淺談在課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的途徑

　　數(shù)學(xué)思想方法作為基礎(chǔ)知識(shí)的重要組成部分，但又有別于基礎(chǔ)知識(shí)。除基本的數(shù)學(xué)方法以外，其他思想方法都呈隱蔽形式，滲透在學(xué)習(xí)新知識(shí)和運(yùn)用知識(shí)解決問題的過程之中。這就要求教師在教學(xué)過程中要把握滲透的時(shí)機(jī)，選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，使學(xué)生能夠領(lǐng)悟并逐步學(xué)會(huì)運(yùn)用這些思想方法去解決問題。下面是筆者對(duì)在課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法途徑的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)。
　　一、在知識(shí)的形成過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法
　　數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過程實(shí)際上也是數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)生過程。任何一個(gè)概念，都經(jīng)歷著由感性到理性的抽象概括過程；任何一個(gè)規(guī)律，都經(jīng)歷著由特殊到一般的歸納過程。如果我們把這些認(rèn)識(shí)過程返璞歸真，在教師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生以探索者的姿態(tài)出現(xiàn)，去參與概念的形成和規(guī)律的揭示過程，學(xué)生獲得的就不僅是數(shù)學(xué)概念、定理、法則，更重要的是發(fā)展了抽象概括的思維和歸納的思維，還可以養(yǎng)成良好的思維品質(zhì)。因此，概念的形成過程、結(jié)論的推導(dǎo)過程、規(guī)律的被揭示過程都是滲透數(shù)學(xué)思想方法的極好機(jī)會(huì)和途徑。
　　1.展開概念——不要簡單地給定義
　　概念是思維的細(xì)胞，是濃縮的知識(shí)點(diǎn)，是感性認(rèn)識(shí)飛躍到理性認(rèn)識(shí)的結(jié)果。而飛躍的實(shí)現(xiàn)要經(jīng)過分析、綜合、比較、抽象、概括等思維的邏輯加工，依據(jù)數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)。因此概念教學(xué)應(yīng)當(dāng)完整地體現(xiàn)這一生動(dòng)的過程，引導(dǎo)學(xué)生揭示隱藏于知識(shí)之中的思維內(nèi)含。心理學(xué)認(rèn)為，人對(duì)事物的第一次接觸是最敏感的，教學(xué)成功與否，關(guān)鍵是喚起對(duì)舊知識(shí)的回憶，探尋新知識(shí)的源頭，并通過事物的發(fā)生和發(fā)展的教學(xué)，掌握活的數(shù)學(xué)概念。
　　例如，函數(shù)的概念學(xué)生在初中階段就已經(jīng)接觸，但較完整的定義卻在高中出現(xiàn)。如何在函數(shù)概念的教學(xué)中滲透函數(shù)思想呢?筆者認(rèn)為：中學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)思想包括變數(shù)思想，集合的對(duì)應(yīng)（映射）思想，數(shù)形結(jié)合的思想，研究函數(shù)自變量、函數(shù)取值范圍以及變量之間關(guān)系的不等式控制思想等。其中變數(shù)思想是函數(shù)思想的基礎(chǔ)，對(duì)應(yīng)思想是函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想和控制思想是函數(shù)思想的具體體現(xiàn)和應(yīng)用。在函數(shù)知識(shí)的形成與學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)逐步滲透上述思想。為此，根據(jù)高一學(xué)生的認(rèn)知水平，在函數(shù)概念教學(xué)時(shí)應(yīng)該抓住函數(shù)是兩個(gè)變量之間的一種特殊的對(duì)應(yīng)（映射）的思想進(jìn)行滲透?？梢酝ㄟ^豐富的實(shí)例，讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)是描述變量間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型。
　　2.延遲判斷——不要過早地下結(jié)論
　　判斷可以看做是壓縮了的知識(shí)鏈。數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)、法則、公理、關(guān)系、規(guī)律等結(jié)論都是一個(gè)個(gè)具體的判斷。教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生積極參與這些結(jié)論的探索、發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)的過程，弄清每個(gè)結(jié)論的因果關(guān)系，使學(xué)生看到某個(gè)判斷時(shí)，能像回憶自己參加有趣活動(dòng)那樣津津樂道。
　　3.激活推理——不要呆板地找關(guān)聯(lián)
