分段線性擬合方法確定光電效應(yīng)遏止電壓

曹芳玲，鄒哲奇，魯曉東

（浙江海洋學(xué)院，浙江舟山 316000）

分段線性擬合方法確定光電效應(yīng)遏止電壓

曹芳玲，鄒哲奇，魯曉東＊

（浙江海洋學(xué)院，浙江舟山 316000）

通過對光電子工作特性的分析，得出了光電效應(yīng)中的光電流是隨外電壓呈階段性變化的結(jié)論。由此提出用分段線性方法擬合光電流的伏安特性曲線，并以它的變化區(qū)與反向飽和區(qū)的擬合直線的交點作為遏止電壓點，有效減小了拐點區(qū)數(shù)據(jù)測量不穩(wěn)定性帶來的影響，提高了實驗結(jié)果準確性。

光電效應(yīng)；光電流；遏止電壓；分段線性擬合

在光電效應(yīng)實驗中，普朗克常量的實驗值是利用光頻率與其所對應(yīng)的遏止電壓之間的線性關(guān)系測得［1］。由于利用了線光譜光源，因此光頻率值的精度較高。而遏止電壓需要從光電管伏安特性曲線獲得，常用的一種是交點法［2］，取曲線與橫軸的交點，即光電流為零所對應(yīng)的電壓值；另一種用拐點法［2］，取曲線中斜率變化最大的點所對應(yīng)電壓值。一般光電管中暗電流以及陽極電流還是比較明顯的，這勢必會嚴重影響總電流為零時的電壓值，因此拐點法相對更有優(yōu)勢。拐點法最基本的方法是通過一條曲線擬合，然后通過擬合函數(shù)的二次導(dǎo)數(shù)來確定拐點的位置。由于接近拐點處的光電流已很弱并且變化極劇烈，若使用低次擬合，則曲線遠離拐點；而用高次則會存在較大的震蕩，結(jié)果穩(wěn)定性差。從光電管的工作特性看，拐點只是陰極光電流從有到無的一個狀態(tài)突變，是曲線上的斷點，所以難以用一條光滑的曲線去表達。事實上在拐點前、后稍遠處的數(shù)據(jù)都各自保持了較強的線性關(guān)系，若沒有其他因素的影響各自線性將保持到拐點區(qū)域，因此采用分段［3］直線擬合較單條光滑曲線更符合光電流的變化規(guī)律。實驗時先通過曲線上一些特征對數(shù)據(jù)進行分段，然后對各段數(shù)據(jù)做直線擬合，兩段直線的交點就是光電流狀態(tài)發(fā)生實質(zhì)性變化的交界點，該點也就是曲線的遏止電壓點。

1 光電管伏安曲線分析

光電管的伏安特性測試電路見圖1所示。理想的光電管伏安曲線是在反向遏止電壓下光電流會突變到零。實際上光電管陰極使用了逸出電位低的堿金屬材料制成，這種材料有易氧化趨向，使陰極表面各處逸出電位不等，且逸出具有最大動能的光電子數(shù)目減少，導(dǎo)致反向電壓增加，光電流較快降低后平緩趨至零點。而在陽極也常會有一些陰極材料，在受到部分漫反射光線照射時也會產(chǎn)生光電子，使得發(fā)射的電子由陽極飛向陰極，構(gòu)成反向陽極電流。另外在外電壓的作用下，整個電路存在的本底電流即暗電流。這些都導(dǎo)致了實驗中的光電管伏安曲線與理想曲線存在較大不同，增大了遏止電壓實驗值的不確定性。若從曲線的形狀上分析如圖2所示，當(dāng)電壓反向時，電流的變化分急劇下降階段和電流趨向反向飽和階段，遏止電壓Vs就在這兩個階段之間，此時陽極電流影響較明顯，因此交點法確定的遏止電壓點V′s存在較大系統(tǒng)誤差，同時其飽和速度并不是很快，曲線拐彎處就不明顯，直接用拐點法時結(jié)果的隨機性誤差較大。由于這兩個電流變化階段在偏離拐彎處都是呈很強的線性，所以這兩段狀態(tài)可以用兩個線性函數(shù)描述。而光電流的遏止電壓點的物理意義就是電流狀態(tài)從變化到反向飽和的交接點，因此該點在數(shù)學(xué)意義上就是這兩個線性函數(shù)的方程組的解。

圖1 伏安特性測試電路

圖2 伏安特性曲線

2 分段線性擬合實現(xiàn)

2.1 數(shù)據(jù)的分段

根據(jù)實驗所測光電管的伏安特性曲線圖2所示，光電流的遏止電壓點已經(jīng)被其他電流信號所覆蓋。從曲線的反向電壓部分變化趨勢可以看出，數(shù)據(jù)從兩端越接近曲線折彎處即截至電壓點，此處的變化越激烈，就越偏離線性程度。因此曲線以突變點為界分成兩個線性近似階段，并由這些分段的數(shù)據(jù)點得到這兩個線性擬合方程。分段的過程可以這樣設(shè)計：

（1）取曲線的反向電壓部分并作線性擬合；

（2）曲線拐彎區(qū)域中找出離擬合線最遠的點作為分段點；

（3）分段點以左為反向飽和區(qū)，進行最小二乘擬合；以右為變化區(qū)，進行最小二乘擬合。

分段的目的就是把工作狀體相關(guān)的數(shù)據(jù)成為一個集合，這樣就有利于表達該組數(shù)據(jù)本來具有的變化規(guī)律。若在分段中包含了拐彎處較多的數(shù)據(jù)，因這些數(shù)據(jù)變化較不穩(wěn)定、與旁邊數(shù)據(jù)的相關(guān)度差，所以可舍棄不用抑或保留一二。

