物理的無(wú)單位公式與數(shù)學(xué)的正反比例

摘要：逐個(gè)對(duì)象運(yùn)用多個(gè)物理公式進(jìn)行計(jì)算與多個(gè)對(duì)象同用一個(gè)物理公式進(jìn)行計(jì)算，思維方法是大不相同的。而目前義務(wù)教育階段缺少的正是后一種思維方法，以及缺少準(zhǔn)確表達(dá)這種思維方法的物理語(yǔ)言。本文從初中生認(rèn)知的實(shí)際水平出發(fā)，提出了自己的具體方法，闡述了此種思維方法的突出優(yōu)點(diǎn)和價(jià)值，為學(xué)生進(jìn)入高中階段處理復(fù)雜計(jì)算打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：分析計(jì)算能力；改組已有知識(shí)的能力；思維焦點(diǎn)；整體把握題意；帶有個(gè)性的智慧色彩

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148(2011)5(S)-0039-4

1 背景

義務(wù)教育階段在運(yùn)用物理公式進(jìn)行計(jì)算的教學(xué)過(guò)程中，師生雙方的思維活動(dòng)總是按照以下方式展開(kāi)：通過(guò)公式或公式變形，由兩個(gè)已知量，求出一個(gè)未知量。誠(chéng)然，這種在同一對(duì)象中運(yùn)用物理公式計(jì)算出物理量大小的思維方式，容易正向遷移到包含多個(gè)對(duì)象的計(jì)算題中，只要逐步引導(dǎo)學(xué)生如何運(yùn)用公式計(jì)算出中間量，就能逐級(jí)求出下一個(gè)對(duì)象的未知的物理量的大小，形成學(xué)生運(yùn)用物理公式進(jìn)行分析計(jì)算的綜合能力。但是，每一次運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算，都要有具體的兩個(gè)物理量大小，這就決定了此種思維方式下培養(yǎng)出來(lái)的分析計(jì)算能力，無(wú)法解答類似下面的計(jì)算題。

題目 若兩個(gè)定值電阻R1、R2以某種方式連接起來(lái)與電源接通，R1消耗的電功率是9W；若把此二電阻換成另一種連接后仍與該電源接通，則R1消耗的電功率是16W，且通過(guò)R2的電流為4A。求電源電壓和R1、R2的阻值各是多大?(電源電壓保持不變)

學(xué)生困惑：題目中包含了R1、R2和電源三個(gè)對(duì)象，但是，在同一個(gè)對(duì)象中，僅已知了一個(gè)物理量的大小，由公式入手分析，還缺少一個(gè)物理量的大小。

教師困惑：雖說(shuō)數(shù)學(xué)的正反比例是解決此類計(jì)算題的方法，但在師生雙方分析交流的過(guò)程中，頗為費(fèi)力。其根本原因不是方法的缺失，而是找不到合適的物理語(yǔ)言在黑板上板書(shū)，以便即時(shí)、有效地與學(xué)生溝通。

迷津指點(diǎn)：學(xué)生需拓寬思維的視野，擺脫依靠計(jì)算出中間量具體大小逐級(jí)展開(kāi)計(jì)算的思維束縛，尋求計(jì)算物理量具體大小的另一類思維方式；教師需研究合適的文字語(yǔ)言，探究出有物理學(xué)科特點(diǎn)的能傳遞物理量正反比例關(guān)系的通用表達(dá)方式。從認(rèn)知完善過(guò)程來(lái)看，無(wú)論是上述哪一方的探尋，本質(zhì)上都是對(duì)已有思維的一種否定過(guò)程。

實(shí)際做法：幫助初中生完善已有計(jì)算思維的否定過(guò)程，根本上還得依靠物理公式，在學(xué)生經(jīng)歷肯定中有否定，否定中有肯定的認(rèn)識(shí)過(guò)程中，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生改組已有知識(shí)的能力，增強(qiáng)學(xué)生作為認(rèn)識(shí)主體的能動(dòng)性。在實(shí)際改組知識(shí)的教學(xué)過(guò)程中筆者引出了物理的無(wú)單位公式。

