關(guān)于Smarandache指數(shù)函數(shù)ep(n)與除數(shù)和函數(shù)σt(n)的混合均值

屈芝蓮

(寶雞職業(yè)技術(shù)學院基礎部，陜西寶雞 721013)

關(guān)于Smarandache指數(shù)函數(shù)ep(n)與除數(shù)和函數(shù)σt(n)的混合均值

屈芝蓮

(寶雞職業(yè)技術(shù)學院基礎部，陜西寶雞 721013)

利用初等方法研究了ep(n)與除數(shù)和函數(shù)σt(n)的混合均值，得到了ep(n)σt(n)的漸近公式.

Smarandache指數(shù)函數(shù);均值;漸近公式

對于任意給定的素數(shù)p及正整數(shù)n，Smarandache指數(shù)函數(shù)ep(n)定義為最大的正整數(shù)α使得pα整除n，即

著名數(shù)論學家Smarandache F教授在文獻［1］的第68個問題中要求研究數(shù)列{ep(n)}的性質(zhì)，關(guān)于這個問題文獻［2－5］已作了初步的研究，得到了如下的漸近公式

當t=1時，

1 引理及證明

設p為給定的素數(shù)，ζ(s)為Riemann Zeta-函數(shù).為了完成定理1的證明，需要下列引理

引理1對任意的實數(shù)x≥1及給定的整數(shù)t≥1，有漸近公式

當t＞1時，

引理1得證.

引理2［3］設α為任意的正整數(shù)，p為給定的素數(shù)，那么對任意的實數(shù)x≥1，有漸近公式

引理3設α為任意的正整數(shù)，p為給定的素數(shù)，那么對任意的實數(shù)x≥1及給定的整數(shù)t≥1，有漸近公式

引理3得證.

2 定理的證明

由ep(n)的定義及引理1、引理2和引理3，有

當t＞1時，

當t=1時，

即定理得證.

［1］F SMARANDACHE.Only problems not solutions［M］.Chicago:Xiquan Publishing House，1993.

［2］LV Chuan.A number theoretic function and its mean value:proceeding of Research on Smarandache Preoblems in Number Theory，Xi’an，F(xiàn)ebruary 11 －14，2004［C］.USA:Hexis，2004:33 －35.

［3］LV Chuan.On the mean value of an arithmetical function:proceeding of Research on Smarandache Preoblems in Number Theory，Xi’an，F(xiàn)ebruary 11 －14，2004［C］.USA:Hexis，2004:89 －92.

［4］祁蘭，趙院娥.關(guān)于一個算術(shù)函數(shù)的混合均值［J］.哈爾濱師范大學學報:自然科學版，2005，21(5):8－9.

［5］WANG Xiao-ying.On the mean value of an arithmetical function:proceeding of Research on Smarandache Preoblems in Number Theory，Xi’an，F(xiàn)ebruary 11 －14，2004［C］.USA:Hexis，2004:77 －79.

［6］PAN Xiao-wei，ZHANG Pei.An identity involving the function ep(n)［J］.Scientia Magna，2007，3(3):26 －29.

［7］潘承洞，潘承彪.解析數(shù)論基礎［M］.北京:科學出版社，1999.

Hybrid Mean Value of the Smarandache Exponent Function ep(n)and the Function σt(n)

QV Zhi-lian

(Department of Basic Theory，Baoji Vocational and Technical College，Baoji 721013，China)

In the report，the elementary methods were used to analysis the hybrid mean value of ep(n)and the function σt(n)，two asymptotic formulas ofep(n)σt(n)were obtained.

Smarandache exponent function;mean value;asymptotic formula

O 156.4 < class="emphasis_bold">文獻標志碼:A

A

1004－1729(2011)01－0004－04

2010－10－13

屈芝蓮(1958－)，女，陜西扶風人，寶雞職業(yè)技術(shù)學院副教授.