基于機會約束規(guī)劃的雷達網(wǎng)部署模型

劉方正，祁建清

(解放軍電子工程學院，安徽 合肥230037)

1 引言

現(xiàn)有雷達網(wǎng)布站選址工作主要是以經(jīng)驗為基礎(chǔ)進行的［5］。文獻［6］對于不同的雷達組網(wǎng)方案計算區(qū)域內(nèi)未發(fā)現(xiàn)目標概率的上界，在從上界集合中選擇最小值作為最優(yōu)方案。文獻［7］通過分析雷達組網(wǎng)過程及相關(guān)性能指標，給出了雷達組網(wǎng)問題的數(shù)學規(guī)劃方法。

目前大多數(shù)雷達網(wǎng)部署工作都是基于經(jīng)驗或確定性模型的，然而客觀環(huán)境中存在諸多的不確定因素。本文考慮了雷達組網(wǎng)過程中的不確定條件，如雷達的生存概率、發(fā)現(xiàn)概率、部署費用等，分別給出了雷達數(shù)量估計和部署的隨機機會約束規(guī)劃，并應(yīng)用智能混合算法求解隨機機會約束規(guī)劃，為工程實踐中的雷達部署提供了理論依據(jù)。

2 雷達網(wǎng)選址數(shù)學規(guī)劃模型

2.1 隨機機會約束規(guī)劃

當數(shù)學規(guī)劃問題中含有隨機變量時，目標函數(shù)和約束條件已不能按通常意義理解，必須為之提出一套新的規(guī)劃理論并尋求相應(yīng)的算法。機會約束規(guī)劃有Charnes和Cooper［8］提出的第二類隨機規(guī)劃，其顯著特點是隨機約束條件至少以一定的置信水平成立。

機會約束規(guī)劃提出之后，許多研究者對其進行了研究，其中文獻［9，10］給出了極大化目標函數(shù)值的樂觀值的機會約束規(guī)劃，其形式如下:

式(1)中，x是決策向量，ξ是隨機向量，f(x，ξ)是目標函數(shù)，gj(x，ξ)(j=1，2，…，p)是隨機約束函數(shù)，α和β是預(yù)先給定的置信水平。

2.2 確定雷達數(shù)量的隨機機會約束規(guī)劃模型

在雷達組網(wǎng)部署中，對于給定的區(qū)域，根據(jù)區(qū)域面積及不同類型雷達的參數(shù)，首先需要估計所需雷達的數(shù)量。假設(shè)某作戰(zhàn)區(qū)域D(面積為S)中，需要部署m種類型的雷達，其中第i種雷達的作用半徑為ri，所需數(shù)量為xi。

由于雷達可能遭受發(fā)輻射武器的攻擊、電力影響、裝備故障等一系列因素的影響，故需考慮其生存概率，并假設(shè)第i種雷達的生存概率為隨機變量Pξi。根據(jù)上述假設(shè)，可以得到下列比例數(shù):

2.2 各血清學標記物濃度及MoM值比較 比較兩組各孕周指標發(fā)現(xiàn)，兩組AFP和uE3濃度隨著孕周的增加而呈上升趨勢，free-βHCG濃度則隨孕周的增加而下降，見表1。但為了消除孕齡對孕母血清標記物水平的影響，故將血清標記物濃度轉(zhuǎn)化為中位數(shù)倍數(shù)進行比較，兩組free-βHCG MoM值差異有統(tǒng)計學意義（P＜0.05），見表2。

式(2)中，γi為第i種雷達覆蓋作戰(zhàn)區(qū)域的比例。

不考慮在區(qū)域D邊界上的面積損失，則雷達覆蓋作戰(zhàn)區(qū)域D的比例為:

2.3 雷達部署的隨機機會約束規(guī)劃模型

對于給定的區(qū)域，要根據(jù)其地理位置以及需要監(jiān)測的目標的航跡等特點來選擇雷達站地址［6］。區(qū)域地理特點及雷達組網(wǎng)用途的不同，就有不同的選址方式，本文重點不在于此，不作過多探討。本文著重研究的是從備選雷達站位置中確定出最優(yōu)的雷達組網(wǎng)結(jié)構(gòu)。

設(shè)在區(qū)域D中備選的雷達站位置為n個，第j(j=1，2，…，n)個位置的坐標為(xj，yj)，有m種類型的雷達，其中第i種雷達的作用半徑為ri，生存概率為Pξi，對特定目標的發(fā)現(xiàn)概率為隨機變量Pηi。由于各種雷達的部署費用受材料、運輸、保障等一系列因素的影響，故設(shè)第i種雷達部署在位置(xj，yj)的費用為隨機變量Cτij。

