Matlab輔助系統(tǒng)零極點(diǎn)圖解分析

琚新剛,董 樂(lè)

(1.河南教育學(xué)院電路與系統(tǒng)重點(diǎn)學(xué)科組,河南鄭州450046;2.鄭州文理學(xué)院教務(wù)處,河南鄭州 450052)

Matlab輔助系統(tǒng)零極點(diǎn)圖解分析

琚新剛1,董 樂(lè)2

(1.河南教育學(xué)院電路與系統(tǒng)重點(diǎn)學(xué)科組,河南鄭州450046;2.鄭州文理學(xué)院教務(wù)處,河南鄭州 450052)

線性相移不變系統(tǒng)的穩(wěn)定性及頻率特性是系統(tǒng)分析時(shí)的主要關(guān)注點(diǎn),而利用Matlab繪出系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖,賦以z平面的單位圓,可以實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性和幅頻及相頻特性的直觀判斷,還可進(jìn)一步繪出系統(tǒng)的頻譜以驗(yàn)證判斷結(jié)果的正確性.

零極點(diǎn);頻率特性;圖解分析;Matlab

系統(tǒng)可以由系統(tǒng)函數(shù)及其收斂域來(lái)表示,而系統(tǒng)函數(shù)完全由它的全部零點(diǎn)極點(diǎn)來(lái)確定[1],以離散系統(tǒng)為例,即可用z平面上的零極點(diǎn)圖描述系統(tǒng)函數(shù).Matlab既有的函數(shù)zplane可被用以畫出系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)圖[2],而離散系統(tǒng)頻率響應(yīng)的運(yùn)算,就是對(duì)系統(tǒng)函數(shù)在單位圓上的求值.用系統(tǒng)函數(shù)表示一個(gè)離散系統(tǒng),其一般形式是

其中,分子多項(xiàng)式的根就是系統(tǒng)的零點(diǎn),分母多項(xiàng)式的根就是系統(tǒng)的極點(diǎn).分子分母各進(jìn)行因式分解,得到

其中,zz1、zz2、…、zzk是系統(tǒng)的零點(diǎn),zp1、zp2、…、zpk是系統(tǒng)的極點(diǎn).分子分母中的每一個(gè)因子都是兩個(gè)復(fù)數(shù)的差,而每一個(gè)差對(duì)應(yīng)z平面上的一個(gè)矢量.分子中的每個(gè)因式即函數(shù)零點(diǎn)zzi指向復(fù)數(shù)z的矢量;分母中的每個(gè)因式即函數(shù)極點(diǎn)zpi指向復(fù)數(shù)z的矢量.

離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)等于它的系統(tǒng)函數(shù)在單位圓上的求值,因此在計(jì)算系統(tǒng)頻率響應(yīng)時(shí),式(2)中的z只能是單位圓上的值,故可由式(2)得到

其中,Ω為輸入信號(hào)的歸一化頻率.

式(3)中的因式(矢量)用極坐標(biāo)的形式表示,得

其中,d1、d2、…、dk,c1、c2、…、cm是各矢量的模,θ1、θ2、…、θk,φ1、φ2、…、φm是各矢量的幅角,b0是系統(tǒng)增益.

其中,(m-k)Ω是由式(2)中的純延遲zm-k產(chǎn)生的相移,而且是相頻響應(yīng)中的線性相移部分[3].

可見(jiàn),輸入信號(hào)頻率從零漸增到折疊頻率,相當(dāng)于幾何上一個(gè)復(fù)數(shù)點(diǎn)z從z=1沿單位圓周走過(guò)上半圓.與此同時(shí),從所有零極點(diǎn)指向這個(gè)移動(dòng)的復(fù)數(shù)點(diǎn)的矢量就可以用來(lái)計(jì)算離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)[4].頻率響應(yīng)中的幅頻響應(yīng)可以用式(5)來(lái)計(jì)算,即所有零點(diǎn)矢量長(zhǎng)度(包括b0)之積與所有極點(diǎn)矢量長(zhǎng)度之積的比值;而相頻響應(yīng)可以用式(6)來(lái)計(jì)算,即所有零點(diǎn)矢量幅角(包括(m-k)Ω)之和與所有極點(diǎn)矢量幅角之和的差值.

