mode［J］.The Annals of Mathematical Statistics，1962，33（3）：1 065-1 076

［2］Murray Rosenblatt.Remarks on some nonparametric estimate of a density function［J］.The Annals of Mathematical Statistics，1956，27（3）：832-837

［3］Loftsgaarden D O，Quesenberry C P.A nonparametric estimate of a multivariate density function［J］.The Annals of Mathematical Statistics，1965，36（3）：1 049-1 051

［4］Cheong Y W，Lee Y M，Ra K H，et al.Wavelet-Galerkin scheme of time-dependent inhomogeneous electro-magnetic problems［J］.IEEE Microwave and Guided Wave Letters，1999，9（8）：297-299

［5］Pinheiro A，Vidakovic B.Estimating the square root of density via compactly supported wavelets［J］.Computational Statistics and Data Analysis，1997，25：399-415

［6］Huber P J.Fisher information and spline interpolation［J］.The Annals of Statistics，1974，2：1 029-1 034

［7］G Beylkin.On the representation of operates in bases of compactly supported wavelets［J］.Siam J.Numer.Anal，1992，6：1 718

A Measure Method to Determine the Parameters

Ren Yanyan
（School of Mathematical Science，Shanxi University，Taiyuan 030006，China）

The scale parameter selection is the key problem in wavelet estimators of density function.Small values of this parameter lead to the estimators not so accurate due to the influences of noise while large values lead to the wavelet estimation curve which is greatly oscillation.Based on wavelet multiresolution analysis and the wavelets estimators of the multivariate density function，a new method to confirm the scale parameter by Fisher information is proposed.

Fisher information；scale parameter；wavelets；density estimators

王映苗】

1672-2027（2012）01-0081-03

O212.7

A

2011-09-15

任艷艷（1986-），女，山西柳林人，山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院在讀碩士研究生，主要從事時(shí)間序列分析的研究.