　　激活推理就是要使判斷上下貫通，前后遷移、左右逢源，盡可能從已有的判斷生出眾多的思維觸角，促成思維鏈條的高效運(yùn)轉(zhuǎn)，不斷在數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)下推出一個(gè)個(gè)新的判斷、新的思維結(jié)果。
　　如在立體幾何三垂線定理的教學(xué)中，為充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維活動(dòng)，可以設(shè)計(jì)下列幾個(gè)問題:①若直線l與平面α垂直，則l垂直α內(nèi)的任何直線，那么當(dāng)l是平面α的斜線時(shí)，l與α內(nèi)的直線有幾種位置關(guān)系呢？②當(dāng)l是平面α的斜線時(shí)，平面α內(nèi)有沒有直線與l垂直，在什么情況下，l與α內(nèi)的直線垂直？讓學(xué)生開展討論，并闡述理由。③你覺得三垂線定理的本質(zhì)是什么？它有什么作用？
　　二、在解題探索過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法
　　課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出：“要加強(qiáng)對(duì)解題的正確指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生從解題的思想方法上作必要的概括”。數(shù)學(xué)中的化歸、數(shù)學(xué)模型、數(shù)形結(jié)合、類比、歸納猜想等思想方法，既是解題思路分析中必不可少的思想方法，又是具有思維導(dǎo)向型的思想方法。如學(xué)生一旦形成了化歸意識(shí)，就能化未知為已知、化繁為簡、化一般為特殊，優(yōu)化解題方法；數(shù)學(xué)思想方法在解題思路探索中的滲透，可以使學(xué)生的思維品質(zhì)更具合理性、條理性和敏捷性。如：
　　例1.求f（x）=3sin（x+20°）+sin（x+80°）的最大值和最小值。
　　不少同學(xué)直接使用公式展開，結(jié)果相當(dāng)繁瑣，造成思維混亂?；膺@一問題的方法是，將x+20°（或x+80°)看成一個(gè)整體，x+80°化為（x+20°）+60°。這里涉及換元思想方法（整體思想方法）和化繁為簡的化歸思想方法。在具體教學(xué)中，可以告知學(xué)生從函數(shù)解析式的特點(diǎn)看本題，本題的焦點(diǎn)是角度不同（即自變量不同）。因此，關(guān)鍵在于如何利用三角恒等變換公式將函數(shù)中的角化成同一個(gè)角。
　　例2.圓周上有2007個(gè)點(diǎn)，每兩點(diǎn)間連一條弦，如果其中任意三條弦在圓內(nèi)不共點(diǎn)，求以這些弦在圓內(nèi)的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形個(gè)數(shù)。
　　這是一個(gè)計(jì)數(shù)問題，如果直接計(jì)算有相當(dāng)大的難度。為此，思考每一個(gè)圓內(nèi)三角形與圓上的點(diǎn)有什么關(guān)系？這種想法的實(shí)質(zhì)就是對(duì)應(yīng)思想（映射思想），是化歸思想方法中的一種。圓的三條弦恰好在圓內(nèi)交出一個(gè)三角形，弦不同所得的三角形也不同。可見，每一個(gè)圓內(nèi)三角形與圓上的6個(gè)不同的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)一一映射，即f：｛圓內(nèi)三角形｝→｛圓上六點(diǎn)組｝。因此，就能得出符合條件的三角形個(gè)數(shù)。
　　三、在問題的解決過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法
　　問題解決是以思考為內(nèi)涵，以問題目標(biāo)為定向的心理活動(dòng)，是在新情景下通過思考去實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)的活動(dòng)，“思考活動(dòng)”和“探索過程”是問題解決的內(nèi)核。數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的問題解決，與其他科學(xué)領(lǐng)域用數(shù)學(xué)去解決問題不同。數(shù)學(xué)領(lǐng)域里的問題解決，不僅關(guān)心問題的結(jié)果，而且關(guān)心求得結(jié)果的過程，即問題解決的整個(gè)思考過程。數(shù)學(xué)問題解決，是按照一定的思維對(duì)策進(jìn)行的思維過程。在數(shù)學(xué)問題解決的過程中，既運(yùn)用抽象、歸納、類比、演繹等邏輯思維形式，又運(yùn)用直覺、靈感（頓悟）等非邏輯思維形式來探索問題的解決辦法。
　　問題是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)問題的解決過程，實(shí)質(zhì)是命題的不斷變換和數(shù)學(xué)思想方法的反復(fù)運(yùn)用過程。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)問題的解決觀念性成果，它存在于數(shù)學(xué)問題的解決之中。數(shù)學(xué)問題的步步轉(zhuǎn)化無不遵循數(shù)學(xué)思想方法指示的方向。因此，通過問題解決，可以培養(yǎng)數(shù)學(xué)意識(shí)，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，提供數(shù)學(xué)想象；伴以實(shí)際操作，可以誘發(fā)創(chuàng)造動(dòng)機(jī)，可以把數(shù)學(xué)嵌入活的思維活動(dòng)之中，并不斷在學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的過程中，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)、掌握方法、形成思想，促進(jìn)思維能力的發(fā)展。