2 物理的無(wú)單位公式建模過(guò)程

2．1 來(lái)源于比值求解

已知 I1I2=23，U1U2=2，求R1R2=？

解 R1R2=U1I1U2I2=U1U2I1I2=3

2．2 變換于形與本的統(tǒng)一

上面的結(jié)果R1R2=U1U2I1I2，在形式上與物理公式R=UI極為相似，本質(zhì)上都是反映歐姆定律的形式之一?；诖?，為簡(jiǎn)化求比公式的書(shū)寫(xiě)形式，就有了如下的變換：

已知 I=23，U=2，求R=？

解 R=UI=223=3

請(qǐng)注意在上面的改組創(chuàng)新中，已知物理量等號(hào)后面的數(shù)已抽象為比值，是沒(méi)有單位的，同樣，依據(jù)公式求出的解R=3，后面也沒(méi)單位，其大小也是比值。由于運(yùn)用公式計(jì)算的量沒(méi)有單位，是比值，物理的無(wú)單位公式由此得名。

3 物理的無(wú)單位公式建模的作用

3．1 減輕學(xué)生計(jì)算量，轉(zhuǎn)變思維焦點(diǎn)

例1 “220V 100W”的電燈，如果接在110V的電源上，這時(shí)的實(shí)際電功率為多大?

解 依題意電阻不變，則

電阻比值R=1

電壓的比值U=110V220V=12

根據(jù)公式可知P=U2R=14

故P實(shí)=14×100W=25W

上面的解法與傳統(tǒng)解法相比，解題過(guò)程的思維焦點(diǎn)，已由求解中間量的值，轉(zhuǎn)向求解第三對(duì)量的比值，最后才求出第三個(gè)物理量的具體大小。這種求解物理量具體大小的思維方式，突出的優(yōu)點(diǎn)有下面幾點(diǎn)：①簡(jiǎn)單、運(yùn)算快。去除了中間量的計(jì)算，實(shí)際計(jì)算的過(guò)程簡(jiǎn)單得能口算成解；②精準(zhǔn)、不易錯(cuò)。如果沒(méi)有用物理公式明確地表達(dá)數(shù)學(xué)正反比例的具體形式，就有不少學(xué)生將成正比的說(shuō)成成反比，成反比的卻說(shuō)成成正比，還常有，本應(yīng)是與電壓平方成正比的，學(xué)生誤以為與電壓成正比；③通用、易交流。統(tǒng)一用物理公式分析物理量關(guān)系尋找求解的思路，用熟悉的物理公式來(lái)準(zhǔn)確表達(dá)正反比例的代數(shù)形式，更易于師生雙方的思維交流。

于是，我們就有了兩種計(jì)算物理量大小的解題思路：當(dāng)同一個(gè)對(duì)象有兩個(gè)已知的物理量時(shí)，運(yùn)用公式計(jì)算出第三個(gè)物理量；當(dāng)多個(gè)對(duì)象之間有兩對(duì)量的比值已知時(shí)，運(yùn)用無(wú)單位公式計(jì)算出第三對(duì)物理量的比值，再由比值求解這一未知量。

第二種解題思路改變了我們計(jì)算物理量大小的思維焦點(diǎn)，這是認(rèn)識(shí)上的一次飛躍。因?yàn)椋?1)計(jì)算思維的過(guò)程由原來(lái)的一個(gè)對(duì)象、一個(gè)對(duì)象地運(yùn)用公式逐級(jí)展開(kāi)的過(guò)程，改變?yōu)閮H用一次公式從所有思維對(duì)象已知的物理量中得出比值，再求出第三個(gè)物理量的大小，思維的展開(kāi)不需要依靠中間量來(lái)傳承，計(jì)算過(guò)程更為簡(jiǎn)潔；(2)思維過(guò)程中的中間量由原來(lái)必須計(jì)算出的物理量，變?yōu)檎幢壤?guī)律的一個(gè)條件物理量，通過(guò)物理的無(wú)單位公式，直接得出一對(duì)變化量與另一對(duì)變化量之間的比值關(guān)系。

