雙曲型方程的一類并行格式及其數(shù)值實(shí)驗(yàn)

劉軼中,薛曉鵬

(貴州大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系,貴州貴陽 550025)

雙曲型方程的一類并行格式及其數(shù)值實(shí)驗(yàn)

劉軼中,薛曉鵬

(貴州大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系,貴州貴陽 550025)

雙曲型方程的一般并行格式是采用空間方向并行,時(shí)間方向步進(jìn)的計(jì)算方式。本文構(gòu)造一類恰是時(shí)間方向并行,空間方向步進(jìn)的并行格式,該格式絕對(duì)穩(wěn)定,局部截?cái)嗾`差為o(m2τ2+mτh+h2)。

雙曲型方程;并行格式;穩(wěn)定性;截?cái)嗾`差

構(gòu)造雙曲型方程的并行算法是并行計(jì)算研究中極為重要的部分,但由于對(duì)雙曲型方程的計(jì)算具有極強(qiáng)的方向性、不具有絕對(duì)穩(wěn)定的顯格式、一般不具有對(duì)角占優(yōu)且僅具有單邊邊界條件,故對(duì)雙曲型方程串行差分格式的并行化是一件很不容易的事情,且雙曲型方程的并行格式一般是采用空間方向并行,時(shí)間方向步進(jìn)的計(jì)算方式,見文獻(xiàn)[1-10]。但對(duì)于時(shí)間方向并行,空間方向步進(jìn)的并行格式,尚未見到這方面的文獻(xiàn)。筆者針對(duì)下述的雙曲型方程的初邊值問題

構(gòu)造了一類并行格式就是這樣一類時(shí)間方向并行,空間方向步進(jìn)的計(jì)算格式,該格式絕對(duì)穩(wěn)定,局部截?cái)嗾`差為o(m2τ2+mτh+h2)。

1 構(gòu)造并行格式

設(shè)問題(1)的解u(x,t)充分光滑,于是,由方程(1)可得如下關(guān)系式

如果j從0開始,則計(jì)算從左往右行;如果j從J-1開始,則計(jì)算從右往左行,如此每一次可用并行機(jī)同時(shí)計(jì)算m個(gè)函數(shù)值…具有良好的并行度。但m的值不宜太大,以免計(jì)算誤差放大。

2 穩(wěn)定性分析

對(duì)于并行格式(9)的穩(wěn)定性分析,用Fourier變換,見文獻(xiàn)[13],有:

對(duì)?r≠0皆成立,亦即此格式絕對(duì)穩(wěn)定。由此,有:

定理2 對(duì)?r≠0,并行格式(9)絕對(duì)穩(wěn)定。

3 實(shí)驗(yàn)報(bào)告

3.1 實(shí)驗(yàn)?zāi)康募耙?/h3>

(1)有效求解雙曲型方程;

(2)通過編程實(shí)例計(jì)算,驗(yàn)證理論分析的正確性。

3.2 實(shí)驗(yàn)(或算法)設(shè)計(jì)(上已敘述,略)

3.3 實(shí)驗(yàn)硬件及軟件平臺(tái)

(1)硬件平臺(tái):貴州大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系應(yīng)用數(shù)學(xué)與建筑力學(xué)實(shí)驗(yàn)室的方正電腦;

(2)軟件平臺(tái):VC++6.0。

3.4 實(shí)驗(yàn)步驟和實(shí)驗(yàn)內(nèi)容

(1)編寫程序(略)

(2)具體數(shù)例

考慮雙曲型方程的初邊值問題

表1 并行格式(9)的誤差(r=1.9,m=5,h=0.01)

3.5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

以上數(shù)值例子表明理論分析是正確的,格式是有效的。

[1] Evans D J,Abdullah A R B.Group explicit method for parabolic equations[J].Inter J Computer Math,1983,14:73-105.

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[7] 金承日,丁效華,張少太.雙曲型方程的有限差分并行迭代算法[J].哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2002,34(3):340-343.

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[11] 方春華,張大凱.雙曲型方程的組合差商解法[J].貴州大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2004,21(2):136-139.

[12] 方春華,張大凱.雙曲型方程在乘積型差商空間中的高精度組合差商算法研究[D].貴州大學(xué).

[13] 李榮華,馮果忱.微分方程數(shù)值解法[M].北京:高等教育出版社,1997.

A class of parallel schemes and numerical experimen ts for hyperbolic equation

LIU Yi-zhong,XUEXiao-peng

(Department of M athematics,College of Sciences,Guizhou University,Guiyang550025,China)

The general parallel schemes for hyperbolic equation are parallel in the direction of space and stepping in the direction of time.In this paper,it construct a scheme that is exactly parallel computing in the direction of time and stepping in the direction of space.The scheme is absolutely stable.The local truncation error iso(m2τ2+mτh+h2).

Hyperbolic equation;Parallel scheme;Stability;Truncation error

O241.82

:A

1001-9383(2011)02-0001-04

2010-04-22

貴州大學(xué)大學(xué)生創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)計(jì)劃項(xiàng)目

劉軼中(1973-),男,湖南衡東人,碩士,實(shí)驗(yàn)師,研究方向:微分方程數(shù)值解,Email:liuyiz2004@126.com.