課堂外的數(shù)字世界

　　在我們數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的閑暇，適當(dāng)?shù)亻_展一些相關(guān)的拓展課堂是一種很有價(jià)值的輔助教學(xué)嘗試。經(jīng)由這樣的拓展教學(xué)嘗試，我們可以邂逅書本外的知識(shí)，拓展中學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，分享快樂與啟迪智慧……本文源自在上海市復(fù)興實(shí)驗(yàn)中學(xué)中預(yù)（2）班開展的一次初中數(shù)學(xué)的拓展課堂，在介紹數(shù)的整除內(nèi)容的基礎(chǔ)上，與學(xué)生一起討論有關(guān)完美數(shù)和親和數(shù)的一些數(shù)學(xué)知識(shí)和相關(guān)數(shù)學(xué)故事與文化。
　　具體的課堂教學(xué)的設(shè)計(jì)與嘗試如下：
　　一、來自課本外的數(shù)字朋友：新知識(shí)的呈現(xiàn)
　　教學(xué)片段一：完美數(shù)的引入
　　師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了因數(shù)，現(xiàn)在我們來回顧一下，請同學(xué)們依次在下列表格中填寫出8的因數(shù)和10的因數(shù)。
　?。ㄔ趲熒?dòng)下寫出如下表格的第一行。）
　　師：很好，下面我們來學(xué)習(xí)一個(gè)新概念——真因數(shù)，真因數(shù)指除去它本身的因數(shù)。如8的真因數(shù)是1，2，4；10的真因數(shù)是1，2，5。（邊說邊完成表格。）
　　師：請同學(xué)們試著寫出下列各數(shù)的真因數(shù)：4，6，12，14。
　　在師生互動(dòng)下寫出：
　　4：1，2
　　6：1，2，3
　　12：1，2，3，4，6
　　14：1，2，7
　　師：現(xiàn)在請同學(xué)們算算上面這些數(shù)各自的真因數(shù)之和，你能發(fā)現(xiàn)它與原來的數(shù)有什么關(guān)系嗎？有沒有什么比較特別的數(shù)？
　　2~3分鐘后，有學(xué)生說：“6是與眾不同的一個(gè)數(shù)：1+2+3=6，其和正好等于它本身。而其他數(shù)的真因數(shù)之和不是大于就是小于原數(shù)?！?br/>　　師：好?，F(xiàn)在讓我們兩人一組去找找看在15~30中有沒有和6一樣——其真因數(shù)之和等于本身這樣獨(dú)特性質(zhì)的數(shù)？
　　教學(xué)目的：讓學(xué)生體驗(yàn)如何去找完美數(shù)，一個(gè)一個(gè)去算，體會(huì)數(shù)學(xué)家找這些完美數(shù)的過程。然后學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)在這些他們計(jì)算的數(shù)中，28也是具有這樣性質(zhì)的數(shù)：28＝1＋2＋4＋7＋14。由此引出完美數(shù)的概念。
　　完美數(shù)，就是一些特殊的自然數(shù)，它所有的真因素（除了自身以外的因數(shù)）之和恰好等于它本身。
　　師：由此我們可以知道，6和28都是完美數(shù)。其實(shí)，在所有兩位數(shù)中，已經(jīng)沒有其他完美數(shù)了。
　　而像12這樣小于它的真因數(shù)之和的叫做虧數(shù)（不足數(shù)）；大于真因數(shù)之和的（如14）叫做盈數(shù)或過剩數(shù)。
　　隱藏在數(shù)中的精彩——故事一：
　　同學(xué)們，你們知道嗎？（一邊指著完美數(shù)一邊說）宗教學(xué)者將它們視為宇宙經(jīng)緯的一部分：上帝創(chuàng)造世界用了6天，月亮繞地球一周需28天。古希臘人也非常重視完美數(shù)的研究。大約在公元前100年，有一個(gè)叫尼可馬修斯的數(shù)學(xué)家寫了第一本專門研究數(shù)論的書《算術(shù)入門》，其中寫道：“也許是這樣：正如美的、卓越的東西是罕有的，是容易計(jì)數(shù)的，而丑的、壞的東西卻滋蔓不已；所以盈數(shù)和虧數(shù)非常之多，而且紊亂無章，它們的發(fā)現(xiàn)也毫無系統(tǒng)……”現(xiàn)在數(shù)學(xué)家已發(fā)現(xiàn)，完全數(shù)非常稀少，至今人們只發(fā)現(xiàn)47個(gè)，而且都是偶完美數(shù)。前5個(gè)完美數(shù)分別是：6，28，496，8128，33550336。
