算術(shù)里的藝術(shù)

廖敢云

摘要：本文闡述了被除數(shù)為質(zhì)數(shù)時產(chǎn)生的循環(huán)小數(shù)的多種奇妙現(xiàn)象，進(jìn)而分析了被除數(shù)為合數(shù)的相關(guān)余數(shù)的規(guī)則性，揭示了自然界存在的一種數(shù)字內(nèi)涵的美，并分析了一個偶位數(shù)循環(huán)節(jié)不一定具有半九律。

關(guān)鍵詞： 循環(huán)節(jié) 余數(shù) 互質(zhì)

1、產(chǎn)生循環(huán)節(jié)的相關(guān)余數(shù)之間的關(guān)系

1.1如表1所示，a/b化小數(shù)中，以b=17為例，用表格列出1/17的循環(huán)節(jié)及其相關(guān)余數(shù)。表格中第一行為循環(huán)節(jié)上的數(shù)字，第二行為相關(guān)余數(shù)。

表1

把表1中其相關(guān)余數(shù)從1到10到15…到12的順序依次編為a 到a …到a ，如表所示中，a 是a 的2/3倍，即12*2/3=8，同樣，a 與a 的2/3關(guān)系：可把8還原為2*17+8，即42*2/3=28，28-17=11，如此計算，a 總是a 的2/3倍。依次看下去，a 也是a 的2/3倍。又如：a +a +a =a 即：1+10+4=15，則a +a +a =a 也成立。再如a +a +a +a =0（注：這里的0是17即b進(jìn)制的個位數(shù)0），則 a +a +a +a =0也成立 ?？梢钥闯觯涸赼/b化小數(shù)時，其先后出現(xiàn)的余數(shù)中，如果a 與a 之間有某種和、差、倍的關(guān)系，則a 與a 也有這種和、差、倍的關(guān)系。等等。以上是以b為質(zhì)數(shù)17時產(chǎn)生的現(xiàn)象，當(dāng)b為別的質(zhì)數(shù)時，同樣會有這種類似的或別的關(guān)系。結(jié)論：在a/b（b為非2、3、5的質(zhì)數(shù)）化小數(shù)產(chǎn)生的任何一個循環(huán)節(jié)里，如果依次出現(xiàn)的某順序上相關(guān)余數(shù)之間存在著某種關(guān)系時，只要符合這個順序關(guān)系的其它的相關(guān)余數(shù)之間也存在同樣的關(guān)系。

1.2若十進(jìn)制整數(shù)Z是一個由9組成的n位數(shù)，用10 、10 …到10 分別除以b得到相應(yīng)的余數(shù)再分別乘以9后相加，若能被b整除，則Z也就能被b整除。以b=17為例，其除十進(jìn)制10 （0≤n≤16）每位上所得的余數(shù)剛好與1/17化小數(shù)過程中所得循環(huán)節(jié)的各個相關(guān)余數(shù)相同，見表2第二行。即：9*（a +a +…+a ）的結(jié)果是17的倍數(shù)才能被17整除，而質(zhì)數(shù)17并不含有9的任何因數(shù)，那么（a +a +…+a ）的結(jié)果必為17的整數(shù)倍，(當(dāng)b=17時，j=b-1=16)。而當(dāng)b=3時，無論（a +a +…+a ）的結(jié)果是什么，9*（a +a +…+a ）的結(jié)果都能被3整除。所以當(dāng)b=3時，產(chǎn)生循環(huán)節(jié)的相關(guān)余數(shù)之和可以不是3的整數(shù)倍。結(jié)論：在a/b（b為非2、3、5的質(zhì)數(shù)）化小數(shù)中，產(chǎn)生同一個循環(huán)節(jié)的相關(guān)余數(shù)之和為b的整數(shù)倍。

