圓錐曲線第二定義在解題中的應(yīng)用

　　摘 要：新課程改革要求在數(shù)學(xué)教學(xué)中構(gòu)建數(shù)學(xué)知識體系，全面提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的運(yùn)用。圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容，同時也是高考內(nèi)容考查的重點(diǎn)。利用圓錐曲線第二定義解題，不僅可以提高解題效率，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。
　　關(guān)鍵詞：圓錐曲線；第二定義；應(yīng)用
　　
　　現(xiàn)在高中教材中的圓錐曲線包括橢圓、雙曲線和拋物線三種。它們不僅是平面解析幾何教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，而且也是高考壓軸題經(jīng)常涉及和考查的對象。三種圓錐曲線的定義既是教材重要的基本內(nèi)容，也是解決許多問題的一種方法。圓錐曲線的第二定義把焦點(diǎn)、準(zhǔn)線和離心率巧妙地聯(lián)系起來，在解相關(guān)的題目時，如能巧妙運(yùn)用第二定義，能起到化繁為簡的作用，使問題簡潔明快的得以解決，在解題中起到事半功倍的效果。
　　一、圓錐曲線的第二定義
　　圓錐曲線第二定義也稱其為統(tǒng)一定義，其定義為平面內(nèi)與一個定點(diǎn)和一條定直線的距離之比為常數(shù)e（e＞0）的點(diǎn)的軌跡，其中定點(diǎn)是曲線的焦點(diǎn)，定直線是對應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線，e為離心率。當(dāng)e＞1時，軌跡為雙曲線；當(dāng)e=1時，軌跡為拋物線；當(dāng)0＜e＜1時，軌跡為橢圓。從定義中我們可以看出第二定義揭示了圓錐曲線之間的內(nèi)在聯(lián)系，它刻畫了點(diǎn)與點(diǎn)的距離、點(diǎn)到線的距離之間的數(shù)量關(guān)系。它不僅是研究圓錐曲線圖像與性質(zhì)的基礎(chǔ)，而且還在解決眾多的數(shù)學(xué)問題中，具有不可低估的特殊功能。
　　二、圓錐曲線的第二定義在解題中的應(yīng)用
　　有關(guān)圓錐曲線的問題運(yùn)算量大，求解過程復(fù)雜，如能正確、靈活地運(yùn)用圓錐曲線的相關(guān)定義去分析解題，往往會使問題化繁為簡，提高解題思路的精確率。圓錐曲線的第二定義可應(yīng)用于求解離心率、最值、軌跡問題以及相關(guān)的證明題。下面我們介紹其相關(guān)的一些應(yīng)用。
　　1.證明焦半徑公式
　　已知圓錐曲線方程以及曲線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求解這一點(diǎn)與圓錐曲線焦點(diǎn)之間的距離。我們常規(guī)的做法是利用圓錐曲線的方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)這點(diǎn)的橫坐標(biāo)求解出這點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用距離公式得出結(jié)果。如果方程比較復(fù)雜，那勢必增加運(yùn)算量。然而，利用第二定義能很容易得出結(jié)果，我們常稱其為焦半徑公式。
　　4.軌跡問題
　　圓錐曲線問題中有由曲線求方程， 以及由方程研究曲線的性質(zhì)兩類基本問題。由曲線求方程也稱求軌跡方程是圓錐曲線中最基本也是最重要的問題，同時也是高考考查的重點(diǎn)與熱點(diǎn)問題。利用圓錐曲線的第二定義求軌跡方程就是根據(jù)動點(diǎn)滿足的條件特征，利用圓錐曲線的第二定義判斷該動點(diǎn)的軌跡是橢圓、雙曲線或拋物線，從而確定軌跡方程的形式，再根據(jù)題中的條件確定方程中的參數(shù)就可求出動點(diǎn)的軌跡方程。
　　例：如圖，正三棱錐S-ABC中，側(cè)面SAB與底面ABC所成二面角為α，動點(diǎn)P在側(cè)面SAB內(nèi)，PQ⊥底面ABC于Q，且PQ=PS×sinα，則動點(diǎn)P的軌跡為（ ）
　　A.線段 B.圓弧 C.雙曲線一部分
　　D.拋物線一部分
　　解：如圖，過P作PD⊥AB于D點(diǎn)，連接ＤＱ，易知DQ⊥AB，∠PDQ=α，在Rt△PDQ中，有PD=PQ/sinα，又PQ=PSsinα，所以PD=PS，即Ｐ到定點(diǎn)與到定直線的距離相等（e=1），所以P點(diǎn)的軌跡為拋物線的一部分。
　　三、結(jié)束語
　　圓錐曲線在高考中占據(jù)了很大的一個比重，尤其每年的壓軸題都涉及圓錐曲線的性質(zhì)，是區(qū)分成績的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。圓錐曲線的第二定義從另外一個角度揭示了圓錐曲線上的每一個點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律以及數(shù)量關(guān)系，在解析幾何問題中，運(yùn)用圓錐曲線定義可以較好地解決焦半徑、準(zhǔn)線、離心率等相關(guān)問題。運(yùn)用圓錐曲線第二定義解題，通過數(shù)形結(jié)合，不僅能夠抓住問題的本質(zhì)，而且還能避免問題的復(fù)雜性，有利于相關(guān)問題的巧妙解決。
　　參考文獻(xiàn):
　?。?］程森旺.圓錐曲線定義在解題中的應(yīng)用.高等教育，2010（25）：93-94.
　?。?］張秀英.淺談圓錐曲線定義解題.中國科技創(chuàng)新導(dǎo)刊，2010（32）：96-96.
　　（作者單位 趙標(biāo)：安徽省五河縣第二中學(xué) 丁邦鳳：上海市嘉定區(qū)中光高級中學(xué)）
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文