2.2 最小二乘擬合

最小二乘法［4］是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)，它通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。按最小二乘法擬合的曲線，就是使曲線上的數(shù)據(jù)與實驗數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小，從而達到曲線函數(shù)參數(shù)的最優(yōu)化。

本例要擬合的目標是一直線方程y＝ax＋b，設(shè)實驗測得數(shù)據(jù)xi，yi。則對于某一個xi相對應(yīng)的yi與直線在y方向上的偏差為：

根據(jù)最小二乘原理，使這些數(shù)據(jù)點的偏差方和最小

3 實驗結(jié)果與分析

本例用實驗室所測一組數(shù)據(jù)來說明分段線性擬合方法的使用，實驗使用GD-Ⅲ型光電效應(yīng)實驗儀，低壓汞燈光源。分別對波長為365 nm、405 nm、436 nm、546 nm、577 nm的光譜源進行測量，所測數(shù)據(jù)見表1。

表1 實驗數(shù)據(jù)

（1）曲線的分段

以436 nm為例，根據(jù)436 nm相應(yīng)的實驗數(shù)據(jù)（U，I），U為x軸單位為V，I為y軸單位為（×10-11?。瑢η€進行線性擬合，得到擬合方程y＝41.0x＋65.0。在拐彎的區(qū)域中找出離擬合直線最遠的點，可以通過計算的方法，也可以在圖上如圖3所示直接找出，這兒為（-1.20，-10.8）。整條曲線就以此點為界分為兩段，從圖3可以看出（-1.20，-10.8）沿x軸以左為陽極電流趨向飽和區(qū)，以右為陰極電流變化區(qū)，它們都有極強的線性度。分界點處電流變化最為激烈，線性度差，因此它及其一小塊領(lǐng)域不屬于任一段。

圖3 曲線的分段

圖4 分段線性擬合

（2）分段擬合

分別對這兩個區(qū)域進行最小二乘擬合，得到飽和區(qū)的直線方程y＝0.50x-14.2，變化區(qū)的直線方程為y＝146.5x＋152.0。求解過程見圖4所示。雖然在拐彎處沒有直接擬合遏止電壓點，但陰極電流的變化趨勢和陽極電流的變化趨勢，足以表達電流的變化規(guī)律。Matlab實現(xiàn)的參考代碼見附錄。

（3）求遏止電壓點

光電流的狀態(tài)方程已經(jīng)求得，聯(lián)立方程組

得到方程組的解為

436 nm光子激發(fā)下的光電流遏止電壓即為1.139 V。用同樣的方法得到365 nm、405 nm、546 nm、577 nm光波下的遏止電壓，結(jié)果見表2。

表2 不同頻率光電子下的遏止電壓

（4）結(jié)果的驗證與分析

光電效應(yīng)實驗表明，當(dāng)入射光的頻率v等于金屬材料的截止頻率v0時，遏止電壓Vs＝0，此時光子的能量剛好提供給金屬的逸出功。此時愛因斯坦光電效應(yīng)方程可以表達為：

4 結(jié) 論

光電流在遏止電壓附近區(qū)域處數(shù)據(jù)變化劇烈、測量重復(fù)性差，分段擬合方法避開了在該區(qū)間數(shù)據(jù)的密集采集，通過電流狀態(tài)變化規(guī)律來確定遏止電壓，具有明確的物理意義，同時也簡化了實驗過程。所要注意的是數(shù)據(jù)點的采集對擬合方程形式影響較大，數(shù)據(jù)量可以稀疏點，但要求各段間擬合的數(shù)據(jù)量基本相同，各段內(nèi)采集間隔相差不大，以保證擬合方程能體現(xiàn)曲線本身的變化趨勢。

附錄：

擬合過程的matlab參考代碼：

［1］ 李雄，朱琳.運用Matlab輔助測量普朗克常量［J］.物理實驗，2008，28（12）：33-35.

［2］ 竺江峰，蘆立娟，魯曉東.大學(xué)物理實驗［M］.北京：中國科學(xué)技術(shù)出版社，2005.

［3］ 趙明富，廖強，鐘連超.熱電偶最優(yōu)化分段最小二乘擬合線性化處理方法［J］.計量技術(shù)，2004（1）：18-20.

［4］ 施吉林，劉淑珍，陳桂芝.計算機數(shù)值方法［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［5］ 段向陽，張華，陳君.光電效應(yīng)實驗中數(shù)據(jù)的微機輔助處理［J］.實驗技術(shù)與管理，2005，22（4）：21-23.

［6］ 費業(yè)泰.誤差理論與數(shù)據(jù)處理［M］.北京：機械工業(yè)出版，2000.

Determining the Cut-off Voltage of Phoelectric Effect Based on Piecewise Linear Fitting

CAO Fang-ling，ZOU Zhe-qi，LU Xiao-dong

（Zhejiang Ocean University，Zhejiang Zhoushan 316000）

By analyzing the working characteristics of photoelectron，a conclusion that photocurrent changes in stage following with changing of its voltage is presented.A method based on piecewise linear fitting is proposed to fit the volt-ampere characteristics curve of photocurrent.It regards the point where the two fitted lines of changing area and reverse saturation area in curve intersect as cut-off voltage point，and decrease the negative effect from the measuring instability in inflection erea.So the accuracy of experimental results promoted.

photoelectric effect；photocurrent；cut-off voltage；piecewise linear fitting

O431.2

A

1007-2934（2011）06-0074-04

2011-08-31

＊通訊聯(lián)系人