則區(qū)域D中(x，y)處的發(fā)現(xiàn)概率為:

3 混合智能算法

傳統(tǒng)求解機會約束規(guī)劃的方法是將機會約束分別轉(zhuǎn)化成確定的等價形式，然后對等價的確定模型進行求解。但是，這類方法只適用于一些特殊的情形。文獻［10］，將隨機模擬、神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)和遺傳算法結(jié)合在一起，設(shè)計出了混合智能算法求解一般的機會約束規(guī)劃模型。模型的主要步驟如下:

(1)用隨機模擬技術(shù)分別為規(guī)劃P1、P2的不確定函數(shù)產(chǎn)生輸入輸出數(shù)據(jù);

(2)根據(jù)產(chǎn)生的輸入輸出數(shù)據(jù)分別訓練對應(yīng)的神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)net1、net2來逼近不確定函數(shù)U1、U2;

(3)建立對應(yīng)的遺傳算法模型，分別初始化大小為pop_size1、pop_size2的種群，并利用訓練好的神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)net1、net2檢驗染色體的可行性;

(4)通過交叉和變異操作更新染色體，并利用訓練好的神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)檢驗子代染色體的可行性;

(5)利用訓練好的神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)net1、net2分別計算對應(yīng)染色體的目標值;

(6)根據(jù)目標值計算每個染色體的適應(yīng)度;

(7)通過旋轉(zhuǎn)賭輪選擇染色體;

(8)重復(fù)步驟4到步驟7直到完成給定的循環(huán)次數(shù);

(9)給出最好的染色體作為最優(yōu)解。

4 算 例

給定作戰(zhàn)區(qū)域D(面積S=16)為一正方形，假設(shè)按照雷達站選址原則已經(jīng)選定了9個點(1，1)、(1，2)、(2，1)、(1，3)、(3，1)、(2，2)、(2，3)、(3，2)、(3，3)。需要兩種類型的雷達，雷達1的作用半徑為2，生存概率Pξ1～U［0.5，1］，對特定目標的發(fā)現(xiàn)概率Pη1～U［0.8，1］，部署在第j點即坐標(xj，yj)的費用Cτ1j～exp(3+xj+yj);雷達2的作用半徑為1.5，生存概率Pξ2～U［0.6，1］，對特定目標的發(fā)現(xiàn)概率Pη2～U［0.7，1］，部署在第j點即坐標(xj，yj)的費用Cτ2j～exp(2+xj+yj)。規(guī)劃P1的機會約束的置信度α為0.9，覆蓋比例不小于0.9，規(guī)劃P2的機會約束的置信度α為0.9，β為0.8，對區(qū)域內(nèi)任一點的特定目標的發(fā)現(xiàn)概率不小于0.8。

(1)求解規(guī)劃P1，估算所需雷達數(shù)目。根據(jù)參數(shù)設(shè)置，可得:

利用隨機模擬技術(shù)(10000次循環(huán)模擬)，為規(guī)劃P1產(chǎn)生500組輸入輸出數(shù)據(jù)，再執(zhí)行混合智能算法(種群大小為30，交叉率為0.4，變異率為0.1，迭代次數(shù)為100)，得到最優(yōu)解:()=(3，1)。

(2)求解規(guī)劃P2，選擇出最優(yōu)布站點。根據(jù)規(guī)劃P1的求解，可得規(guī)劃P2如下:

利用隨機模擬技術(shù)(10000次循環(huán)模擬)，為規(guī)劃P2產(chǎn)生3000組輸入輸出數(shù)據(jù)，再執(zhí)行混合智能算法(種群大小為30，交叉率為0.5，變異率為0.2，迭代次數(shù)為500)，得到兩型雷達的最優(yōu)部署位置a14，a16，a18，a26，部署費用目標值為46.0287。

5 總結(jié)

目前在考慮雷達網(wǎng)的選址、布站時，大多采用人工作業(yè)的主觀方法或采用常規(guī)的環(huán)形部署、線性部署等方法。人工作業(yè)的主觀方法主要依靠經(jīng)驗，而經(jīng)驗需要大量的實踐積累且往往不可靠;常規(guī)的環(huán)形部署、線性部署等方法在考慮部署問題時往往沒有考慮地理、經(jīng)濟等因素的影響，選出來的站點往往并不能布站。本文采用了基于機會約束規(guī)劃的雷達網(wǎng)部署模型，考慮了實際布站中的多方面不確定因素，引入了多個隨機變量建立隨機規(guī)劃，并應(yīng)用混合智能算法得到隨機機會約束條件下的最優(yōu)雷達網(wǎng)結(jié)構(gòu)。

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