完備非緊流形上的熱方程

趙成兵

（1.合肥工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院，安徽 合肥230009；2.安徽建筑工業(yè)學(xué)院 數(shù)學(xué)系，安徽 合肥230022）

在1975 年，Cheng 和Yau 在 文 獻(xiàn)［1］中 得 到n（n＞2）維完備流形上正的全純函數(shù)的梯度估計(jì)，在1986年，Li和Yau在文獻(xiàn)［2］中得到熱方程任意正解的梯度估計(jì)，在1993年，Hamilton［3］得到緊的流形上的熱方程光滑正解的梯度估計(jì)，三種梯度估計(jì)在研究熱方程和Laplace方程起著根本的作用，在2006年，Souplet和Zhang［4］得到非緊流形上的任意正解的梯度估計(jì)，他們提高了Hamilton的結(jié)果，現(xiàn)在利用他們的結(jié)果求解非緊流形上熱方程任意正解的梯度估計(jì)和復(fù)Hessian估計(jì).本文是在比文獻(xiàn)［5］較弱的條件下得到的結(jié)果.

1 兩個(gè)引理

引理1［5］設(shè)M完備非緊的有著非負(fù)的Ricci曲率的黎曼流形，令u0是M上的光滑函數(shù)，使得

對(duì)常數(shù)b＞a＞0，這里r（x）是x到固定點(diǎn)0∈M的距離，那么T＞0 僅依賴于b使得Cauchy問題

有一個(gè)解u在M×［0，T］，且存在常數(shù)C1，C2＞0使得在M×［0，T］

引理2［4］設(shè)M是維數(shù)n≥2的黎曼流形，Ricci曲率非負(fù)且u是熱方程在M×（0，∞）的正解，那么存在和維數(shù)有關(guān)的常數(shù)c1，c2使得對(duì)所有的x∈M和t＞0，有：

2 兩個(gè)定理

定理1 設(shè)M是維數(shù)n≥2有非負(fù)Ricci曲率的黎曼流形，u是熱方程在M×（δ，T］，δ＞0的正解，且滿足引理2 的式（1）和式（2），那么存在常數(shù)C3使得

定理2 設(shè)M是完備非緊的K?hler流形有非負(fù)的全純雙截曲率，u（x，t）是熱方程的解，那么存在T＞0，Cauchy問題（2）有一個(gè)解u（x，t）在M×（δ，T］，δ＞0，使得對(duì)某個(gè)常數(shù)C4＞0，對(duì)所有的（x，t），

3 證明定理

首先證明定理1，從引理2，可以知道

從引理1

所以

在證明定理2之前，有下面的兩個(gè)引理.

引理3［5］設(shè)M是完備非緊的K?hler流形有非負(fù)的全純雙截曲率，u（x，t）是熱方程的一個(gè)解，那么存在T＞0，Cauchy問題（2）有一個(gè)解u（x，t）在M×（0，T］，那么

這里

引理4［5］設(shè)M是完備非緊的K?hler流形有非負(fù)全純雙截曲率，u（x，t）是熱方程的解，那么

現(xiàn)在證明定理2.

證明 在方程（3）的兩邊乘以φ2（x）并且分部積分，這里φ（x）是一個(gè)光滑函數(shù)使得0≤φ≤1 在Bo（R），φ=0在Bo（2R）外，且對(duì)某個(gè)常數(shù)C依賴于R有，則有

依照局部標(biāo)準(zhǔn)正交公式，可參考文獻(xiàn)［6］

用φ2（x）乘在方程的兩邊并且分部積分，則可以得到

由定理1，得到

和

所以存在常數(shù)C8

因?yàn)?/p>

所以由式（4）～（6），得到存在常數(shù)C9使得

由式（6），（7）和式（9），證明定理2

［1］ Cheng S Y，Yau S T.Differential equations on Riemannian manifolds and their geometric applications［J］.Comm Pure Apple Math，1975，28（3）：333.

［2］ Li P，Yau S T.On the parabolic kernel of the Schr?dinger operator［J］.Acta Math，1986，156（1）：153.

［3］ Hamilton R S.Amatrix Harnack estimate for the heat equation［J］.Comm Anal Geom，1993，1（1）：113.

［4］ Souplet P，Zhang Q S.Sharp gradient estimate and Yau Liouville theorem for the heat equation on noncompact manifolds［J］.Bulletin of the London Mathematical Society，2006，38（6）：1045.

［5］ Ni L，Tam L F.Liouville property of plurisubharmonic functions［R／OL ］. ［2002-12-28］.http：／／arxiv.org／abs／math／0212363.

［6］ Ni L，Shi Y G，Tam L F.Poisson equation，poincaré-Lelong equation and curvature decay on complete K?hler manifolds［J］.J Diff Geom，2001，57（2）：339.