內(nèi)積H-Z-空間中的酉Z-算子與正常Z-算子及其性質(zhì)

秦宣華,楊萬(wàn)必

(湖北民族學(xué)院 理學(xué)院 湖北 恩施 445000)

文獻(xiàn)[1-8]引入了Z-空間(X,+,θ,‖·‖)、B-Z-空間、內(nèi)積Z-空間、內(nèi)積H-Z-空間、共軛Z-空間和共軛Z-算子的概念；在此基礎(chǔ)上，本文提出了內(nèi)積H-Z-空間中的酉Z-算子與正常Z-算子的概念，并將泛函分析學(xué)中希爾伯特空間有關(guān)酉算子與正常算子的性質(zhì)移植到內(nèi)積H-Z-空間中正常Z-算子的性質(zhì)之中.

在文獻(xiàn)[8]中討論過(guò)共軛Z-算子以及自共軛Z-算子，下面研究?jī)?nèi)積H-Z-空間中的另外兩類(lèi)算子.

定義1 設(shè)H是復(fù)內(nèi)積H-Z-空間，T∈R(H),則:

1)若T*T=TT*=I，稱(chēng)T是酉Z-算子，這里I是單位Z-算子.

2)若T*T=TT*=I，稱(chēng)T是正常Z-算子.

很容易得出以下結(jié)論：

命題1 設(shè)H是復(fù)內(nèi)積H-Z-空間，T∈R(H),則:

1)若T投影Z-算子，則T是正常Z-算子；

2)若T自共軛Z-算子，則T是正常Z-算子；

3)若T酉Z-算子，則T是正常Z-算子.

定理1 設(shè)H是復(fù)內(nèi)積H-Z-空間，T∈R(H),則:

1)T是酉Z-算子當(dāng)且僅當(dāng)T是到上的并且(Tx,Ty)=(x,y),x,y∈H

(1)

或 ‖Tx‖=‖x‖，?x∈H

(2)

2)T是正常Z-算子當(dāng)且僅當(dāng)‖Tx‖=‖T*x‖，?x∈H

(3)

3)T是酉Z-算子(或者正常Z-算子)當(dāng)且僅當(dāng)T*也是酉Z-算子(或者正常Z-算子).

證明1)根據(jù)極化恒等式容易得出式(1)和式(2)是等價(jià)的.由酉Z-算子的定義，T*T=TT*=I，于是T和T*都是到上的.此時(shí)(x,y)=(T*Tx,y)=(Tx,Ty),x,y∈H，故式(1)成立.反過(guò)來(lái)當(dāng)式(1)成立時(shí)，x,y∈H(x,y)=(T*Tx,y)，于是，T*Tx,=x，即T*T=I.同理TT*=I.

2)當(dāng)式(3)成立時(shí)，x∈H,(Tx,Tx)=(T*x,T*x)，從而(T*Tx,x)=(TT*x,x)，再應(yīng)用極化不等式可得T*T-TT*=0，即T是正常Z-算子，反過(guò)來(lái)也很容易得出.

3)顯然T是酉Z-算子當(dāng)且僅當(dāng)T*=T-1.于是T**=(T-1)*=(T*)-1，從而T*是酉Z-算子.關(guān)于T是正常Z-算子當(dāng)且僅當(dāng)T*是正常Z-算子的結(jié)論很易得出.

定理2 設(shè)H是內(nèi)積H-Z-空間，T∈R(H).若T是自共軛Z-算子，則Z-算子.

U=(T+iI)(T-iI)-1

(4)

是酉Z-算子.

證明由于‖(T+iI)x‖=((T±iI)x,(T±iI)x)=(Tx,Tx)+(x,x)=(Tx,Tx)+(x,x)=‖Tx‖2+‖x‖2≥‖x‖2，于是T±iI都是一一的.容易得出R(T±iI)是閉子Z-空間.由于(T±iI)*=T*?iI=T?iI,同樣地(T±iI)*是一一的，故而R(T±iI)=H.總之，T±iI都是一一的到上的Z-算子.于是(T±iI)-1都是定義在全內(nèi)積H-Z-空間H上的有界線性Z-算子，U也是到上的.又因?yàn)閁U*=(T+iI)(T-iI)-1(T+iI)(T-iI)=I,同理U*U==I，所以U是酉Z-算子.

定理3 設(shè)H是內(nèi)積H-Z-空間，則:

1)T∈R(H)是正常Z-算子當(dāng)且僅當(dāng)T有如下分解：T=T1+iT2，其中T1，T2是自共軛Z-算子并且T1T2=T2T1.

2) 若Tn∈R(H)是正常Z-算子，‖Tn-T‖→0，則T是正常Z-算子.

證明1)若T1，T2是自共軛Z-算子并且T1T2=T2T1，T=T1+iT2，則:

即T*T=TT*，T是正常Z-算子.

[1] 王國(guó)俊，白永成.平移空間的線性結(jié)構(gòu)[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2005，48(1)：01-10.

[2] 楊萬(wàn)必，秦宣華.Z-空間上的線性算子的性質(zhì)[J].中南民族大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2006，25(1)：97-99.

[3] 楊萬(wàn)必，李永亮.關(guān)于Z-空間的性質(zhì)[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2005，23(4)：330-331.

[4] 楊萬(wàn)必.共軛Z-空間與共軛Z-算子的性質(zhì)[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008，26(1)：12-14.

[5] 楊萬(wàn)必.內(nèi)積Z-空間及其性質(zhì)[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008，26(3)：330-331.

[6] 楊萬(wàn)必.內(nèi)積H-Z-空間及其性質(zhì)[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008，27(2)：187-189.

[7] 秦宣華，楊萬(wàn)必.內(nèi)積H-Z-空間中的投影算子及其性質(zhì)[J].吉首大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，30(5)：021-025.

[8] 秦宣華,楊萬(wàn)必.內(nèi)積H-Z-空間中的共軛Z-算子及其性質(zhì)[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，28(4):420-421.

[9] 劉培德.泛函分析基礎(chǔ)[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，2001：69-76，151-160，194-205.