因此，對(duì)于正反比例條件的計(jì)算問(wèn)題，我們有了物理的無(wú)單位公式，就有了一種整體思考對(duì)象物理量具體數(shù)值變化關(guān)系的能力，在多次實(shí)踐中能鍛煉出一步到位的計(jì)算能力，形成真正意義上的物理解題思路和方法。

3．2 由整體把握題意，就本質(zhì)一步到位

例2 用彈簧測(cè)力計(jì)和水能很快地測(cè)出小石塊的密度嗎?請(qǐng)寫(xiě)出具體的做法。

下表是有關(guān)初中生對(duì)這個(gè)實(shí)驗(yàn)具體做法的認(rèn)識(shí)和理解。

實(shí)驗(yàn)操作認(rèn)識(shí)和理解

用測(cè)力計(jì)稱出小石塊的重量為G用公式m=Gg，計(jì)算出小石塊的質(zhì)量m

用測(cè)力計(jì)稱出小石塊浸沒(méi)在水中的重量F用公式V排=F浮ρ水g=G-Fρ水g，計(jì)算出小石塊排開(kāi)水的體積V排，即為小石塊的體積V

小石塊密度的表達(dá)式ρ石=GG-Fρ水ρ石=mV=GgG-Fρ水g=GG-Fρ水，依次推導(dǎo)。

這種運(yùn)用物理公式進(jìn)行計(jì)算的思維模式，其思維的過(guò)程好像是一種模仿，模仿用天平、量筒測(cè)量密度的具體做法。模仿是一種繼承性較強(qiáng)的學(xué)習(xí)方式，雖無(wú)可厚非，但用在這里稍顯生硬，因?yàn)轭}目中根本就沒(méi)有天平和量筒。用物理的無(wú)單位公式進(jìn)行思維，不用模仿，就能水到渠成，請(qǐng)看下面的審題過(guò)程。

(1)提取思維對(duì)象：小石塊、水

(2)組對(duì)物理量及公式

內(nèi)容

第一對(duì)物理量第二對(duì)物理量無(wú)單位的物理公式第三對(duì)物理量

小石塊和水的重力G小石塊和水的密度ρρ=G小石塊和水的體積

由來(lái)通過(guò)測(cè)量工具測(cè)出的物理量要計(jì)算求得的目標(biāo)物理量及隱藏的物理量G=ρVg作為條件的物理量

通過(guò)審題，不難組對(duì)第一對(duì)物理量和第二對(duì)物理量，再由第一對(duì)和第二對(duì)物理量找到適用的物理公式，最后，通過(guò)物理公式確定第三對(duì)條件物理量及無(wú)單位的物理公式。物理量成對(duì)出現(xiàn)是此種思維方法的一個(gè)特點(diǎn)，是整體把握題意的關(guān)鍵所在。

(3)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)：按條件要求，所測(cè)的小石塊和水必須體積相等。

(4)具體做法：①用彈簧測(cè)力計(jì)稱出小石塊的重量為G；②用彈簧測(cè)力計(jì)稱出小石塊浸沒(méi)在水中的重量F；③由ρ石=GG-Fρ水，計(jì)算出小石塊的密度ρ石。

實(shí)踐表明，學(xué)生熟悉了此種方法后，就能一步到位寫(xiě)出計(jì)算小石塊密度表達(dá)式：ρ石=GG-Fρ水。因?yàn)椋琕=1，g=1，所以ρ=G×1×1=G，即密度比等于重量比，這是正反比例規(guī)律的本質(zhì)要求。