　　當(dāng)告訴學(xué)生第3個(gè)完美數(shù)是496，第4個(gè)數(shù)是8128時(shí)，他們都露出非常驚訝的表情，“難道中間就沒有完美數(shù)了嗎？”有學(xué)生問。當(dāng)說出第5個(gè)數(shù)是33550336時(shí)，他們真的不敢相信了，有學(xué)生直呼：“哇，不是吧！”有的還說：“不行，我得回去算算。這么多數(shù)中間，難道都沒有一個(gè)完美數(shù)嗎？”
　　師笑而不語，問：同學(xué)們有沒有發(fā)現(xiàn)這些完美數(shù)有什么共同特征？
　　生1：老師，我知道，他們都是偶數(shù)。
　　師：嗯，是的，而且末尾都是6和8的偶數(shù)。
　　生2：老師，那有沒有是奇數(shù)的完美數(shù)呢？
　　師：這依然是完美數(shù)世界的一個(gè)謎，等待著你們?nèi)グl(fā)現(xiàn)呢！
　　生：哦，這么神奇啊，到現(xiàn)在科學(xué)家們都沒找到一個(gè)奇完美數(shù)嗎？
　　同學(xué)們都很驚訝。
　　教學(xué)片段二：親和數(shù)的引入
　　師：接下來讓我們繼續(xù)追尋數(shù)之世界的傳奇。聽，有下面的一小段數(shù)學(xué)故事
　　故事二：
　　其實(shí)在古代，人類就對某些數(shù)字有著非常特別的情結(jié)。紀(jì)元前的一些人類部落把220和284兩個(gè)數(shù)字奉若神明。在那個(gè)時(shí)期，男女青年擇偶時(shí)，往往先把這兩個(gè)數(shù)分別寫在不同的木簽上，他們?nèi)舴謩e抽到了220和284，便被確定為終身伴侶；否則，他們便被認(rèn)定天生無緣，只有分道揚(yáng)鑣。這種結(jié)婚方式固然是古老部落的陋俗，但在某種迷信色彩的背后，卻隱匿著人們對于這兩個(gè)數(shù)字的敬畏。表面上，這兩個(gè)數(shù)字似乎沒有什么神秘之處，其實(shí)不然。
　　當(dāng)說到這兒的時(shí)候，師故意停頓了一下。
　　這時(shí)，很多學(xué)生已經(jīng)迫不及待了，老師，這兩個(gè)數(shù)到底有什么神秘的呀，你快說呀！
　　師：好，這兩個(gè)數(shù)有什么特殊之處呢？讓我們一起來發(fā)現(xiàn)隱藏在其間的秘密吧……現(xiàn)在我們把班上的同學(xué)分成兩個(gè)組，分別來算算220和284的真因數(shù)。
　　班上學(xué)生自然地被分成兩組，一組算220的真因數(shù)，一組算284的真因數(shù)，它們的真因數(shù)很快就算出來了：
　　220：1，2，110，4，55，5，44，10，22，11，20，
　　284：1，2，142，4，71。
　　師：有哪位同學(xué)發(fā)現(xiàn)了隱藏在其中的神秘寶藏？……友情提醒，請同學(xué)們分別計(jì)算這兩個(gè)數(shù)的真因數(shù)之和……
　　生：老師，真的很神奇耶！我們發(fā)現(xiàn)220的全部真因數(shù)之和恰好等于284；而284的全部真因數(shù)之和又恰好等于220。
　　然后黑板上的文字呈現(xiàn)如下：
　　220=1+2+4+71+142
　　284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110
　　這個(gè)發(fā)現(xiàn)讓許多學(xué)生非常興奮，覺得世界上真有這么巧的事情存在。有學(xué)生說：“老師，世界上真有這樣的兩個(gè)數(shù)存在啊，太神奇了，還有這樣的數(shù)嗎？”“是啊，老師，這樣的數(shù)還有嗎？”同學(xué)們都問道。
　　師：是的。像220和284這樣的一對數(shù)，數(shù)學(xué)家稱它為親和數(shù)，有的書上也叫友好數(shù)。讓我們先說一下親和數(shù)的定義吧。
　　親和數(shù)的定義：設(shè)有一個(gè)數(shù)對（c，d），如果c是d的所有真因數(shù)的和，而d是c的所有真因數(shù)的和，我們就稱這個(gè)數(shù)對（c，d）是親和數(shù)。
　　師：現(xiàn)在老師可以給你們看一個(gè)神奇的圖表（電子版展示圖表如下）。
　　故事三：
　　親和數(shù)其實(shí)可以有許多許多對。我們上面看到的數(shù)對（220，284）則是最小的一對親和數(shù)。遠(yuǎn)在1747年的時(shí)候，一個(gè)叫歐拉的大數(shù)學(xué)家找到了30對親和數(shù)，后來又?jǐn)U展到了60對，不僅列出了數(shù)表，還公布了全部的計(jì)算過程，令數(shù)學(xué)家們拍案叫絕。同學(xué)們知道嗎？其實(shí)當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家們竟然漏了一對很小的親和數(shù)：1184和1210。這是一個(gè)名叫白格黑尼的中學(xué)生在1866年發(fā)現(xiàn)的。當(dāng)時(shí)他才16歲……你們看，小小少年竟然發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)大師們的疏漏……
