單值函數(shù)奇點(diǎn)的類型判定

史小波,王顯軍

(河南教育學(xué)院物理系,河南鄭州 450046)

單值函數(shù)奇點(diǎn)的類型判定

史小波,王顯軍

(河南教育學(xué)院物理系,河南鄭州 450046)

通過(guò)對(duì)單值函數(shù)奇點(diǎn)的定義分類,對(duì)孤立奇點(diǎn)進(jìn)行深層次的解析,介紹了孤立奇點(diǎn)進(jìn)一步分類的方法,給出應(yīng)用該方法判定奇點(diǎn)類型的實(shí)例.

奇點(diǎn);孤立奇點(diǎn);m階極點(diǎn);單值函數(shù);類型;判定

奇點(diǎn)的定義:如果f(z)在z0點(diǎn)不解析,則z0稱為f(z)的奇點(diǎn)[1].此處的“不解析”包括3個(gè)方面:①函數(shù)f(z)在z0點(diǎn)無(wú)定義;②函數(shù)f(z)在z0點(diǎn)有定義,但是在z0點(diǎn)不可微;③函數(shù)f(z)在z0點(diǎn)可微,但是不解析.滿足這3方面中的任意一種,都可判定點(diǎn)z0是函數(shù)f(z)的奇點(diǎn).奇點(diǎn)按定義可分為兩大類:孤立奇點(diǎn)和非孤立奇點(diǎn).第一類:若函數(shù)f(z)在z=a不解析(不可微或無(wú)定義),而在z=a的某無(wú)心鄰域0<|z-a|<ε內(nèi)解析,則稱z=a是f(z)的一個(gè)(單值性)孤立奇點(diǎn).第二類:如果在z=a的無(wú)論多么小的鄰域內(nèi),總有除z=a以外的奇點(diǎn),則z=a是f(z)的非孤立奇點(diǎn)[1].舉例說(shuō)明如下.

非孤立奇點(diǎn)一旦確定,就不用再細(xì)分.對(duì)于孤立奇點(diǎn),又可以分為以下3種類型:可去奇點(diǎn),m階極點(diǎn),本性奇點(diǎn).

孤立奇點(diǎn)可以是擴(kuò)充平面(包含復(fù)平面和z=∞點(diǎn))上的任一點(diǎn),判定孤立奇點(diǎn)的類型時(shí)需要對(duì)復(fù)平面上的點(diǎn)和z=∞點(diǎn)這2部分分開(kāi)進(jìn)行討論.

第一部分,在復(fù)平面上的孤立奇點(diǎn),其類型判定方法如下.

(1)函數(shù)f(z)在a點(diǎn)沒(méi)有主要部分,稱點(diǎn)a為函數(shù)f(z)的可去奇點(diǎn);

(2)函數(shù)f(z)在a點(diǎn)的主要部分為有限m項(xiàng),稱點(diǎn)a為函數(shù)f(z)的m階極點(diǎn);

(3)函數(shù)f(z)在a點(diǎn)的主要部分為無(wú)限多項(xiàng),稱點(diǎn)a為函數(shù)f(z)的本性奇點(diǎn),如例2所示.

方法2無(wú)法判定極點(diǎn)的階數(shù).若判定該奇點(diǎn)為極點(diǎn),則需進(jìn)一步求出極點(diǎn)的階數(shù)值m.可最終判定點(diǎn)a為函數(shù)m階極點(diǎn).極點(diǎn)階數(shù)值m的求法有2種.

[1] 四川大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)物理方法[M].北京:高等教育出版社,2005.

[2] 華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)系.復(fù)變函數(shù)與積分變換[M].北京:高等教育出版社,2003.

[3] 西安交通大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室.復(fù)變函數(shù)[M].北京:高等教育出版社,1996.

[4] 華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)系.復(fù)變函數(shù)與積分變換學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題全解[M].2版.北京:高等教育出版社,2008.

Judgment on Singularity Type of Single Value Function

SH IXiao-bo,WANG Xian-jun

(Departm ent of Physics,Henan Institute of Education,Zhengzhou450046,China)

By classification of singularity of single value function,analyzed isolated singularity deeply,introduced the method to further classify isolated singularity and put forward samples of judgment on singularity type by the method.

singularity;isolated singularity;morder pole;single value function;type;judgment

O174.5

A

1007-0834(2011)01-0010-02

10.3969/j.issn/1007-0834.2011.01.004

2010-11-02

河南省教育廳自然科學(xué)基金(2009A140003)

史小波(1982—),女,南陽(yáng)鎮(zhèn)平人,河南教育學(xué)院物理系教師.