　　數(shù)學(xué)問題的解決過程是用“不變”的數(shù)學(xué)思想和方法去解決不斷“變換”的數(shù)學(xué)命題，在數(shù)學(xué)問題的解決過程中滲透數(shù)學(xué)思想和方法，不僅可以加快和優(yōu)化問題解決的過程，而且還可以達(dá)到會(huì)一題而明一路、通一類的效果。
　　四、在復(fù)習(xí)與小結(jié)中提煉、概括數(shù)學(xué)思想方法
　　小結(jié)與復(fù)習(xí)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，揭示知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系以及歸納、提煉知識(shí)中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法是小結(jié)與復(fù)習(xí)的功能之一。數(shù)學(xué)的小結(jié)與復(fù)習(xí)，不能僅停留在把已學(xué)的知識(shí)溫習(xí)記憶一遍的要求上，而要去努力思考新知識(shí)是怎樣產(chǎn)生、展開和證明的，其實(shí)質(zhì)是什么，怎樣應(yīng)用它等。小結(jié)與復(fù)習(xí)是對(duì)知識(shí)進(jìn)行深化、精煉和概括的過程，它需要通過手和腦積極主動(dòng)地開展活動(dòng)才能達(dá)到。因此，在這個(gè)過程中，提供了發(fā)展和提高能力的極好機(jī)會(huì)，也是滲透數(shù)學(xué)思想方法的極好機(jī)會(huì)與途徑。
　　學(xué)生學(xué)完一個(gè)單元的內(nèi)容，應(yīng)該在整體上對(duì)該單元的內(nèi)容有一個(gè)清晰、全面的認(rèn)識(shí)。因此，在小結(jié)與復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)該提煉、概括這一單元知識(shí)所涉及的數(shù)學(xué)思想方法；并從知識(shí)發(fā)展的過程來綜觀數(shù)學(xué)思想方法所起的作用，以新的更為全面的觀點(diǎn)分析所學(xué)過的知識(shí)；從數(shù)學(xué)思想方法的角度進(jìn)行提高與精練。由于同一內(nèi)容可以體現(xiàn)不同的數(shù)學(xué)思想方法，而同一數(shù)學(xué)思想方法又常常蘊(yùn)涵在許多不同的知識(shí)點(diǎn)里，因此，在小結(jié)與復(fù)習(xí)時(shí)，還應(yīng)該從縱橫兩方面整理出數(shù)學(xué)思想方法及其系統(tǒng)。如在解析幾何章節(jié)復(fù)習(xí)時(shí)，可以通過具體所學(xué)的知識(shí)，再一次向?qū)W生強(qiáng)調(diào)解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何圖形的性質(zhì)，它的基本思想是將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，用坐標(biāo)表示點(diǎn)，用方程表示曲線等幾何圖形，將圖形的有關(guān)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)與方程，通過代數(shù)計(jì)算和變形的方法來解決。
　　五、引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，從中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法
　　著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出：“反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力?！币虼?，教師應(yīng)該創(chuàng)設(shè)各種情境，為學(xué)生創(chuàng)造反思的機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地提出問題，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)。如：解法是怎樣想出來的？關(guān)鍵是哪一步？自己為什么沒想出來？能找到更好的解題途徑嗎？這個(gè)方法能推廣嗎？通過解這個(gè)題，我學(xué)到了什么？在必要時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論。這種反思能較好地概括思維的本質(zhì)，從而上升到數(shù)學(xué)思想方法上來。同時(shí)由于學(xué)習(xí)的不可代替原則，教師在積極引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思的同時(shí)還要善于引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)自己提煉數(shù)學(xué)思想方法，幫助學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識(shí)與解題過程中隱藏的數(shù)學(xué)思想方法。
　　（作者單位 北京市順義區(qū)北京四中順義分校）