系統(tǒng)零點(diǎn)只有一個(gè)zz=0,系統(tǒng)極點(diǎn)是zp=0.6,在正實(shí)軸上.

系統(tǒng)極點(diǎn)在單位圓內(nèi),如圖1所示,可得到系統(tǒng)穩(wěn)定的結(jié)論.當(dāng)信號(hào)頻率較高時(shí),對(duì)應(yīng)的矢量的模較大,促使增益變小,反之則對(duì)應(yīng)的矢量的模較小,促使增益變大,所以系統(tǒng)具有低通特性.

系統(tǒng)零點(diǎn)在原點(diǎn),只對(duì)相頻特性產(chǎn)生影響,不影響系統(tǒng)的幅頻特性[5].

如圖1,選擇3個(gè)關(guān)鍵頻率點(diǎn):零頻、1/2折疊頻率、折疊頻率,分別對(duì)應(yīng)的歸一化頻率Ω為0、π/2、π.

Ω=0時(shí),信號(hào)為直流,z1=ej0=1,從極點(diǎn)zp指向z1的矢量長(zhǎng)度為0.4,幅角為0.故此極點(diǎn)使直流信號(hào)的幅度增大到原來(lái)的1/0.4=2.5倍;不改變直流信號(hào)的相位.

Ω=π/2時(shí),信號(hào)頻率為折疊頻率的一半,z走到z2的位置,極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的矢量長(zhǎng)度為幅角為arctan(1/0.6)≈120.96°;零點(diǎn)對(duì)應(yīng)的矢量幅角為90°,信號(hào)的幅度將為原來(lái)的1/1.17≈0.86,相位延遲120.96°-90°= 30.96°,約為0.172π.

Ω=π時(shí),信號(hào)頻率為折疊頻率,z走到z的位置,極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的矢量長(zhǎng)度為1.6,幅角為180°;零點(diǎn)對(duì)應(yīng)的矢量幅角也為

3180°,信號(hào)的幅度將為原來(lái)的1/1.6=0.625,信號(hào)的相位不變.

以上圖解分析結(jié)果可與系統(tǒng)的頻率響應(yīng)對(duì)應(yīng)驗(yàn)證,如圖2所示.

可見(jiàn),做出系統(tǒng)零極點(diǎn)圖,根據(jù)零極點(diǎn)所處位置,可以直觀地得出系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷和其頻率特性,簡(jiǎn)便易行.同時(shí)也可以得到結(jié)論,針對(duì)不同頻率特性的系統(tǒng)設(shè)計(jì)要求,可以通過(guò)先定下系統(tǒng)零極點(diǎn)位置,進(jìn)而得到系統(tǒng)的差分方程的途徑來(lái)實(shí)現(xiàn).

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[4] OPPENHE IM A V,SCHAFER R W,BUCK J R.離散時(shí)間信號(hào)處理[M].劉樹(shù)棠,譯.2版.西安:西安交通大學(xué)出版社,2001:210-211.

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Matlab Auxil iary Pole-Zero D iagram Analysis of System

JU Xin-gang1,DONG Le2

(1.Group of Circuits and Systems Key D iscipline,Henan Institute of Education,Zhengzhou450046,China; 2.Academ ic Adm inistration,Zhengzhou University of A rts and Sciences,Zhengzhou450052,China)

The stability and frequency characteristic of a linear shift invariant system aremain concerns,while using Matlab mapping pole-zero map,assigned to unit circle inzplane,can achieve intuitive judgments on stability of system frequency and amplitude phase frequency characteristics.Further,the spectrum can be drawn to deter mine validity of judgment results.

pole-zero;frequency characteristic;graphic analysis;Matlab

TP391.9

A

1007-0834(2011)01-0026-02

10.3969/j.issn/1007-0834.2011.01.009

2010-12-02

河南省教育廳科技攻關(guān)項(xiàng)目(2009A510003);鄭州市科技攻關(guān)項(xiàng)目(10PTGG379-1)

琚新剛(1973—),男,河南輝縣人,河南教育學(xué)院電路與系統(tǒng)重點(diǎn)學(xué)科組副教授,主要研究方向:EDA技術(shù).