　　于是這又迎來學(xué)生片刻數(shù)學(xué)興趣的高潮。1184和1210的真因數(shù)似乎不大容易算，同學(xué)們不是漏了這個(gè)就是漏了那個(gè)。終于，在諸多同學(xué)的共同努力下，大家一起計(jì)算和驗(yàn)證了1184和1210確實(shí)是一對親和數(shù)，同學(xué)們都顯得興奮異樣。
　　二、數(shù)學(xué)思考的再拓展——數(shù)學(xué)的黑洞
　　師：我們把一個(gè)數(shù)m的所有真因數(shù)之和記作p（m）。我們把它稱作p的函數(shù)。則有p（6）=6，p（28）=28，p（220）=284，p（284）=220。
　　我們可以通過圖1來說明。
　　這個(gè)表示的是2環(huán)的數(shù)鏈，我們可以把它記為p2（220）=220，那么，請同學(xué)們思考一下，是否有這樣的數(shù)m存在，使得p3（m）=m？知道這是什么意思嗎？
　　生：老師，我知道，就是一個(gè)數(shù)經(jīng)過3次真因數(shù)之和的計(jì)算回到它本身。
　　師：是的，我們也可以通過圖2來說明。
　　這個(gè)表示的是3環(huán)的數(shù)鏈。那請同學(xué)們想想，是否會(huì)有這樣的數(shù)鏈存在呢？
　　在一些學(xué)生熱情的提議下，我們開始尋找這樣的3環(huán)的數(shù)鏈之旅：有的同學(xué)組成小組，利用團(tuán)結(jié)合作的方式，而有的同學(xué)自己在冥思苦算，力圖獨(dú)立完成探究，還有的在小聲地商量著……
　　10分鐘后的話題回旋。
　　師：好，同學(xué)們有誰找到了這樣的數(shù)？或者，你們有沒有什么別的發(fā)現(xiàn)？
　　生1：老師，我算來算去最后都回到了1。
　　生2：老師，我也是。
　　生3：老師，我們都是……
　　我們在黑板上列出一些同學(xué)計(jì)算的過程如下：
　　20→22→14→10→8→7→1
　　32→31→1
　　30→42→54→66→78→90→144→259→45→33→15→9→4→3→1
　　師：呵呵，這個(gè)非常獨(dú)特的現(xiàn)象就是數(shù)學(xué)上有名的“數(shù)學(xué)的黑洞”上面的計(jì)算之旅或多或少告訴大家，在p－函數(shù)的鏡像中看，1是數(shù)學(xué)上的一種黑洞。經(jīng)過上面的計(jì)算過程，絕大多數(shù)最后都回到1。而6，28，220，284…這些數(shù)則是剩下的少數(shù)派——完美數(shù)與親和數(shù)，演繹著逃離黑洞的奇跡。相關(guān)于完美數(shù)與親和數(shù)更多的數(shù)學(xué)童話，請同學(xué)們查閱課堂外廣闊的網(wǎng)絡(luò)世界……
　　這是一個(gè)大約60分鐘的數(shù)學(xué)拓展課堂。課后我們做了一個(gè)簡單的問卷調(diào)查。相關(guān)的數(shù)據(jù)說明，學(xué)生們對這樣的課堂是充滿期待和非常歡迎的。課結(jié)束后，同學(xué)們都咋咋稱奇，訝異于這些數(shù)字的神奇，體會(huì)著數(shù)學(xué)的神秘。這一數(shù)學(xué)拓展課堂讓許多同學(xué)耳目一新，不僅豐富了知識(shí)，拓展了視野，而且大大地提高了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情。選擇在比較緊張與相對枯燥的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的閑暇，添加一些數(shù)學(xué)的趣味話題和數(shù)學(xué)故事的點(diǎn)滴，做一點(diǎn)數(shù)學(xué)拓展課堂的嘗試，對于中學(xué)生拓展數(shù)學(xué)知識(shí)與視野，對于他們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情的提高和數(shù)學(xué)學(xué)科德育教育無疑是大有益處的。我們真誠的希望，這樣的數(shù)學(xué)課堂再多一些。
　?。ㄗ髡邌挝?上海市復(fù)興實(shí)驗(yàn)中學(xué) 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系）
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文