3.3 在同一對(duì)象與其它兩個(gè)對(duì)象間存在相等量時(shí)，傳遞比例等式，挖掘?qū)嶋H問(wèn)題中“隱藏”的規(guī)律，使物理計(jì)算題的解題過(guò)程帶有個(gè)性的智慧色彩，造就成熟、穩(wěn)健的思維品質(zhì)

例 設(shè)某電烙鐵的電阻不隨溫度變化，直接連在電源上時(shí)，它消耗的功率為100瓦，如圖1所示。當(dāng)它與電阻R0串聯(lián)后，仍接在該電源上時(shí)，電阻R0的功率為24瓦，如圖2所示。那么，電烙鐵的功率可能是多少?

分析 圖1中電烙鐵的電阻R和電壓U，分別與圖2中的電烙鐵的電阻、電源的電壓相等(同一對(duì)象有兩個(gè)物理量與另外兩個(gè)對(duì)象間存在相等關(guān)系)，同時(shí)，圖2中電烙鐵與電源之間存在電流I相同，如圖3所示。

因此，兩個(gè)圖中流過(guò)電烙鐵的電流之比與兩個(gè)圖中流過(guò)電源的電流之比相等，如圖4所示。

由圖3可知：電烙鐵電阻之比為1即R=1，根據(jù)公式P=I2R得電流之比I=P，電源電壓之比為1即U=1，根據(jù)公式P=UI得電流之比I=P。(注意：兩次求比公式對(duì)應(yīng)的對(duì)象不同)

由于電流I之比相同，所以，電功率之間存在比例等式P1P2=P1P，化簡(jiǎn)得，P=P1P2，公式所對(duì)應(yīng)的物理量如圖5所示。

P=P1P2，這個(gè)“隱藏”的規(guī)律性電功率關(guān)系式，只有用這種求比方法推導(dǎo)，學(xué)生才能容易接受，它是解答此類題目比較有用的關(guān)系式。記住這種關(guān)系式，再依據(jù)總電功率等于各分電功率之和，學(xué)生就能輕松列出方程：P1P2=P2+P3，解得P2=16W或36W。思維簡(jiǎn)潔明了，學(xué)生樂(lè)于接受，也樂(lè)于推敲。如果教師長(zhǎng)期要求和引導(dǎo)學(xué)生去挖掘?qū)嶋H問(wèn)題中“隱藏”的規(guī)律，就能使物理計(jì)算題的解題過(guò)程充滿著求知者個(gè)性的智慧色彩，極大地激發(fā)學(xué)生探究的熱情和志趣，如此，不僅培養(yǎng)了學(xué)生的抽象思維能力，而且磨練了他們的思維品質(zhì)。

在文章的最后，筆者與各位讀者再一同分析背景中的那道計(jì)算題。

分析1 兩個(gè)電阻連入電路的方式一種為串聯(lián)，另一種為并聯(lián)，當(dāng)它們接在同一電源上時(shí)，每個(gè)電阻分擔(dān)的電壓并聯(lián)方式總比串聯(lián)方式的大，同一電阻的電功率也就大些。于是，得如圖6和如圖7所示的電路圖。

分析2 對(duì)于電阻R1，圖6和圖7的電阻比R=1，電功率比為P=9W16W=916，根據(jù)公式U=PR=916×1=34，則圖6中，電阻R1和電阻R2的電壓比U=3。

分析3 在圖6中，電阻R1和電阻R2的電流I比I=1，電壓比U=3，則它們的電阻R=3。

分析4 在圖7中，電阻R1和電阻R2的電壓比U=1，電阻比R=3，則電流比I=13，所以，圖7中R1的電流I=13×4A=4A3。

分析5 圖7中R1的電流I=4A3，電功率P′1=16W，它的電阻R1=P′1I2=16W（4A3）2=9Ω，電阻R2=13R1=13×9Ω=3Ω。

(欄目編輯羅琬華)

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文