1.3在a/b化小數(shù)中，以1/17為例，用表格分4組依次列出1/17的相關(guān)余數(shù)，每組4個相關(guān)余數(shù)，如表2

表2 表3

表2是1/17所產(chǎn)生的相關(guān)余數(shù)，而表3中，每一列數(shù)中從第一行到第四行之比皆為表2第一列第一行到第四行數(shù)之比即A ：A ：A ：A =1：4：16：13。表3與表2的第一行和第一列數(shù)都相同，根據(jù)整除的理論，由于表2中這些余數(shù)都是同一個循環(huán)節(jié)的相關(guān)余數(shù)，說明表2中每一行數(shù)字之和都不能被17整除。表3中，設(shè)第一行之和到第四行之和分別為M、M*A / A 、M*A / A 、M*A / A 。由于表3各數(shù)之和是表2各數(shù)之和加上17的整數(shù)倍的結(jié)果，又由整除理論可知表2各數(shù)之和是17的整數(shù)倍,所以表3也是17的整數(shù)倍,而表3四行之和為：M+ M* A / A + M* A / A + M*A / A 即：M*( A + A + A + A )/ A。由于1≤A ≤16，A 不含有質(zhì)數(shù)17的任何因數(shù),由整除理論可知M不可能是17的整數(shù)倍，所以M/A 不含有17的任何因數(shù)，只有(A +A +A + A )之和為17的整數(shù)倍。結(jié)論：在a/b(b為非2、3、5的質(zhì)數(shù))化小數(shù)中，所得的循環(huán)節(jié)的相關(guān)余數(shù)有w個，w為（b-1）的因數(shù)，若w=q*p成立，則可按其依次出現(xiàn)的順序分成q組p個，那么無論任何分法，每一組相同位置的余數(shù)相加和為b的整數(shù)倍，即a +a +a …+a =Z*b(Z為整數(shù))。

1.4在a/b化小數(shù)中，所得的任一循環(huán)節(jié)上的數(shù)字按循環(huán)順序如果可以分成q組p個，則把每組數(shù)字按原循環(huán)順序組成一個p位數(shù)后再把q個p位數(shù)加起來和為T，具有合九律。相關(guān)余數(shù)的第一列之和（A + A + A +……+A ）除以b等于整數(shù) Z，當(dāng)Z=1時，T為p位數(shù)字9組成的數(shù)；當(dāng)1＜Z≤10時，T是首一位數(shù)字加上尾一位數(shù)字和為9，中間由p-1位數(shù)字9組成的數(shù)；當(dāng)10 +1≤Z≤10 時,T是一個n+1位首尾和為n+1位9,中間由p-n-1位9組成的數(shù)；以1/7為例，產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)為142857，共6位，可以分成3組，每組兩個數(shù)字，即14、28、57，則14+28+57=99；或者分成42、85、71，則42+85+71=198，三組首位相關(guān)相余數(shù)相加為3+6+5=14，Z=14/7=2，2*9=18，首1加尾8即1+8=9。（注：本文中w、p、T含意與此節(jié)里相同）

2、除數(shù)為合數(shù)產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)

2.1幾種特殊數(shù)的性質(zhì)。

真分?jǐn)?shù)a/b中b=b *b ：⑴若b =2 ，b 為非2、5的質(zhì)數(shù)時，a/b=（a*5 ）/b /10 ，若 （a*5 ）/ b =Z+v, ( 1≤v＜b ),那么a/b=（Z+v/b ）/10 ，Z部分不被包含在循環(huán)節(jié)里；而b =5 時，同理可推。也就是說，b 為2 或5 時，所產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)與a /b [1≤a ≤（b -1）]產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)相同。而a中與b互質(zhì)的數(shù)所產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)全部可以通過相關(guān)轉(zhuǎn)換成以b 為除數(shù)所產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)。⑵ 3是數(shù)字動態(tài)形式里9的因數(shù)，當(dāng)b =3 ，b 為質(zhì)數(shù)時：①化a/b為小數(shù)的過程中不會出現(xiàn)余-a的情況；②若n=1， b產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)上數(shù)字之和為3的整數(shù)倍，且同一個循環(huán)節(jié)里計算“半九律”的結(jié)果為“半三或半六律”；③若n=2，b產(chǎn)生的同一個循環(huán)節(jié)里計算“合九律”的結(jié)果“合X律”，X為1至8中的任何一個數(shù)字。④同一個循環(huán)節(jié)里的任意兩個與3互質(zhì)的相關(guān)余數(shù)之差皆為3（或9）的整數(shù)倍。

2.2 在a/b中，1≤a＜b,b= b *b ，b 和b 皆非2或5的質(zhì)數(shù)（以后相同），那么a/b化小數(shù)的過程中會產(chǎn)生三部分循環(huán)小數(shù)，一部分是由從1到（b-1）中有（b -1）個含有b 為因數(shù)的數(shù)，這些數(shù)與b約去b 后成為以a /b 化小數(shù)產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)，1≤a ≤（b -1）；同樣地，第二部分與第一部分過程一樣，是由a /b 化小數(shù)產(chǎn)生的，1≤a ≤（b -1）；第三部分是以b為除數(shù)，從1到（b-1）中與b互質(zhì)的數(shù)為被除數(shù)產(chǎn)生的，其能產(chǎn)生（b-1）-（b -1）-（b -1）即（b+1）-（b +b ）個參與這部分循環(huán)節(jié)的數(shù)。從1到b-1中含有b 、2 b 、3 b ……（b -1）b 和b 、2b 、3 b ……（b -1）b ，通過演算，它們和為：b*（b +b -2）/2，由于b 和b 皆不為2或5的質(zhì)數(shù)，所以（b +b -2）/2是一個整數(shù)，由從1到b-1之和是b*（b-1）/2，而（b-1）/2-（b +b -2）/2也為整數(shù)，故第三部分的余數(shù)之和是b的整數(shù)倍。若b是w個數(shù)字9組成數(shù)的因數(shù)，則b產(chǎn)生的第三部分循環(huán)節(jié)與由a /b （或a /b ）產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)組成w位數(shù)除以b （或b ）相同，并且w是（b-1）/2-（b +b -2）/2的因數(shù)。以b=133、b =7、b =19為例，由（b+1）-（b +b ）=133+1-7-19=108位，但由于w =6，w =18，它們的最小公倍數(shù)為18，所以18個9組成的數(shù)就能被133整除，所以有6個18位的循環(huán)節(jié)。當(dāng)a=1時，循環(huán)節(jié)和相關(guān)余數(shù)如表4。

0 0 7 5 1 8 7 9 6 9 9 2 4 8 1 2 0 3

1 10 100 69 25 117 106 129 93 132 123 33 64 108 16 27 4 40

表4

從表4排列可以看出，a +a =7K ，而a +a =19K ， a -a =7k ,a -a =19k ,以上K 、K 、k 、k 皆為整數(shù)。在133中只含因數(shù)7、19僅各一個，用1.3節(jié)表2的排列法來分析，18可分解為2*9、3*6兩種，133的第一行若為6個余數(shù)1、10、100、69、25、117，和M為7*46，由a +a =7K ，則第一行之和M含133的因數(shù)7，而必僅含因數(shù)19的第一列余數(shù)1、106、64之和19*9不能被133整除；若每行9個，則每行相連6個的結(jié)果才能被7整除，而9不是6的整數(shù)倍，所以第一行之和不含因數(shù)7，同理，也不含因數(shù)19，所以每列數(shù)字之和必同時含因數(shù)7、19，能被133整除，所以具有合九律。結(jié)論：⑴在a/b中，1≤a＜b,b= b *b ，b和b 、b 所得的循環(huán)節(jié)位數(shù)分別為w、w 、w ，則w為w 與w 的最小公倍數(shù)，若w 、w 皆為偶數(shù)，設(shè)w /2=s, w /2=r，則第三部分相關(guān)余數(shù)中，a +a 為b 的整數(shù)倍，a 與a 之差為b 的整數(shù)倍，而a +a 為b 的整數(shù)倍，a 與a 之差為b 的整數(shù)倍。若w≠w 且w≠w ，第一行排w （或w ）的整數(shù)倍p （或p ）個相關(guān)余數(shù)所得的第一列和只是b （或b ）的整數(shù)倍。而所得T有以b （或b ）為除數(shù)所得的w/p （或w/p ）個循環(huán)節(jié)組成的部分。⑵若w、w 、w 皆為偶數(shù)，且w/ w、w/ w 皆為奇數(shù)，那么第三部份循環(huán)節(jié)具有半九律；若 w 、w 有其一為質(zhì)數(shù)或皆為質(zhì)數(shù)，則第三部分同一個循環(huán)節(jié)里沒有合九律，第j位相關(guān)余數(shù)到第j+ w -1位（或j+ w -1位）相關(guān)余數(shù)之和為b （或b ）的整數(shù)倍即任意連續(xù)w （或w ）個相關(guān)余數(shù)之和是b （或b ）的整數(shù)倍。⑶若w 是w 的公倍數(shù)，則以b 產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)為數(shù)除以b 結(jié)果始終還是b 產(chǎn)生的循環(huán)，w 位b 產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)組成的數(shù)除以b 結(jié)果還是w / w 個b 產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)。

2.3在a/b中, b=b ，則產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)有兩部分，一部分由1到（b -1）除以b 產(chǎn)生，另一部分由1到（b-1）中與b互質(zhì)的數(shù)除以b產(chǎn)生。

2.4當(dāng)b為n個質(zhì)因數(shù)（非2、5）的積，從1到b-1中與b互質(zhì)的數(shù)之和總是b的整數(shù)倍，化a/b為小數(shù)所得的循環(huán)節(jié)由2 -1個不同的除數(shù)產(chǎn)生。

2.5在a/b中，b為n個質(zhì)因數(shù)（非2、5）的積，相應(yīng)的循環(huán)節(jié)位數(shù)為w、w 、w 、w …w ，則w為w 、w 、w …w 的最小公倍數(shù)，在b產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)里，p為w、w 、w 、w …w 中任何整數(shù)倍時，所得的T都沒有合九律。當(dāng)w為偶數(shù)，且w與w 、w 、w …w 的比值皆為奇數(shù)時，與b互質(zhì)產(chǎn)生的循環(huán)節(jié)才具有半九律。

注：文章內(nèi)所有公式及圖表請以PDF形式查看。